高中数学选修4-5知识点(最全版).pdf

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1、 高中数学选修 4-5 知识点 1不等式的基本性质 1实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系(2)设 a、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是 A、B.当点 A 在点B 的左边时，ab(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)abab0abab0abab，bbb，bcac；(3)可加性：ab，cRacbc；(4)加法法则：ab，cdacbd；(5)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(7)乘方法则：ab0，nN 且 n2anbn；(8)开方法则：ab0，nN 且 n2nanb.（9）倒数法则，即 ab01a0，那么2ab

2、ab(ab2 ab)，当且仅当 ab时，等号成立(2)定理 2 的应用：对两个正实数 x，y，如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的积 P 取得最大值，最大值为S24.如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的和 S 取得最小值，最小值为 2 P.3基本不等式 abab2的几何解释 如图，AB 是O 的直径，C 是 AB 上任意一点，DE 是过 C 点垂直 AB 的弦 若ACa，BCb，则 ABab，O 的半径 Rab2，RtACDRtDCB，CD2ACBCab，CD ab，CDR abab2，当且仅当 C 点与 O 点重合时，CDRAB2，即 abab2.4几个常

3、用的重要不等式(1)如果 aR，那么 a20，当且仅当 a0 时取等号；(2)如果 a，b0，那么 ab（ab）24，当且仅当 ab 时等号成立(3)如果 a0，那么 a1a2，当且仅当 a1 时等号成立(4)如果 ab0，那么abba2，当且仅当 ab 时等号成立 3三个正数的算术-几何平均不等式 1如果 a、b、cR，那么 a3b3c33abc，当且仅当 abc 时，等号成立 2(定理 3)如果 a、b、cR，那么33abcabc (abc33abc)，当且仅当 abc 时，等号成立 即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 3如果 a1，a2，anR，那么a1a2annna1a2an，当

4、且仅当a1a2an时，等号成立即对于 n 个正数 a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均 二 绝对值不等式 1绝对值三角不等式 1绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：|a|a（a0）a（a0）(2)绝对值几何意义：实数 a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点O 的距离|OA|.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点 A，B 分别对应实数 x1，x2，则|AB|x1x2|2绝对值三角不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 推论 1：如果 a，b 是实数，那么|a|b|ab|a|b|.推论 2：如果 a

5、，b 是实数，那么|a|b|ab|a|b|.(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立 2绝对值不等式的解法 1|x|a 型不等式的解法 设 a0，则(1)|x|aaxaxa；(4)|x|axa 或 xa 2|axb|c(c0)与|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb|caxbc 或 axbc 3|xa|xb|c 与|xa|xb|c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴

6、分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值号内多项式的正、负号，进而去掉绝对值号(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键 注：绝对值的几何意义(1)|x|的几何意义是数轴上点 x 与原点 O 的距离；(2)|xa|xb|的几何意义是数轴上点 x 到点 a 和点 b 的距离之和；(3)|xa|xb|的几何意义是数轴上点 x 到点 a 和点 b 的距离之差 2绝对值不等式的几何意义(1)|x|a(a0)的几何意义是以点 a 和a 为端点的线段，|x|a 的解集是a，a(2)|x|a(

7、a0)的几何意义是数轴除去以点 a 和a 为端点的线段后剩下的两条射线，|x|a 的解集是(，a)(a，)3解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解 例题：例如：分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例 1：解不等式125xx。分析:由01 x，02 x，得1x和2x。2和1把实数集合分成三个区间，即2x，12x，1x，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。解:当 x-2 时，得2(1)(2)5xxx，解得：23x 当-2x1 时，得21,(1)(2)5xxx，解得：12x 当1x时，得1,(1)(2)5.xxx ，解得：21 x 综上，原不等式的解集

8、为23xx。例 2：解不等式|2x4|3x9|2 时，原不等式可化为 x2，（2x4）（3x9）2.当3x2 时，原不等式可化为 3x2，（2x4）（3x9）1，解得65x2.当 x3 时，原不等式可化为 x3，（2x4）（3x9）1，解得 x12.综上所述，原不等式的解集为 x|x65 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法 比较法主要有 1.作差比较法 2.作商比较法 1作差比较法(简称比差法)(1)作差比较法的证明依据是：abab0；abab0；abab0 时，ab1ab；ab1ab；ab1ab 时，一定要注意 b0 这个前提条件 若 b0，abb，ab1ab，ab1aa122；1n2

9、1n（n1）(nN*)；1n2nn1；当 ab0，m0 时，baambm等 第三讲 柯西不等式与排序不等式 1二维形式的柯西不等式 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc时，等号成立 2柯西不等式的向量形式 设，是两个向量，则|，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立 3二维形式的三角不等式 设 x1，y1，x2，y2R，那么 x21y21 x22y22（x1x2）2（y1y2）2.注意：1二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理 1 是柯西不等式的代数形式，定理 2 是柯西不等式的向量形式，定理 3是柯西不等式的三角形式 根

10、据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示 2理解并记忆三种形式取“”的条件(1)代数形式中当且仅当 adbc 时取等号(2)向量形式中当存在实数 k，k 或 0 时取等号(3)三角形式中当 P1，P2，O 三点共线且 P1，P2在原点 O 两旁时取等号 3掌握二维柯西不等式的常用变式(1)a2b2 c2d2|acbd|.(2)a2b2 c2d2|ac|bd|.(3)a2b2 c2d2acbd.(4)(ab)(cd)(ac bd)2.4基本不等式与二维柯西不等式的对比(1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系二维柯西不等

11、式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式(2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效 二 一般形式的柯西不等式 1三维形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2，当且仅当 bi0(i1，2，3)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1，2，3)时，等号成立 2一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a

12、3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当 bi0(i1，2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1，2，n)时，等号成立 注意：1对柯西不等式一般形式的说明：一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式 2关于柯西不等式的证明：对于函数 f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2，显然 f(x)0 时xR 恒成立，即 f(x)(a21a22

13、a2n)x22(a1b1a2b2anbn)x(b21b22b2n)0 对 xR 恒成立，4(a1b1a2b2anbn)24(a21a22a2n)(b21b22b2n)0，除以 4 得(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2.3一般形式柯西不等式成立的条件：由柯西不等式的证明过程可知0f(x)min0a1xb1a2xb2anxbn0b1b2bn0，或a1b1a2b2anbn.4柯西不等式的几种常见变形：(1)设 a21a22a2nb21b22b2n1，则1a1b1a2b2anbn1；(2)设 aiR(i1，2，3，n)，则a1a2ann a21a22a2nn；(

14、3)设 aiR，bi0(i1，2，3，n)，则a21b1a22b2a2nbn（a1a2an）2b1b2bn；(4)设 aibi0(i1，2，3，n)，则a1b1a2b2anbn（a1a2an）2a1b1a2b2anbn.三 排序不等式 1乱序和、反序和、顺序和 设 a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为 b1，b2，bn的任一排列，称 a1c1a2c2a3c3ancn为乱序和，a1bna2bn1a3bn2anb1为反序和，a1b1a2b2a3b3anbn为顺序和 2排序不等式(又称排序原理)设 a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是 b1，b2，bn的任一排

15、列，那么 a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当 a1a2an或 b1b2bn时，反序和等于顺序和 3排序原理的简记 反序和乱序和顺序和 第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法 1数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 nn0时命题成立(2)假设当 nk(kN且 kn0)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法 2数学归纳法的适用范围 适用于证明一个与无限

16、多个正整数有关的命题 3数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)验证当 nn0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当 nk(kN，且 kn0)时命题成立，推导 nk1 时命题也成立(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切 nn0的自然数都成立 注意：用数学归纳法证明，关键在于两个步骤要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”，因此必须注意以下三点：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定就是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法要注意的第一个问题(

17、2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设“nk”时命题成立作为条件来导出“nk1”时命题成立，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次，没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法(3)正确寻求递推关系数学归纳法的第二步递推是至关重要的，那么如何寻找递推关系呢？在第一步验证时，不妨多计算几项，并正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的；探求数列的通项公式时，要善于观察式子或命题的变化规律，观察 n 处在哪个位置；在书写 f(k1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其是 f(k)中的最后一项除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚 二 用数学归纳

18、法证明不等式举例 1数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤 证明：当 n 取第一个值 n0时结论成立；假设当 nk(kN，且 kn0)时结论成立，证明当 nk1 时结论也成立 由可知命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立(2)用数学归纳法证明不等式的重点 用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)g(k)成立，证明 f(k1)g(k1)成立 2贝努利不等式(1)定义：如果 x 是实数，且 x1，x0，n 为大于 1 的自然数，那么有(1x)n1nx(2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1x)n缩小为简单的

19、1nx 的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用 例如：当 x 是实数，且 x1，x0 时，由贝努利不等式不难得到不等式1x1xn1nx1x对一切不小于 2 的正整数 n 成立(3)贝努利不等式的一般形式(1)当 是实数，并且满足 1 或 1)；(2)当 是实数，并且满足 01)3归纳猜想证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳猜想证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察归纳猜想证明”的思想方法 1关于用数学归纳法证明不等式的四点注意(1)

20、在从 nk 到 nk1 的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征(2)瞄准当 nk1 时的递推目标，从中分离出 nk 时的相应式子，借助不等式性质用上归纳假设(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式然后再用数学归纳法证明 2关于贝努利不等式(1)(1x)n1nx 成立的两个条件：nN且 n2；x 的取值范围是 x1 且 x0.于是有命题：当 nN且 n2 时不等式(1x)n1nx 对一切 x(1，0)(0，)恒成立(2)常用特例：当

21、 x1 且 x0 时，(1x)212x；当 x1 且 x0 时，(1x)313x.3重要结论(1)当 n5 时，n22n.(2)当 nN时，|sin n|n|sin|.古今名言 敏而好学，不耻下问孔子 业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随韩愈 兴于诗，立于礼，成于乐孔子 己所不欲，勿施于人孔子 读书破万卷，下笔如有神杜甫 读书有三到，谓心到，眼到，口到朱熹 立身以立学为先，立学以读书为本欧阳修 读万卷书，行万里路刘彝 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟颜真卿 书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲于谦 书犹药也，善读之可以医愚刘向 莫等闲，白了少年头，空悲切岳飞 发奋识遍天下字，立志读尽人间书苏轼 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书李苦禅 立志宜思真品格，读书须尽苦功夫阮元 非淡泊无以明志，非宁静无以致远诸葛亮 熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟孙洙唐诗三百首序 书到用时方恨少，事非经过不知难陆游 问渠那得清如许，为有源头活水来朱熹 旧书不厌百回读，熟读精思子自知苏轼 书痴者文必工，艺痴者技必良蒲松龄 声明 访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。谢谢合作！