高数下册知识点_1.pdf

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1、 高数下册知识点 Revised as of 23 November 2020 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算 1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设),(zyxaaaa，),(zyxbbbb，则),(zzyyxxbabababa,),(zyxaaaa；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222zyxr；2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA 3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向

2、的夹角,4）方向余弦：rzryrxcos ,cos ,cos 1coscoscos222 5）投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二）数量积，向量积 1、数量积：cosbaba 1）2aaa 2）ba0ba zzyyxxbabababa 2、向量积：bac 大小：sinba，方向：cba,符合右手规则 1）0 aa 2）ba/0 ba zyxzyxbbbaaakjiba 运算律：反交换律 baab （三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念：0),(:zyxfS 2、旋转曲面：yoz面上曲线0),(:zyfC，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf 绕z轴旋转一周：0),(22zyx

3、f 3、柱面：0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面 4、二次曲面 1）椭圆锥面：22222zbyax 2）椭球面：1222222czbyax 旋转椭球面：1222222czayax 3）单叶双曲面：1222222czbyax 4）双叶双曲面：1222222czbyax 5）椭圆抛物面：zbyax2222 6）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax2222 7）椭圆柱面：12222byax 8）双曲柱面：12222byax 9）抛物柱面：ayx2 （四）空间曲线及其方程 1、一般方程：0),(0),(zyxGzyxF 2、参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：

4、btztaytaxsincos 3、空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH （五）平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA 法向量：),(CBAn，过点),(000zyx 2、一般式方程：0DCzByAx 截距式方程：1czbyax 3、两平面的夹角：),(1111CBAn，),(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA 21 0212121CCBBAA 21/212121CCBBAA 4、点),(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222

5、000CBADCzByAxd（六）空间直线及其方程 1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA 2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000 方向向量：),(pnms，过点),(000zyx 3、参数式方程：ptzzntyymtxx000 4、两直线的夹角：),(1111pnms，),(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm 21LL 0212121ppnnmm 21/LL 212121ppnnmm 5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm/L 0CpBnAm L p

6、CnBmA 第九章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念 1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：),(yxfz，图形：3、极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(00 4、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 5、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000 6、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000

7、000。8、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（二）性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法 1）定义：u x 2）复合函数求导：链式法则 z 若(,),(,),(,)zf u v uu x y vv x y，则 v y zzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy 3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）偏导数存在 函数可微 函数连续 偏导数连续 充分条件 必要条件 定义 1 2 2 3 4（三）应用 1、极值 1）无条件极值：求函数),(yxfz 的极值 解方程组 00yx

8、ff 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，若02 BAC，0A，函数有极小值，若02 BAC，0A，函数有极大值；若02 BAC，函数没有极值；若02 BAC，不定。2）条件极值：求函数),(yxfz 在条件0),(yx下的极值 令：),(),(),(yxyxfyxL Lagrange 函数 解方程组 0),(00yxLLyx 2、几何应用 1）曲线的切线与法平面 曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),(000zyxM（对应参数为0t）处的 切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx

9、 法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx 2）曲面的切平面与法线 曲面0),(:zyxF，则上一点),(000zyxM处的切平面方程为：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 第十章 重积分（一）二重积分 1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、性质：（6 条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标 bxaxyxyxD)()(),(21，21()()(,)d dd(,)dbxaxDf x

10、 yx yxf x yy dycyxyyxD)()(),(21，21()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx 2）极坐标)()(),(21D 21()()(,)d d(cos,sin)dDf x yx ydf （二）三重积分 1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2、性质：3、计算：1）直角坐标 Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(-“先二后一”2）柱面坐标 zzyxsincos，(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz

11、 3）球面坐标 cossinsincossinrzryrx 2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr （三）应用 曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122 第十一章 曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分 1、定义：01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 2、性质：1）(,)(,)d(,)d(,)d.LLLf x yx ysf x ysg x ys 2）12(,)d(,)d(,)d.LLLf x ysf x ysf x ys ).(21LLL 3）在L上，若),(),(yxgyxf

12、，则(,)d(,)d.LLf x ysg x ys 4）lsLd(l 为曲线弧 L的长度)3、计算：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则 22(,)d(),()()()d ,()Lf x ysfttttt（二）对坐标的曲线积分 1、定义：设 L 为xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在 L 上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(.向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),

13、(d 2、性质：用L表示L的反向弧,则LLryxFryxFd),(d),(3、计算：设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则(,)d(,)d (),()()(),()()d LP x yxQ x yyPtttQtttt 4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLP xQ yPQs.（三）格林公式 1、格林公式：设区

14、域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(yxQyxP在 D 上具有连续一阶偏导数,则有LDyQxPyxyPxQdddd 2、G为一个单连通区域，函数),(,),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则 yPxQ 曲线积分 ddLP xQ y在G内与路径无关 曲线积分dd0LP xQ y yyxQxyxPd),(d),(在G内为某一个函数),(yxu的全微分（四）对面积的曲面积分 1、定义：设为光滑曲面，函数),(zyxf是定义在上的一个有界函数，定义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(10 2、计算：“一单二投三代入”),(:yxzz，xyDyx),(，则 yx

15、yxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五）对坐标的曲面积分 1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 2、定义：设为有向光滑曲面，函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP是定义在上的有界函数，定义 01(,)d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS 同理，01(,)d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS 01(,)d dlim(,)()niiiiz xiQ x y zz xRS 3、性质：1）21，则 12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x y

16、P y zQ z xR x yP y zQ z xR x y 2）表示与取相反侧的有向曲面,则d dd dR x yR x y 4、计算：“一投二代三定号”),(:yxzz，xyDyx),(，),(yxzz 在xyD上具有一阶连续偏导数，),(zyxR在上连续，则(,)d d,(,)d dx yDR x y zx yR x y z x yx y,为上侧取“+”，为下侧取“-”.5、两类曲面积分之间的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd 其中,为有向曲面在点),(zyx处的法向量的方向角。（六）高斯公式 1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧

17、,函数,P Q R在上有连续的一阶偏导数,则有 yxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd 或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd 2、通量与散度 通量：向量场),(RQPA 通过曲面指定侧的通量为：yxRxzQzyPdddddd 散度：zRyQxPAdiv（七）斯托克斯公式 1、斯托克斯公式：设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,的侧与 的正向符合右手法则,),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有 zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddd dddddd 为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:zRyQx

18、PRQPzyxyxxzzyddddddddd 2、环流量与旋度 环流量：向量场),(RQPA 沿着有向闭曲线的环流量为zRyQxPddd 旋度：yPxQxRzPzQyRArot ,第十二章 无穷级数（一）常数项级数 1、定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211 部分和：nnkknuuuuuS3211，正项级数：1nnu，0nu 交错级数：1)1(nnnu，0nu 2）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散 3）条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散；绝对收敛：1nnu收敛。2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数1nna，1nnb收敛，则1

19、)(nnnba收敛；3）级数1nna收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数1nnu收敛0limnnu.（注意：不是充分条件！）3、审敛法 正项级数：1nnu，0nu 1）定义：SSnnlim存在；2）1nnu收敛 nS有界；3）比较审敛法：1nnu，1nnv为正项级数，且),3,2,1(nvunn 若1nnv收敛，则1nnu收敛；若1nnu发散，则1nnv发散.4）比较法的推论：1nnu，1nnv为正项级数，若存在正整数m，当mn 时，nnkvu，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若存在正整数m，当mn 时，nnkvu，而1nnv发散，则1nnu发散.5）比较法的极限形式：1nnu，1

20、nnv为正项级数，若)0(limllvunnn，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若0limnnnvu或nnnvulim，而1nnv发散，则1nnu发散.6）比值法：1nnu为正项级数，设luunnn1lim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散.7）根值法：1nnu为正项级数，设lunnnlim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散.8）极限审敛法：1nnu为正项级数，若0limnnun或nnunlim，则级数1nnu发散；若存在1p，使得)0(limllunnpn，

21、则级数1nnu收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：1)1(nnnu，0nu满足：),3,2,1(1nuunn，且0limnnu，则级数1)1(nnnu收敛。任意项级数：1nnu绝对收敛，则1nnu收敛。常见典型级数：几何级数：1 1 0qqaqnn发散，收敛，p-级数：1p 1 11发散，收敛，pnnp（二）函数项级数 1、定义：函数项级数1)(nnxu，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：0nnnxa 收敛半径的求法：nnnaa1lim，则收敛半径 0 ,00 ,1R 3、泰勒级数 nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxx

22、nfxR 展开步骤：（直接展开法）1）求出,3,2,1 ),()(nxfn；2）求出,2,1,0 ),(0)(nxfn；3）写出nnnxxnxf)(!)(000)(；4）验证0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）),(,!10 xxnennx；2）),(,!)12(1)1(sin0121xxnxnnn；3）),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn；4）)1 ,1(,110 xxxnn；5）)1 ,1(,)1(110 xxxnnn 6）1 ,1(,1)1()1ln(01xxnxnnn 7）)1 ,1(,)1(

23、11022xxxnnn 8）)1 ,1(,!)1()1(1)1(1xxnnmmmxnnm 4、傅里叶级数 1）定义：正交系：nxnxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin,1函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 ,上积分为零。傅里叶级数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn 系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2）收敛定理：(展开定理)设 f(x)是周期为 2 的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有 为间断点为连续点xxfxfxxfnxbnxaannn ,2)()(),(sincos210 3）傅里叶展开：求出系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann；写出傅里叶级数)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn；根据收敛定理判定收敛性。