00高中数学第章平面解析几何初步.1.直线的方程(第课时)一般式讲义.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 3 课时 一般式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解二元一次方程与直线的对应 关 系，掌 握 直 线 的 一 般 形式(重点、难点）2 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程几种形式之间的关系（易错、易混点）3 能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程(重点）通过学习本节内容来提升学生的数学运算和数学建模核心素养。1直线与二元一次方程的关系（1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程AxByC0（A，B不全为 0）来表示（2）在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A,B不全为 0）

2、都表示一条直线 2直线的一般式方程(1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线,都有一个表示这学必求其心得，业必贵于专精 -2-条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线方程AxByC0(A，B不全为 0)叫做直线方程的一般式（2)对于直线AxByC0,当B0 时，其斜率为错误!,在y轴上的截距为错误!；当B0 时，在x轴上的截距为错误!；当AB0时，在两轴上的截距分别为错误!,错误!(3）直线一般式方程的结构特征 方程是关于x，y的二元一次方程 方程中等号的左侧自左向右一般按x，y,常数的先后顺序排列 x的系数一般不为分数和负数 虽然直线方程的一般式有三个参数，但

3、只需两个独立的条件即可求得直线的方程 1。思考辨析(1）在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程AxByC0 都表示一条直线 （）（2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程 学必求其心得，业必贵于专精 -3-(）（3）直线方程的一般式同二元一次方程AxByC0（A，B不同时为零）之间是一一对应关系 （)（4）方程x2y30；x30；y10 均表示直线()答案(1)（2）（3)(4)2 过点（1，2)，斜率为 0 的直线对应的二元一次方程为_ y20 过点(1，2)，斜率为 0 的直线方程为y2，其对应的二元一次方

4、程为y20.3方程错误!错误!1,化成一般式为_ 2x3y60 由错误!错误!1,得 2x3y60。4经过点(2,3),且斜率为 2 的直线方程的一般式为_ 2xy70 由点斜式方程得y32（x2），整理得y2x7，即 2xy70。求直线的一般式方程【例 1】根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一学必求其心得，业必贵于专精 -4-般式方程（1）斜率是错误!，且经过点A(2，3）；（2)斜率为 4，在y轴上的截距为1;(3)经过A(1，5），B(2，1)两点；（4）在x，y轴上的截距分别是 3，1。思路探究：选择恰当方程形式，代入条件,再化成一般式 解(1）由点斜式方程可知，所求直线方程为y3

5、错误!（x2），化为一般式为错误!xy32错误!0。（2）由斜截式方程可知,所求直线方程为y4x1，化为一般式为 4xy10。(3)由两点式方程可知,所求直线方程为 错误!错误!。化为一般式方程为 2xy30。(4）由截距式方程可得，所求直线方程为错误!错误!1。化成一般式方程为x3y30.学必求其心得，业必贵于专精 -5-求直线的一般式方程，设一般式用待定系数法求解并不简单，通常是根据题干条件选用点斜式，斜截式，两点式或截距式先求出方程，再化为一般式 1求满足下列条件的直线方程,并化成一般式（1)斜率为 3，经过点(5，4）；（2）斜率为2，经过点(0，2）；（3)经过两点（2,1）和(3,

6、4）；（4)经过两点(2，0）和（0，3）解（1)直线的斜率为 3,过点(5，4），由直线的点斜式方程，得y43(x5)，所求直线方程为 3xy190.(2）直线的斜率为2,在y轴上的截距为 2，由直线的斜截式方程，得y2x2，所求直线方程为 2xy20.（3）直线过两点（2，1）和(3，4），学必求其心得，业必贵于专精 -6-由直线的两点式方程，得错误!错误!，所求直线方程为 5xy110.(4)直线在x轴，y轴上的截距分别为 2 和3，由直线的截距式方程，得错误!错误!1，所求直线方程为 3x2y60.直线方程的应用【例 2】一根铁棒在 20时,长 10。402 5 米,在 40时，长 1

7、0。405 0 米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示,试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25时的长度 思路探究：把(20，10.402 5)和(40，10。405 0)视为直线l上的两个点，利用两点式求l的方程,并估计t25时的值 解 这条直线经过两点（20,10。402 5）和(40，10。405 0)，根据直线的两点式方程，得错误!错误!，即l0。002 5错误!10.400 0，当t25时，l0。002 5错误!10。400 0 0。003 12510。400 010.403 125。即当t25时，铁棒长为 10。403 125 米 学必求其心得，业必贵于专精 -7

8、-在解决实际问题时,选择直线方程的形式不同,导致运算的繁简程度也不一样 待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法 一般地，已知一点,设k为待定系数,但要注意分k存在与不存在两种情况进行讨论若已知斜率k,则设在y轴上的截距b为待定系数有关直线与坐标轴围成的三角形问题，则设横截距和纵截距为待定系数，总之，应因题而异，寻找解题的最佳方法 2某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租 20 元，B种方式是月租 0 元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图所示,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费相差_元 10 设A种方式对应的函数解析式为sk1t20，B

9、种方式对应的函数解析式为sk2t，当t100 时，100k120100k2，k2k1错误!，t150 时，150k2150k120150错误!2010.学必求其心得，业必贵于专精 -8-含参数方程与直线的位置关系 探究问题 1直线 5ax5ya30 是否一定过第一象限？为什么？提示 5ax5ya30 变形为a(5x1）35y0。当 5x10 时，35y0 即直线过定点错误!，所以不论a为何值,直线一定过第一象限 2要使直线 5ax5ya30 不经过第二象限，那么a的取值范围是什么？提示 易知直线 5ax5ya30 过定点A错误!，直线OA的斜率为k错误!3.而直线l的方程整理得y错误!a错误!

10、.l不经过第二象限，ka3.【例 3】设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR）(1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程;(2）是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由 思路探究：（1）分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解 学必求其心得，业必贵于专精 -9-(2)分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解 解(1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，即截距相等，a2 时满足条件,此时l的方程为 3xy0；当a1 时,直线平行于x轴，在x轴无截距，不合题意；当a1，且a2 时，由a2a1a2，即a11,即a0。此时直线在x轴,

11、y轴上的截距都为2,l的方程为xy20。综上，直线l的方程为 3xy0 或xy20 时,l在两坐标轴上的截距相等(2)假设存在实数a，使直线l不经过第二象限将l的方程化为y(a1)xa2，则有错误!解得a1.1本题（1)在求解过程中，常因忽略直线l过原点的情况而产生漏解；本题（2)在求解过程中,常因漏掉“(a1）0的情形而漏解 学必求其心得，业必贵于专精 -10-2解答此类综合问题，常采用分类讨论(或数形结合)的思想求解解题时应结合具体问题选好切入点，以防增（漏）解 3已知直线l:kxy12k0(kR）（1)证明：直线l过定点;（2）若直线不经过第四象限,求k的取值范围 解(1)证明：直线l的

12、方程是k（x2）（1y）0，令错误!解得错误!无论k取何值,直线总经过定点(2,1)（2)由方程知，当k0 时，直线在x轴上的截距为错误!，在y轴上的截距为 12k,要使直线不经过第四象限，则必须有错误!解得k0；当k0 时，直线为y1,符合题意,故k0。故k的取值范围为kk0 1本节课的重点是了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般式,能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间学必求其心得，业必贵于专精 -11-相互转化，难点是能根据所给条件求直线方程并能在几种形式间相互转化 2本节课要重点掌握的规律方法（1)求直线一般式方程的策略(2)弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的

13、关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程(3)含参数方程与直线的位置关系，即直线过定点、过某象限等 1 过点（0，1），倾斜角为 60的直线的一般式方程为（)Ay错误!x1 By错误!x1 C.错误!xy10 D。错误!xy10 C ktan 60错误!,由斜截式方程得y错误!x1，化为一般式：错误!xy10.2 已知直线的一般式方程为 2xy40，且点(0,a）在直线上，则a_ 4 把点（0，a）的坐标代入方程 2xy40,得a40，所以a4.3已知ab0，bc0，则直线axbyc通过第_象限 学必求其心得，业必贵于专精 -12-一、三、四 由axbyc，得y错误!x错误!，ab0，直线的斜率k错误!0，直线在y轴上的截距错误!0.由此可知直线通过第一、三、四象限 4已知一个等腰三角形，两腰长是 5,底边长是 8,建立适当坐标系，求两腰所在的直线的方程 解 如图,以底边BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系,易知点B，C的坐标分别为（4，0）,（4，0）在 RtAOC中，AC5，OC4，则OA3。所以点A的坐标为(0，3)由直线的截距式方程得腰AB所在的直线方程为：x4错误!1，即 3x4y120；腰AC所在的直线方程为x4y31，即 3x4y120.