高三数学-专项精析精炼-考点8-函数与方程、函数模型及其应用.pdf

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1、考点 8 函数与方程、函数模型及其应用 一、选择题 1.（2014湖南高考理科10）已知函数221()(0)()ln()2xf xxexg xxxa与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 ()A1(,)e B(,)e C1(,)ee D1(,)ee【解题提示】利用存在性命题及函数图象的对称性，再构造新函数，利用函数图象平移求解。【解析】选 B.解法一：由题可得存在0,0 x 满足0220001ln2xxexxa 001ln2xexa0,当0 x取决于负无穷小时,001ln2xexa趋近于,因为函数在定义域内是单调递增的,所以lnlnaeae。解法二：由已知设0,0 x ，满足0220

2、001ln2xxexxa，即axexln210，构造函数 xh 0ln,21xxxex，画出两个函数的图象，如图，当 0lnxxx向右平移a个单位，恰好过点21,0时，得到 eeaa21,21ln，所以ea。2、（2014上海高考文科18）111222112212121212(,),)1(1,1,.,P a bP a bykxka xb ya xb yP PBP PP PP P已知与（是直线为常数)上两个不同的点，则关于x 和y的方程组的解的情况是（）.A.无论k,如何，总是无解 无论k,如何，总是唯一解C.存在k,，使之恰有两解 D.存在k,，使之有无穷多解【解题提示】通过消元法解方程组，可

3、得 y 的关系式，结合1122,a ba b，之间的关系，可把 y 求出来，代入可得 x 的取值.【解析】112211122 1222121 212 11 2212121121,11(1)1(2)(1)(2)-=,1,bkabkaa xb ya a xa b yaa xb ya a xab yaa b aby aaaayaayxkP PB 根据条件有，（）方程组，可变为得，（）将 式代入得：即所以无论k,如何，总是唯一解答案：3.（2014山东高考理科8）已知函数()|2|1f xx，()g xkx，若()()f xg x有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A、1(0,)2 B、1(,

4、1)2 C、(1,2)D、(2,)【解题指南】本题考查了函数与方程，函数的图像，可先作出草图，再利用数形结合确定k 的范围.【解析】选 B.先作出函数的图像，由易知，函数 kxxgxxf，12的图像有两个公共点，由图像知当直线介于xylxyl:,21:21之间时，符合题意，故选 B.二、填空题 4.（2014 福建高考文科 15）15 函数 0,ln620,22xxxxxxf的零点个数是_【解题指南】分段函数分段处理【解析】令220 x，解得2x（舍）或2x ；令26ln0 xx，即ln-2+6xx，如图 3，在0 x 的范围内两函数有一个交点，即原方程有一个根 综上函数 f x共有两个零点

5、答案：5.（2014 辽宁高考理科 1）对于0c，当非零实数,a b满足224240aabbc且使2ab最大时，345abc的最小值为_【解析】令2abm，则2bma，代入224240aabbc整理得 22241840amamc，由于a存在，所以方程22241840amamc有解，即22(18)4 24(4)0mmc ，整理得282 1055ccmm 从而2ab的最大值为2 105c，此时方程22241840amamc有相等实根，解得3,8ma 从而4mb，258mc 所以223458168118222abcmmmm 答案：2【误区警示】抓住“2ab取得最大值”这一关键，寻求取得最值时,a b

6、 c间的关系，减少变量个数，防止由于多个变量纠缠不清 6.（2014 辽宁高考理科 1）对于0c，当非零实数,a b满足22420aabbc且使2ab最大时，124abc的最小值为_【解析】令2abm，则2bma，代入22420aabbc整理得 221260amamc，由于a存在，所以方程221260amamc有解，即22(6)4 12()0mmc ，整理得242mcmc 从而2ab的最大值为2 c，此时方程221260amamc有相等实根，解得,4ma 从而2mb，24mc 所以2212444161116112abcmmmm 答案：1【误区警示】抓住“2ab取得最大值”这一关键，寻求取得最值

7、时,a b c间的关系，减少变量个数，防止由于多个变量纠缠不清 三、解答题 7.（2014辽宁高考理科21）（本小题满分 12 分）已知函数8()(cos)(2)(sin1)3f xxxxx，2()3()cos4(1 sin)ln(3)xg xxxxx.证明：（）存在唯一0(0,)2x，使0()0f x；（）存在唯一1(,)2x，使1()0g x，且对（1）中的0 x，有01xx.【解析】证明：（）当(0,)2x时，2()(1 sin)(2)2cos03fxxxxx 函数()f x在(0,)2上为减函数，281600,0323ff，所以存在唯一0(0,)2x，使0()0f x；（）考察函数 3

8、cos24ln 3,1 sin2xxh xxxx 令tx，则,2x时，0,2t.记 3 cos24ln 11 sintttu thtt.则 321 sinf tu ttt 由（）当00,tx时，0u t；当0,2tx时，0u t；可见在00,x上，u t为增函数，而 00u，因此当00,tx时，0u t，所以 u t在00,x上无零点.在0,2x上，u t为减函数，而 00u x，4ln202u，则存在唯一的10,2tx使得 10.u t所以存在唯一的10,2t使得 10.u t 因此存在唯一的11,2xt，使得 1110.h xhtu t 当,2x时，1 sin0 x，则 1 sing xx h x与 h x有相同的零点，所以存在惟一的1,2x，使 10g x.因为11xt，10tx，所以01xx