高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练21.1含部分的复习资料.pdf

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1、-考点 21 数列的综合应用【考点分类】热点一 等差数列与等比数列的综合应用 1.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】等差数列na的前 n 项和为nS.已知232Sa，且124,S SS成等比数列，求na的通项公式.2.【2013 年普通高等学校统一考试江苏卷】设na是首项为a，公差为d的等差数列（0d），nS是前n 项和.记2nnnSbnc，nN，其中c为实数.（1）若0c，且1b，2b，4b成等比数列，证明：2(,)nkkSn Sk nN；（2）若 nb是等差数列，证明0c.3.【2013 年全国高考统一考试天津数学（文）卷】已知首项为32的等比数列na的前 n 项和为(*

2、)nSn N,且234,2,4SSS成等差数列.()求数列na的通项公式;()证明13*)61(nnSnS N.4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科】设 Sn表示数列na的前 n 项和.()若na为等差数列,推导 Sn的计算公式;()若11,0aq,且对所有正整数 n,有11nnqSq.判断na是否为等比数列.并证明你的结论.所以,na数列是首项11a,公比1q的等比数列.5.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知nS是等比数列na的前n项和，4S，2S，3S成等差数列，且23418aaa.（）求数列na的通项公式；-（）是否存在正整数n，使得2

3、013nS？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由 6（2012 年高考（陕西理）设 na的公比不为 1 的等比数列,其前n项和为nS,且534,a a a成等差数列.(1)求数列 na的公比;(2)证明:对任意kN,21,kkkSSS成等差数列.解:(1)设数列 na的公比为q(0,1qq)7.（2012 年高考（天津文）(本题满分 13 分)已知 na是等差数列,其前n项和为nS,nb是等比数列,且114444,27,=10ab abSb.(I)求数列 na与 nb的通项公式;(II)记1 122=+nnnTaba ba b(*nN)证明:*118(,2)nnnTabnNn

4、.8（2012 年高考（湖北文）已知等差数列 na前三项的和为3,前三项的积为8.(1)求等差数列 na的通项公式;(2)若231,a a a成等比数列,求数列 na的前n项和.-【方法总结】对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法要解决等差等比数列的综合问题，必须对两种数列的各知识点、方法熟练掌握；对非等差等比数列，可设法转化为等差、等比数列问题.常用的等差、等比对应重要性质对比如下：1.如果数列na是等差数列,则数列naA(naA总有意义)是等比数列；如果数列na是等比数列,则数列log|ana(

5、0,1)aa是等差数列；2.在等差数列中，若mnlkmnlkaaaa.特别地,当2mnp时,有2mnpaaa；在等比数列中，若mnlkmnlka aa a.特别地,当2mnp时,有2mnPa aa；3.若na既是等差数列又是等比数列,则na是非零常数数列；4.等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 2,mmmSSS 32mmSS,仍是等差数列；等比数列中2,mmmSSS 32mmSS,仍是等比数列；热点二 数列与函数相结合 9.（2012 年高考（四川文）设函数3()(3)1f xxx,na是公差不为 0 的等差数-列,127()()()14f af af a,则721aaa（）A0 B

6、7 C14 D21.10.（2012 年高考（上海文）若)(sinsinsin7727NnSnn,则在10021,SSS中,正数的个数是（）A16.B72.C86.D100.11（2012 年高考（湖北文）定义在(,0)(0,)上的函数()f x,如果对于任意给定的等比数列 ,()nnaf a仍是等比数列,则称()f x为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)上的如下函 数:2()f xx;()2xf x;()|f xx;()ln|f xx.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（）A B C D.-12.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设数列 na

7、满足12a，248aa,且对任意*nN，函数 1212()()cos-sinnnnnnf xaaaxax ax，满足()02f ()求数列 na的通项公式；（）若122nnnaba（），求数列 nb的前n项和nS.（2）111122121222nnnannbann（）（）（）111-2 2122121-2nnnnS（）（）21=31-2131-2nnn nnn（）-13.（2012 年高考（四川文）已知a为正实数,n为自然数,抛物线22nayx 与x轴正半轴相交于点A,设()f n为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.()用a和n表示()f n;()求对所有n都有()1()11f nnf n

8、n成立的a的最小值;()当01a时,比较111(1)(2)(2)(4)()(2)fffff nfn与)1()0()1()1(6ffnff的大小,并说明理由.-14.（2012 年高考（湖南文）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.()用 d 表示 a1,a2,并写出1na与 an的关系式;()若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余资金为

9、4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).-来源:学科网 ZXXK 15.（2012 年高考（大纲理）函数2()23f xxx.定义数列 nx如下:112,nxx是过两点(4,5),(,()nnnPQ xf x的直线nPQ与x轴交点的横坐标.(1)证明:123nnxx;(2)求数列 nx的通项公式.-14333322nnnnnxxxxx 14355(1)122nnnnnxxxxx -【方法总结】解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它

10、们之间的对应关系进行灵活的处理数列与函数的迭代问题：由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.热点三 数列与不等式相结合-16.【2013 年普通高等学校统一考试江苏卷】在正项等比数列na中，512a，673aa.则满足1212n

11、naaaa aa的最大正整数n的值为 .17.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】设数列 na的前n项和为nS.已知11a,2121233nnSannn,*nN.()求2a的值；()求数列 na的通项公式；()证明:对一切正整数n,有1211174naaa.-18.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】正项数列an的前 n 项和 Sn满足：222(1)()0nnSnnSnn（1）求数列an的通项公式 an；（2）令221(2)nnnbna，数列bn的前 n 项和为 Tn证明：对于任意 n N*，都有 Tn5.64-19.【2013 年普通高等学校招生全国统

12、一考试湖北卷理科】已知等比数列na满足：23|10aa，123125a a a.（）求数列na的通项公式；（）是否存在正整数m，使得121111maaa？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.-20.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】给定常数0c，定义函数()2|4|f xxcxc，数列123,a a a满足*1(),nnaf anN.（1）若12ac ，求2a及3a；（2）求证：对任意*1,nnnNaac；（3）是否存在1a，使得12,na aa成等差数列？若存在，求出所有这样的1a，若不存在，说明理由.-来源 学科网【方法总结】从近几年新课标高考试题可以看出，不同

13、省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点.利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩.【考点剖析】一明确要求 1熟练把握等差数列与等比数列的基本运算 2 掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分

14、类讨论”、“等价转化”等 3注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法 二命题方向 1考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题 2考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力 三规律总结-一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题(2)数列是一种特

15、殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注 三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)(2)数列与不等式结合时需注意放缩(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想【考点模拟】一扎实基础 1.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】设nS是公差不为 0 的等差数列na的前n项和，且124,S S S成等比数列，则21aa等于()

16、A.1 B.2 C.3 D.4 2.【东北三校 2013 届高三 4 月第二次联考】已知数列na为等比数列，nS是它的前 n 项和，若35114a aa，且4a与7a的等差中项为98，则5S等于()A35 B33 C31 D29-3.【上海市奉贤 2013 届高三一模】已知 Sn是等差数列an(nN*)的前 n 项和，且 S6S7S5，有下列四个命题，假命题的是()(A)公差 d0 (B)在所有 Sn0 的 n 的个数有 11 个 (D)a6a7 来源 学科网 4.【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】已知等比数列na公比为 q，其前 n 项和为nS，若396,S S S成等差数列，

17、则3q等于（）A.12 B.1 C.12或 1 D.112 或【答案】A来源 学#科#网【解析】若1q，则 31a+61a=291a，得1a=0，而等比数列任何一项都不为 0，故1q；所以369111(1)(1)(1)2111aqaqaqqqq，换元解方程得3q=12或 1（舍）5.【2013 届河北省重点中学联合考试】己知数列na为等比数列，且3252aaa，设等差数列nb的前 n 项和为 Sn，若55ba，则9S .6.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】等差数列中，91336,104SS ，等比数列 nb中，5577,ba ba，则6a _.-7.【北京市朝阳区 2013

18、届高三上学期期末理】已知数列121,9a a是等差数列，数列1231,9b b b是等比数列，则212baa的值为 .8.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第三次月考数学试卷】在数列na中，7(1)()8nnan，则数列na中的最大项是第 项。【答案】6 或7 9.【上海市 2013 届高考闵行二模卷】公差为 d，各项均为正整数的等差数列an中，若 a1=1，an=73，则 n+d 的最小值等于 .10.【山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试】已知等差数列 na的前n项和为nS，若 2，4，3a成等比数列，则5S=_.-二能力拔高 11.【浙江省宁波市 2013 年高考模拟押题试

19、卷】已知数列na是 1 为首项、2 为公差的等差数列，nb是 1 为首项、2 为公比的等比数列设nnbca，12(*)nnTcccnN，则当 Tn2013 时，n 的最小值是（）（A）7 （B）9 （C）10 （D）11 12.【上海市 2013 届高考二模卷】数列an前 n 项和为 Sn，已知 a1=51，且对任意正整数 m、n，都有 am+n=aman，若 Sna 恒成立，则实数 a 的最小值为 ()(A)41 (B)43 (C)34 (D)4 13.【上海市杨浦 2013 届高三一模】已知数列an是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列(nN*).对于函数y=f(x)，若数列lnf(a

20、n)为等差数列，则称函数 f(x)为“保比差数列函数”.现有定义在(0,+)上的如下函数：xxf1)(，2)(xxf，xexf)(，xxf)(，则为“保比差数列函数”的所有序号为()(A)(B)(C)(D)14.【2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考】要在如下表所示的 55 正方形的 25 个空格中填入自然数，使得每一行，每一列的数都成等差数列，则填入标有的空格的数是（）-A309 B142 C222 D372【答案】B【解析】设ija表示第 i 行第 j 列的数.则5241,ax ay 由第 3 行有332186932yay 由第 3 列有332 1032ax 932062yx即2113

21、xy 又由第 2 行有232 743ay 15.【江苏省南通市 2013 届高三第三次调研测试】已知实数 a1，a2，a3，a4满足 a1a2a30，a1a42a2a4a20，且 a1a2a3，则 a4的取值范围是 74 2y 186 y 103 0 x 2x -16.【河北省唐山一中、衡水一中 2013 届高三 4 月联考】设12,na aa是各项不为零的 n(4)n 项等差数列，且公差0d，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对1(,)and所组成的集合为 .【答案】)1,4(),4,4(【解析】满足题意的数列只能有 4 项，若删掉2a，则4123aaa，2

22、4dad，若删掉3a，则4122aaa，2dad，所以所有数对dan1,所组成的集合为)1,4(),4,4(17.【上海市 2013 届高考二模卷】设 Sn为数列an的前 n 项和，若不等式21222maanSnn对任意等差数列an及任意正整数 n 都成立，则实数 m 的最大值为 .18.【内蒙古赤峰市 2013 届高三最后一次仿真统考】已知数列na满足134nnaa*()nN且19a，其前 n项和为nS，则满足不等式1|6|100nSn的最小整数 n是 .19.【江西师大附中、鹰潭一中 2013 届四月高三数学】在数列na中，*32111,21()23nnaaaaanNn（）求数列na的前n

23、项和nS；（）若存在*nN，使得(1)nan n成立，求实数的最小值.-三提升自我 21.【安徽省马鞍山市 2013 届高三第三次教学质量检测】已知等差数列na和公比为q(1)q 的等比数列nb满足：111ab，22ab，53ab（）求数列na，nb的通项公式；（）若数列nna b的前n项和为nS，且对任意*nN均有2112(1)nnnabSnn成立，试求实数的取值范围 *nN，2220n，对*nN，1nncc，max12()9ncc，故2913 分 22.【山东省济南市 2013 届高三高考第一次模拟考试】(本题满分 12 分)数列 na的前n项和为nS，11a，121nnaS*()nN，等

24、差数列 nb满足-353,9bb.（1）分别求数列 na，nb的通项公式；（2）设*22()nnnbcnNa，求证113nncc 23.【2013 年安徽省安庆市高三模拟考试（三模）】已知数列na满足12nnnaaa，且 a1=a，（1）当57a时，求出数列na的所有项；（2）当 a=1 时，设；，证明：|2|1nnnnbbab（3）设（2）中的数列nb的前 n 项和为 Sn，证明：2nS-1121)21()21(21112bbbbabnnnnnn 12|2|11 ab，111)21)(12()21(nnnbb （11 分）来源 学科网-)21(211)12(121nnnbbbS 2)12(2

25、211)21(1)12(n，2nS （13 分）24.【湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三下学期 6 月适应性考试】（本小题满分 12 分）甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在 A、B 两个喷雾器中分别配制成 12%和 6%的药水各 10 千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为 1 千克的药瓶，他们从 A、B 两个喷雾器中分别取 1 千克的药水，将 A 中取得的倒入 B 中，B 中取得的倒入 A 中，这样操作进行了 n 次后，A 喷雾器中药水的浓度为%na，B 喷雾器中药水的浓度为%nb（1）证明：nnab是一个常数；（2）求na与1na的关系式；（3）求na

26、的表达式 25.【南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试】、(本小题满分 16 分)-已知a为实数，数列 na满足1aa，当2n 时，11113(3)4(3)nnnnnaaaaa，（）100100100aaSn当时，求数列的前项的和；(5 分)（）证明：对于数列 na，一定存在*kN，使03ka；(5 分)（）令2(1)nnnnab ，当23a时，求证：120.12niiab(6 分)-【考点预测】1.已知数列满足：11a，12nnnaaa，（*nN），若11()(1)nnbna，1b，且数列 nb是单调递增数列，则实数的取值范围为（）A2 B3 C2 D3【答案】C-2.已知函数

27、)(xf是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列 na是等差数列，01007a，则)()()()()(20132012321afafafafaf的值（）A.恒为正数 .B恒为负数 C.恒为 0 D.可正可负 3.设函数 f(x)=2x-cosx，an是公差为8的等差数列，f(a1)+f(a2)+f(a5)=5，则f(a3)2-a1a5=.4.在数列na中，,aa1212，na2等于nnaa1除以 3 的余数，则na的前 89 项的和等于_.1,2,0,2,2,1,0,1，且周期为 8，故na的前 89 项的和等于11(12022101)1100.-5.已知函数23()3xf xx，数列 na满足*1111,()(N)nnaafna.（1）求数列 na的通项公式；（2）令1211,nnnnnbSbbba a，若20132nmS对一切*Nn成立，求最小正整数m.