高三总复习48-曲线与方程.pdf

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1、课时作业(五十)一、选择题 1已知定点 A(1,1)和直线 l：xy20，那么到定点 A 的距离和到定直线l 距离相等的点的轨迹为 ()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线 解析：由于点 A 在直线 xy20 上，因此选 D.答案：D 2方程(x2y24)xy10 的曲线形状是 ()解析：由题意可得 x2y240，xy10或 xy10.它表示直线 xy10和圆 x2y240 在直线 xy10 右上方的部分 答案：C 3已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是 ()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解

2、析：|PA|PN|，|PM|PN|PM|PA|MA|6|MN|.故动点 P 的轨迹是椭圆 答案：B 4已知 F 是抛物线 y14x2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是 ()Ax22y1 Bx22y116 Cx2y12 Dx22y2 解析：把抛物线方程 y14x2化成标准形式 x24y，可得焦点 F(0,1)，设 P(x0，y0)，PF 的中点 M(x，y)由中点坐标公式得 xx02，yy012，x02x，y02y1.又P(x0，y0)在抛物线 y14x2上，2y114(2x)2，即 x22y1.答案：A 5(2013 年合肥月考)已知点 P 是直线 2xy30 上的

3、一个动点，定点 M(1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|MQ|，则 Q 点的轨迹方程是 ()A2xy10 B2xy50 C2xy10 D2xy50 解析：由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(2x,4y)，代入2xy30 得 2xy50.答案：D 6(2013 年温州八校联考)设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C：x2y22x0 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ()Ay24x By24x Cy24x 或 y0(x0)Dy24x 或 y0 解析：解法一 设动圆圆心 M(x，y)，半径为 R，根据已知条件得：R|x|MC|1，即|x|x12y21.x0

4、 时，(x1)2(x1)2y2，即 y24x；x0 时，(x1)2(x1)2y2，即 y0.综合得，圆心 M 的轨迹方程为 y24x 或 y0(x0 时，转化为动点 M 到直线 x1 的距离与它到定点C(1,0)的距离相等，根据抛物线的定义，M 的轨迹方程为 y24x；当 x0 时，因 C(1,0)到 y 轴的距离为 1，x 轴负半轴上的点均满足 综上，圆心 M 的轨迹方程为 y24x 或 y0(x0)故选 C.答案：C 二、填空题 7平面上有三点 A(2，y)，B0，y2，C(x，y)，若ABBC，则动点 C 的轨迹方程为_ 解析：AB2，y2，BCx，y2.ABBC，ABBC0，得 2xy

5、2y20.得 y28x.答案：y28x 8直线xay2a1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是_ 解析：设直线xay2a1 与 x、y 轴交点为 A(a,0)、B(0,2a)，A、B 中点为M(x，y)，则 xa2，y1a2，消去 a，得 xy1，a0，a2，x0，x1.答案：xy1(x0，x1)9(2012 年开封模拟)已知 P 是椭圆x2a2y2b21 上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQPF1PF2，则动点 Q 的轨迹方程是_ 解析：由OQPF1PF2，又PF1PF2PM2PO2OP，设 Q(x，y)，则OP12OQ12(x，y)x2，y2，即 P 点坐标为x2

6、，y2，又 P 在椭圆上，则有x22a2y22b21，即x24a2y24b21.答案：x24a2y24b21 三、解答题 10 已知椭圆 C：x216y291 和点 P(1,2)，直线 l 经过点 P 并与椭圆 C 交于 A、B 两点，求当 l 的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程 解：设弦中点为 M(x，y)，交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)当 M 与 P 不重合时，A、B、M、P 四点共线(y2y1)(x1)(x2x1)(y2)，由x2116y2191，x2216y2291 两式相减得 x1x2x1x216y1y2y1y290.又 x1x22x，y1y22y，2xx1x2162yy1

7、y29，由可得：9x216y29x32y0，当点 M 与点 P 重合时，点 M 坐标为(1,2)适合方程，弦中点的轨迹方程为：9x216y29x32y0.11设圆 C：(x1)2y21，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程 解：解法一：直接法 如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为其中点，则 CPOQ.因 OC 中点为 M12，0，连接 PM.故|MP|12|OC|12，得方程x122y214，由圆的范围知 0 x1.解法二：定义法 OPC90，动点 P 在以点 M12，0 为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得x122y214(0 x1)解法三：代入法 设 Q(

8、x1，y1)，则 xx12，yy12 x12x，y12y.又(x11)2y211，(2x1)2(2y)21(0 x1)解法四：参数法 设动弦 OQ 的方程为 ykx，代入圆的方程得(x1)2k2x21.即(1k2)x22x0，xx1x2211k2，ykxk1k2，消去 k 即可得到(2x1)2(2y)21(03)答案：x29y2161(x3)15已知定点 F(0,1)和直线 l1：y1，过定点 F 与直线 l1相切的动圆的圆心为点 C.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 的直线 l2交轨迹于两点 P、Q，交直线 l1于点 R，求RPRQ的最小值 解：(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离，点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1为准线的抛物线，动点 C 的轨迹方程为 x24y.(2)由题意知，直线 l2的方程可设为 ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去y，得 x24kx40.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24.又易得点 R 的坐标为2k，1，RPRQx12k，y11 x22k，y21 x12k x22k(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k2k(x1x2)4k24 4(1k2)4k2k2k 4k24 4k21k28.k21k22，当且仅当 k21 时取等号，RPRQ42816，即RPRQ的最小值为 16.