高中数学2.1.4函数的奇偶性教学设计新人教B版必修.pdf

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1、 修 1 整体设计 教学分析 本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的 教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然 三维目标 1理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力 2学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想 重点难点 教学重点：函数的奇

2、偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于 y 轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与 y 轴对称的

3、函数展开研究 思路 2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数 yx2和 yx3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性 推进新课 新知探究 提出问题 如下图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性 那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于 y 轴对称呢？填写下面两表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)x2 x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)|x|请给出偶函数的定义？偶函数的图象有什么特征？函数 f(x)x2，x1,2是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？观察函数 f(x)x 和 f(x)1x的图象，类比偶

4、函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：观察图象的对称性 学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数 利用函数的解析式来描述 偶函数的性质：图象关于 y 轴对称 函数 f(x)x2，x1,2的图象关于 y 轴不对称；对定义域1,2内 x2，f(2)不存在，即其函数的定义域中任意一个 x 的相反数x 不一定也在定义域内，即 f(x)f(x)不恒成立 偶函数的定义域中任意一个 x 的相反数x 一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称 先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进

5、而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质 给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；(2)由函数的奇偶性定义，可知函数具 有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；(4)可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域

6、的子集上的性质是“局部”性质 讨论结果：这两个函数之间的图象都关于 y 轴对称 填表如下 x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)x2 9 4 1 0 1 4 9 x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)|x|3 2 1 0 1 2 3 这两个函数的解析式都满足：f(3)f(3)；f(2)f(2)；f(1)f(1)可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)设函数 yg(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有xD，且 g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数 偶函数的图象关于 y 轴对称 不是偶函数

7、偶函数的定义域关于原点轴对称 设函数 yf(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有xD，且 f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称 应用示例 思路 1 例 1 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)xx3x5；(2)f(x)x21；(3)f(x)x1；(4)f(x)x2，x1,3 解：(1)函数 f(x)xx3x5的定义域为 R，当 xR 时，xR.因为 f(x)xx3x5(xx3x5)f(x)，所以函数 f(x)xx3x5是奇函数(2)函数 f(x)x21 的定义域为 R，当 xR 时，xR.因为 f(x)(x)21x2

8、1f(x)，所以 f(x)x21 是偶函数(3)函数 f(x)x1 的定义域是 R，当 xR 时，xR.因为 f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，所以 f(x)f(x)，f(x)f(x)因此，f(x)x1 既不是奇函数也不是偶函数(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在 31,3，而31,3，所以 f(x)x2，x 1,3 既不是奇函数也不是偶函数 点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求 xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不

9、是偶函数 函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意 x，其相反数x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f(x)与 f(x)的关系 作出相应结论：若 f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则 f(x)是偶函数；若 f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则 f(x)是奇函数.变式训练 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x4；(2)f(x)x5；(3)f(x)x1x；(4)f(x)1x2.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性先求函数的定义域，并判断定义

10、域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断 f(x)f(x)或 f(x)f(x)解：(1)函数的定义域是 R，对定义域内任意一个 x，都有 f(x)(x)4x4f(x)，所以函数 f(x)x4是偶函数 (2)函数的定义域是 R，对定义域内任意一个 x，都有 f(x)(x)5x5f(x)，所以函数 f(x)x5是奇函数(3)函数的定义域是(，0)(0，)，对定义域内任意一个 x，都有 f(x)x1x(x1x)f(x)，所以函数 f(x)x1x是奇函数(4)函数的定义域是(，0)(0，)，对定义域内任意一个 x，都有 f(x)1(x)21x2f(x)，所以函数 f(x)1x2是偶函数

11、例 2 研究函数 y1x2的性质并作出它的图象 解：已知函数的定义域是 x0 的实数集，即xR|x0 由函数的解析式可以推知：对任意的 x 值，对应的函数值 y0，函数的图象在 x轴的上方；函数的图象在 x0 处断开，函数的图象被分为两部分，且 f(x)f(x)，这个函数为偶函数；当 x 的绝对值变小时，函数值增大得非常快，当 x 的绝对值变大时，函数的图象向 x 轴的两个方向上靠近 x 轴由以上分析，以 x0 为中心，在 x轴的两个方向上对称地选取若干个自变量的值，计算出对应的 y 值，列出 x，y 的对应值表：x 3 2 1 12 0 12 1 2 3 y 19 14 1 4 不存在 4

12、1 14 19 在直角坐标系中，描点、连成光滑曲线，就得到这个函数的图象，如下图所示 由图象可以看出，这个函数在(，0)上是增函数，在(0，)上是减函数 点评：当函数 yf(x)不是基本初等函数时，通常利用其性质来画其图象，即根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性来估计其图象的特点.变式训练 画出函数 y1x3的图象 解：函数定义域是x|x0，值域是y|y0，因此其图象与两坐标轴均无交点 又f(x)1(x)31x3f(x)函数 y1x3是奇函数，其图象关于原点对称 利用描点法画出函数 y1x3在(0，)上的图象，再作出该部分关于原点的对称图象，这两部分合起来就是函数 y1x3的图象 如下图所示

13、 思路 2 例 1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2，x1,2；(2)f(x)x3x2x1；(3)f(x)x24 4x2.活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法 先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断 f(x)与 f(x)的关系在(4)中注意定义域的求法，对任意xR，有1x2 x2|x|x，则 1x2x0.则函数的定义域是 R.解：(1)因为它的定义域1,2不关于原点对称，函数 f(x)x2，x1,2既不是奇函数又不是偶函数(2)因为它的定义域为x|xR 且 x1，并不关于原点对称，函数 f(x)x3x2x1既不是奇函数又不是偶函数(3)x240 且 4x20，x2，即 f

14、(x)的定义域是2,2 f(2)0，f(2)0，f(2)f(2)，f(2)f(2)f(x)f(x)，且 f(x)f(x)f(x)既是奇函数也是偶函数 点评：本题主要考查函数的奇偶性 定义法判断函数奇偶性的步骤是(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断 f(x)与 f(x)或f(x)是否相等；(2)当 f(x)f(x)时，此函数是偶函数；当 f(x)f(x)时，此函数是奇函数；(3)当 f(x)f(x)且 f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数.变式训练 1函数 f(x)2x2x4，xa,1a是偶函数，则实数 a_.答

15、案：12 2判断下列函数的奇偶性(1)yx2，x1,1)；(2)yx32x；(3)y x21.答案：(1)非奇非偶函数；(2)奇函数；(3)偶函数.例 2 已知函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数，对定义域内的任意 x1、x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当 x1 时 f(x)0，f(2)1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)试比较 f(52)与 f(74)的大小 分析：(1)转化为证明 f(x)f(x)，利用赋值法证明 f(x)f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的

16、大小，利用函数的奇偶性，将函数值 f(52)和 f(74)转化为同一个单调区间上的函数值(1)证明：令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.令 x1x21，得 f(1)f1(1)f(1)f(1)，2f(1)0.f(1)0.f(x)f(1x)f(1)f(x)f(x)f(x)是偶函数(2)证明：设 x2x10，则 f(x2)f(x1)f(x1x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x2x1)x2x10，x2x11.f(x2x1)0，即 f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(3)解：由(1)知 f(x)是偶函数，则有 f(52)f(5

17、2)由(2)知 f(x)在(0，)上是增函数，则 f(52)f(74)f(52)f(74)点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.变式训练 已知 f(x)是定义在(，)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意 x、y，f(x)都满足 f(xy)yf(x)xf(y)(1)求 f(1)、f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由 分析：(1)利用赋值法，令 xy1 得 f(1)的值，令 xy1，得 f(1)的值；(2)利

18、用定义法证明 f(x)是奇函数，要借助于赋值法得 f(x)f(x)解：(1)f(x)对任意 x、y 都有 f(xy)yf(x)xf(y)，令 xy1 时，有 f(11)1f(1)1f(1)f(1)0.令xy1时，有f(1)(1)(1)f(1)(1)f(1)f(1)0.(2)是奇函数 f(x)对任意 x、y 都有 f(xy)yf(x)xf(y)，令 y1，有 f(x)f(x)xf(1)将 f(1)0 代入得 f(x)f(x)，函数 f(x)是(，)上的奇函数.知能训练 1设函数 yf(x)是奇函数若 f(2)f(1)3f(1)f(2)3，则 f(1)f(2)_.解析：函数 yf(x)是奇函数，f

19、(2)f(2)，f(1)f(1)f(2)f(1)3f(1)f(2)3.2f(1)f(2)6.f(1)f(2)3.答案：3 2f(x)ax2bx3ab 是偶函数，定义域为a1,2a，则 a_，b_.解析：偶函数定义域关于原点对称，a12a0.a13.f(x)13x2bx1b.又f(x)是偶函数，b0.答案：13 0 3已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，则 f(6)的值为()A1 B0 C1 D2 解析：f(6)f(42)f(4)f(22)f(2)f(20)f(0)又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0.f(6)0.答案：B 拓展提升 问题：利用图象讨论基本初

20、等函数的奇偶性 探究：利用判断函数的奇偶性的方法：图象法，可得 正比例函数 ykx(k0)是奇函数；反比例函数 ykx(k0)是奇函数；一次函数 ykxb(k0)，当 b0 时是奇函数，当 b0 时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数 yax2bxc(a0)，当 b0 时是偶函数，当 b0 时既不是奇函数也不是偶函数 课堂小结 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称 作业 课本本节练习 B 1、2.设计感想 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教

21、学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求 备课资料 奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 x 都必须成立(3)f(x)f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)是奇函数(4)f(x)f(x)f(x)f(x)0，f(x)f(x)f(x)f(x)0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数 奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇

22、偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数 yf(x)和 yg(x)的奇偶性相同，那么复合函数 yfg(x)是偶函数，如果函数 yf(x)和 yg(x)的奇偶性相反，那么复合函数 yfg(x)是奇函数，简称为“同偶异奇”(6)如果函数 yf(x)是奇函数，那么 f(x)在区间(a，b)和(b，a)上具有相同的单调性；如果函数 yf(x)是偶函数，那么 f(x)在区间(a，b)和(b，a)上具有相反的单调性(7)定义域关于原点对称的任意函数 f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即 f(x)f(x)f(x)2f(x)f(x)2.(8)若 f(x)是(a，a)(a0)上的奇函数，则 f(0)0；若函数 f(x)是偶函数，则 f(x)f(x)f(|x|)f(|x|)；若函数 yf(x)既是奇函数又是偶函数，则有 f(x)0.