高中常见题型解决方法归纳专题06函数单调性的判断证明和单调区间的求法.pdf

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1、 第 06 讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【考纲要求】理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】区间具有严格的单调性，区间D叫做()yf x的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。3、判断证 明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是取值，设Dxx21,，且12xx；作差，求)()(21xfxf；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；判断)()(21xfxf的正负符号；根据函数单调性的定义下结论。（2）复合函数分析法 设()yf u，()ug x,xa b，,um n都是单调函数，则()yf g

2、x在,a b上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：设()f x在某个区间(,)a b内有导数1()fx，若()f x在区间(,)a b内，总有11()0()0)fxfx，则()f x在区间(,)a b上为增函数（减函数）。（4）图像法 一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法 （2）复合函数法 先求函数的定义域，再分解

3、复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。（3）导数法 在其对称区间上的单调性相减，如函数2xy。（2）在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数xy 和函数3xy 都是增函数，但是它们的乘积函数4xy 不是增函数。（3）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。（4）单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。（5）在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。【方法讲评】例1 证明函数()(0)af

4、 xxax在区间(,)a 是增函数。解：设21xxa，2122211122112212)()(xxaxxxaxxxxaxxaxxfxf 21211221121221)()()(xxaxxxxxxxxaxxxx 21xxa 012xx axx21 0)()(12xfxf 函数()(0)af xxax在区间(,)a 是增函数。例 2 求函数2()(0)af xxax的单调区间 解：函数的定义域为x|xR，且x0，设x1、x20，且x1x2，f(x1)f(x2)x1a2x1x2a2x2 22211212121222121212121212()()(1)()()()()xxaxxaxxx xx xx

5、xaxxx xaxxx xx x (1)当x1x2a或ax1x2时，x1x2a2，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(，a上和在a，)上都是增函数(2)当ax1x20 或 0 x1x2a时，x1x20，0 x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在a,0)和(0，a上都是减函数 例 3 已知函数()f x的定义域是0 x 的一切实数，对定义域内的任意12,x x，都有1212()()()f x xf xf x，且当1x 时()0f x，(2)1f（1）求证()f x是偶函数；（2）()f x在(0,)上时增函数；（3）解不等式2(21)2fx 解：121212(1)1(

6、1)(1)(1)(1)01(1)(1)(1)(1)02(1)(1)01(1)()(1)()()()xxffffxxfffffxxxf xf xffxf xf x 令令令是偶函数 1112122222221111212222(2)0()()()()()()()()011()0()0()()00+xxxxf xf xf xf xf xff xxxxxxfxxxf xff xf xxxx 设时，函数在（，）上是增函数 12222(3)2(2 2)(2)(2)2(4)2(21)2(4)()+x0101022100,222|21|4xxfffffxff xxxxxx 令是偶函数在（0，）上时增函数且【变

7、式演练 2】已知()f x是定义在区间 1,1上的奇函数，且(1)1f，若,1,1,0m nmn 时，有()()0f mf nmn。（1）解不等式1()(1)2f xfx（2）若2()21f xtat对所有 1,1,1,1xa 恒成立，求实数t的取值范围。例 4 已知函数1ln)1()(2axxaxf（I）讨论函数)(xf的单调性；（II）设1a.如果对任意),0(,21xx，|4)()(|2121xxxfxf，求a的取值范围。解：（）()f x的定义域为（0，+）.2121()2aaxafxaxxx.当0a 时，()fx0，故()f x在（0，+）单调增加；当1a 时，()fx0，故()f

8、x在（0，+）单调减少；当-1a0 时，令()fx=0，解得12axa.则当1(0,)2axa时，()fx0；1(,)2axa时，()fx0.故()f x在1(0,)2aa单调增加，在1(,)2aa单调减少.（）不妨假设12xx，而a-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 12,(0,)x x，1212()()4f xf xxx 等价于 12,(0,)x x，2211()4()4f xxf xx 令()()4g xf xx，则1()24ag xaxx 等价于()g x在（0，+）单调减少，即 1240aaxx.从而22222241(21)42(21)2212121xxxxaxxx 故 a 的

9、取值范围为（-，-2.()当12a 时，讨论()f x的单调性；（）设2()24.g xxbx当14a 时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使 12()()f xg x，求实数b取值范围.例 5 设函数 sincos1f xxxx，02x，求函数 f x的单调区间与极值。,()12().423()0()422()xxxxxxxx 解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0 x2,知fsin令f，从面sin，得，或，当 变化时，f，f(x)变化情况如下表：x(0,)3(,)2 32 3(,2)2 1()fx+0-0+()f x 单调递增 2 单调递减 32 单调递增 32233322

10、22因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（，），单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。【变式演练 4】某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；设 OPx(km)，将y表示成 xx

11、的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 例 6（1）求函数20.7log(32)yxx的单调区间；（2）已知2()82,f xxx若2()(2)g xfx试确定()g x的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为),2()1,(，设232xxt，ty7.0log 232xxt在),2(),1,(上分别是单调递减和单调递增的，ty7.0log在),0(上是单调递减的，根据复合函数的单调性得函数20.7log(32)yxx在),2(),1,(上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为 R，分解基本函数为82)(2xttfg和22

12、tt。CBPOAD 显然82)(2xttfg在),1(上是单调递减的，)1,(上单调递增；而22xt在),0(),0,(上分别是单调递增和单调递减的。且1122xx，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)。解法二：222()82(2)(2)g xxx4228xx，3()44g xxx，令()0g x，得1x 或01x，令()0g x，1x 或10 x 单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)。(1)求；(2)若将函数f(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标

13、不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间 方法四 图像法 使用情景 函数的图像比较容易画出。解题步骤 一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。例7 求函数2()|f xxx 的单调区间。解：22(0)()+(0 xxxf xxxx由题得）在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为11-022（，），（，）.减区间为11(,0),(,)22.【高考精选传真】1.【2012 高考真题重庆理 7】已知)(xf是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期

14、，则“)(xf为 1,0上的增函数”是“()f x为4,3上的减函数”的（）（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件【解析】因为)(xf为偶函数，所以当)(xf在 1,0上是增函数，则)(xf在0,1上则为减函数，又函数)(xf的周期是 4，所以在区间4,3也为减函数.若)(xf在区间4,3为减函数，根据函数的周期可知)(xf在0,1上则为减函数，又函数)(xf为偶函数，根据对称性可知，)(xf在 1,0上是增函数，综上可知，“)(xf在 1,0上是增函数”是“)(xf为区间4,3上的减函数”成立的充要条件，选 D.2.【2012 高考真

15、题天津理 4】函数22)(3xxfx在区间(0,1)内的零点个数是()（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【解析】因为函数22)(3xxfx的导数为032ln2)(2xxfx，所以函数22)(3xxfx单调递增，又0121)0(f，01212)1(f，所以根据根的存在定理可知在区间)1,0(内函数的零点个数为 1 个，选 B.3.【2012 高考真题陕西理 2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.1yx B.2yx C.1yx D.|yx x【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知 A 非奇非偶的增函数；B 是奇函数且是减函数；C 是奇函数且在)0,(，),0(上是减函数；D

16、 中函数可化为0,0,22xxxxy易知是奇函数且是增函数.故选 D.4.【2012 高考真题山东理 3】设0a 且1a，则“函数()xf xa在R上是减函数”，是“函数3()(2)g xa x在R上是增函数”的()（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 5.【2012 高考真题广东理 4】下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是()A.y=ln（x+2）B.y=-1x C.y=（12）x D.y=x+1x【解析】函数 y=ln（x+2）在区间（0，+）上为增函数；函数 y=-1x在区间（0，+）上为减函数；函数 y=（12）x在区间（0，

17、+）上为减函数；函数 y=x+1x在区间（0，+）上为先减后增函数故选 A【反馈训练】1函数y2x2(a1)x3 在(，1内递减，在(1，)内递增，则a的值是()A1 B3 C5 D1 2函数y f(x)是 R 上的偶函数，且在(，0上为增函数若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是()Aa2 Ba2 C2a2 Da2 或a2 上单调递减，那么实数a的取值范围是()A(0,1)B(0，23)C38，23)D38，1)4函数 f(x)ln(x1)mx在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m的取值范围是()A(，1)B(，1 C(，12 D(，12)5函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是

18、()A.，32 B.32，C.1，32 D.32，4 6已知函数f(x)x24x，x0，4xx2，xf(a)，则实数a的取值范围 是 ()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)7.下列函数中，既是偶函数又在+（0，）单调递增的函数是（）（A）3yx (B)1yx （C）21yx (D)2xy （2）若对任意x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数a的取值范围 10.已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0 时，f(x)0，f(1)23.(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值 11.f(x)是定义在

19、(0，)上的增函数，且fxyf(x)f(y)(1)求f(1)的值；(2)若f(6)1，解不等式f(x3)f1x由已知得函数在定义域内单调递增。104t 2222222(2)()21(1)211212 1020200222(1)0maxf xtatftattattttattatttttt 由题得或或 (2)当0a 时，由()0fx，即210axxa，解得1211,1xxa.当12a 时12xx，()0h x 恒成立，此时()0fx，函数()f x单调递减；当102a时，1110a ，(0,1)x时()0,()0h xfx，函数()f x单调递减；1(1,1)xa时，()0,()0h xfx，函数

20、()f x单调递增；1(1,)xa时，()0,()0h xfx，函数()f x单调递减.当0a 时110a，当(0,1),()0,()0 xh xfx,函数()f x单调递减；当(1,),()0,()0 xh xfx，函数()f x单调递增.又已知存在21,2x，使12()()f xg x，所以21()2g x，21,2x，（）又22()()4,1,2g xxbbx 当1b 时，min()(1)520g xgb与（）矛盾；当1,2b时，2min()(1)40g xgb也与（）矛盾；当2b 时，min117()(2)84,28g xgbb.综上，实数b的取值范围是17,)8.若 OP=x(km)

21、，则 OQ10 x，所以 OA=OB=222101020200 xxx 所求函数关系式为2220200 010yxxxx（）选择函数模型，2210coscos20 10sin10 2sin1coscossiny 令y 0 得 sin 12，因为04，所以=6，当0,6时，0y ，y是的减函数；当,6 4 时，0y ，y是的增函数，所以当=6时，min10 10 3y。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 10 33km 处。【变式演练 5 详细解析】(1)f(x)32sin2x12cos2x32 sin(2x6)32.令 2x62，将x6代入可得：1.(2)由(1)得f(x

22、)sin(2x6)32.经过题设的变化得到的函数 g(x)sin(12x6)32.当x4k43，kZ 时，函数取得最大值52.令 2k212x62k32，即x4k43，4k103，kZ 为函数的单调递减区间【变式演练 6 详细解析】22220,0,()(1=()()=f(x)f(x)=0)()(0)xxfxxxxxf xfxxxxxxf xxxx （1）设则）是偶函数（222220220(2)(1)021(20-2-20(-2)(+1)02-1(222.xxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxx （）当时，或舍去）当时，或舍去）综合得或(3)作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调减区间

23、为11-022（，），（，）.单调增区间为11(,0),(,22）【反馈训练详细解答】4.C【解析】：f(x)ln(x1)mx在区间(0,1)上恒为增函数，则 f(x)ln(x1)mx在区间0,1上恒为增函数，f(x)1x1m0 在0,1上恒成立，m(1x1)min12.5.D【解析】函数f(x)的定义域是(1,4)，u(x)x23x4x322254的减区间为32，4，e1，函数f(x)的单调减区间为32，4.6.C【解析】f(x)(x2)24，x0，(x2)24，xf(a)得 2a2a，即a2a20，解得2ax2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0 时

24、，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0 时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)0 及1x0，得x0,由f(6)1 及f(x3)f1x2，得fx(x3)2f(6)，即fx(x3)f(6)f(6)，亦即fx(x3)6f(6)因为f(x)在(0，)上是增函数，所以x(x3)66，1221()0(2)(2)xxxx 当12a 时，21()()f xf x，此时函数21)(xaxxf)21(a在),2(上是单调减函数；当12a 时，21()()f xf x，此时函数21)(xaxx

25、f)21(a在),2(上是单调增函数；13.【解析】（I）当2k 时，2()ln(1)f xxxx，1()121fxxx 由于(1)ln2f，3(1)2f，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为 3ln2(1)2yx 即 322ln 230 xy 当1k 时，2()1xfxx 故()f x得单调递增区间是(1,).当1k 时，(1)()01x kxkfxx，得11(1,0)kxk，20 x.所以没在区间1(1,)kk和(0,)上，()0fx；在区间1(,0)kk上，()0fx 故()f x得单调递增区间是1(1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk 14.【解析】（I）

26、当cos0时31()4,32f xx则()f x在(,)内是增函数，故无极值。（II）2()126 cos,fxxx令()0,fx 得 12cos0,.2xx 由02及（I），只需考虑cos0的情况。当x变化时，()fx的符号及()f x的变化情况如下表：因此，函数()f x在cos2x处取得极小值cos(),2f且 3cos11()cos.2432f 要使cos()0,2f必有311cos0,432可得10cos,2所以32 （III）解：由（II）知，函数()f x在区间(,0)与cos(,)2内都是增函数。由题设，函数()f x在(21,)aa内是增函数，则a须满足不等式组 210aaa 或21121cos2aaa 由（II），参数(,)3 2 时，10cos.2要使不等式121cos2a 关于参数恒成立，必有121.4a 综上，解得0a 或51.8a所以a的取值范围是5(,0,1).8 x(,0)0 cos(0,)2 cos2 cos(,)2()fx 0 0 ()f x 极大值 极小值 若a，则当0,lnxa时，()g x ，()g x为减函数，而(0)0g，从而当0,lnxa时()g x0，即()f x0.综合得a的取值范围为,1