2020届山东省泰安第二中学高三10月月考数学试题(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期!精品 2020 届山东省泰安第二中学高三 10 月月考数学试题 一、单选题 1已知集合 1,3aA，,Ba b，若13AB ，则AB（）A11,3 B11,3 C11,1,3 D1,1,3b【答案】C【解析】由13AB ，求出1a，13b，由此能求出AB【详解】集合1A，3 a，Ba，b，13AB ，1a，13b，1A，13，1B ，13，1AB，1，13 故选：C【点睛】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题 2若实数xy，则（）A0.50.5loglogxy Bxy C2xxy D22xy【答案】D【解析】根据对数的单调性可知xy

2、，并且x、y都大于 0，A选项不成立；当x、y都是负数的时候，绝对值符号是相反的，可判断 B错误；举反例，0 x 的时候选项 C就不成立了；根据指数函数的单调性可判断选项 D中xy成立【详解】A 对数函数的底数是在 0到 1之间，所以是减函数，因此xy，并且要保证真数0，因此不成立；B取1x，4y ，显然不成立；努力的你，未来可期!精品 C当0 x 时，式子不成立；D指数函数的底数大于 1，所以是增函数，即有xy，因此成立；故选：D【点睛】本题考查了不等式的基本性质，结合了对数函数、指数函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题 3设随机变量,7XN，若24P XP X，则（）A3，()

3、7D X B6，()7D X C3，()7D X D6，()7D X【答案】A【解析】根据正态分布及24P XP X可知期望与方差.【详解】因为随机变量,7XN，且24P XP X，所以由对称性知2432，由正态分布,7XN知方差()7D X.故选：A【点睛】本题主要考查了正态分布2(,)N 中，2,的含义，属于容易题.4设xR，则“|1|2x”是“lg0 x”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解出不等式根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【详解】由题解12x，解得：31x，解lg0 x 可得：01x；则31x 不能推出01

4、x成立，01x能推出31x 成立，所以“12x”是“lg0 x”的必要不充分条件，故选：B.努力的你，未来可期!精品【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.5设0 xy，1xy，若1yax，1logxybxy，1logycx，则实数a，b，c的大小关系是（）Aabc Bbac Cbca Dcba【答案】C【解析】利用指数函数、对数函数的性质直接求解【详解】0 xy，1xy，11x，01xy，1111xyyx，011()()1yaxx，1()log10 xybxy ，11101loglog1yyylogcxy，实数a，b，c的大小关

5、系为bca 故选：C【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题 6设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，则下列命题中真命题是（）A若l，则 B若lm，则 C若，则lm D若/，则/lm【答案】A【解析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可【详解】努力的你，未来可期!精品 由，为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，知：在A中，l，则，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A正确；在B中，若lm，不能得到l，也不能得到m，所以得不到，故B错误；在C中，若，则l与m可能

6、相交、平行或异面，故C不正确；在D中，若/，则由面面平行的性质定理得l/，不一定有/lm，也可能异面，故D错误 故选：A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 7函数 33lgxxfxx的图象大致为（）A B C D【答案】D【解析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。【详解】解：函数的定义域为0 x x，33lgxxfxxf x，则函数 f x为偶函数，图象关于 y轴对称，排除 B，当1x 时，0f x，排除 A，当01x时，0f x，排除 C，故选：D.【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题通

7、过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。8已知一组数据点11,x y，22,xy，33,x y，77,xy，用最小二乘法得到其线性回归方程为24yx，若数据1x，2x，3x，7x的平均数为 1，则71iiy（）A2 B11 C12 D14【答案】D【解析】根据,x y在回归直线上，代入求y，再求71iiy.【详解】1x，且,x y在线性回归直线24yx上，242 142yx ，则7177214iiyy.故选：D.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点,x y.9用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为 1，则球的体积为（

8、）A83 B8 23 C8 2 D323【答案】B【解析】求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为 1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积【详解】用一平面去截球所得截面的面积为，则截面圆的半径为 1，已知球心到该截面的距离为 1，则球的半径为2r，球的体积为：348 233r 故选：B【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是中档题 10在3xy，3logyx，2yx，1yx四个函数中，当1201xx时，使 121222fxfxxxf恒成立的函数的个数是（）A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】根据条

9、件结合凸凹函数的定义进行判断即可【详解】满足1212()()()22xxf xf xf为凸函数，分别作出四个函数在(0,1)上的图象，由图象知，在四个函数中，只有3logyx是凸函数，其余三个为凹函数，故选：B【点睛】本题主要考查函数图象的判断，结合凸凹函数的定义，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题 二、多选题 11某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019 年的高考升学情况，得到如下柱图：努力的你，未来可期!精品 则下列结论正确的是（）A与 2016 年相比，2019 年一本

10、达线人数有所增加 B与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C与 2016 年相比，2019 年艺体达线人数相同 D与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加【答案】AD【解析】根据柱状图给定的信息，作差比较，即可求解.【详解】依题意，设 2016年高考考生人数为x，则 2019 年高考考生人数为1.5x，由24%1.528%8%0 xxx，所以 A项正确；由7(40%1.532%)32%8xxx，所以 B项不正确；由8%1.58%4%0 xxx，所以 C项不正确；由28%1.532%10%0 xxx，所以 D项正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了统计

11、图表的识别和应用，其中解答中熟记柱状图表表示的含义是解答的关键，属于基础题.12 已知空间中两条直线a，b所成的角为50，P为空间中给定的一个定点，直线l过点P且与直线a和直线b所成的角都是(090)，则下列选项正确的是（）A当15时，满足题意的直线l不存在 B当25时，满足题意的直线l有且仅有 1 条 C当40时，满足题意的直线l有且仅有 2 条 D当60时，满足题意的直线l有且仅有 3 条【答案】ABC【解析】为了讨论：过点O与ab所成的角都是(090)的直线l有且仅有几条，努力的你，未来可期!精品 先将涉及到的线放置在同一个平面内观察，只须考虑过点O与直线1a1b所成的角都是(090)的

12、直线l有且仅有几条即可，再利用12coscoscos.进行角之间的大小比较即得.【详解】过点O作1/aa，1/bb，则相交直线1a1b确定一平面.1a与1b夹角为50或130，设直线OA与1a1b均为角，作AB 面于点B，1BCa于点C，1BDb于点D，记1AOB，22(25BOC 或65)，则有12coscoscos.因为1090，所以20coscos.当225时，由0 coscos25，得2590；当265时，由0 coscos65，得6590.故当25时，直线l不存在；当25时，直线l有且仅有 1条；当2565时，直线l有且仅有 2条；当65时，直线l有且仅有 3条；当6590时，直线l

13、有且仅有 4条；当90时，直线l有且仅有 1条.故A，B，C均正确，D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面角大小的判断，处理技巧上，将直线,a b转化成共面直线非常关键，考查了数形结合，分类讨论的数学思想，属于中档题 13德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名努力的你，未来可期!精品 命名的函数 1,0 xf xx为有理数，为无理数成为狄利克雷函数，则关于 f x，下列说法正确的是（）A,1xR ff x B函数 f x是偶函数 C任意一个非零有理数T，fx Tfx对任意xR恒成立 D存在三个点112233(,(),(,(),(,()A xf xB xf

14、xC xf x，使得ABC为等边三角形 【答案】ABCD【解析】依次判断每个选项：0,1f x，故 1ff x；判断 fxf x，为偶函数；判断fx Tfx；取33,0,0,1,033ABC为等边三角形，得到答案.【详解】,0,11xR f xff x，A正确；1,1,0,0,xxfxf xxx为有理数为有理数为无理数为无理数，偶函数，B正确；1,1,00 xTxf xTf xxTx为有理数为有理数，为无理数，为无理数，C正确；易知33,0,0,1,033ABC三点构成等边三角形，D正确；故选：ABCD【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力.三、填空题 14命题

15、p：“xR，20 xx”的否定p是_.【答案】0 xR，2000 xx【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【详解】努力的你，未来可期!精品 命题为全称命题，则命题的否定为2000,0 xR xx，故答案为：2000,0 xR xx【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题 15已知 f x为偶函数，当0 x 时，lnxf xx，则曲线 yf x在点1,0处的切线方程是 _.【答案】yx【解析】由已知求得函数()f x在(0,)上的解析式，求其导函数，得到f（1），再由直线方程点斜式得答案【详解】()f x为偶函数，且当0 x时，()()lnxf xx，当0 x 时，0 x，则

16、()()lnxf xfxx，21()lnxfxx，f（1）1 曲线()yf x在点(1,0)处的切线方程是01(1)yx ，即10 xy 故答案为：10 xy 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，是中档题 16甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“庆国庆 70 周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第 1 名到第 5 名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_.【答案】13【解析】根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的，故可求其概率

17、.【详解】甲和乙都不可能是第一名，第一名只可能是丙、丁或戊，努力的你，未来可期!精品 又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，这三个人获得第一名是等概率事件，丙是第一名的概率是13.故答案为：13.【点睛】本题考查推理和概率的求法，意在考查推理，抽象概括能力，属于简单题型.四、双空题 17在棱长为 6 的正方体1111ABCDABC D中，M是BC的中点，点P是面11DCC D所在的平面内的动点，且满足APDMPC，则PDPC_，三棱锥PBCD的体积最大值是 _.【答案】2 12 3 【解析】根据Rt ADPRt PMC，2PDPC，利用体积公式求解得出POCD，求解OP最值，根据勾股定

18、理得出223348144hxx，06x，利用函数求解即可.【详解】在棱长为 6 的正方体1111ABCDABC D中，M是BC的中点，点P是面11DCC D所在的平面内的动点，且满足APDMPC，如图：Rt ADPRt PMC，2ADPDMCPC，即2PDPC，设DOx，POh，作POCD，22222(6)xhxh，化简得：223348144hxx，06x，根据函数单调性判断：6x 时，23h最大值为 36，努力的你，未来可期!精品 2 3h最大值，在正方体中，PO 面BCD，三棱锥PBCD的体积最大值为11662 312 332V 故答案为：2；12 3【点睛】本题考查了空间几何体中的最值问

19、题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解，是中档题 五、解答题 18设函数()(1)(0 xxf xakaa,且 1)a 是定义域为 R 的奇函数（1）求k的值；（2）若(1)0f,试判断函数单调性,并求使不等式2()(4)0f xtxfx恒成立的t的取值范围;【答案】（1）2（2）答案见解析.【解析】（1）利用奇函数的性质 00f即可求得实数 k的值为2k.（2）由题意可得 f x在 R 上单调递减.结合函数的单调性和函数的奇偶性可得t的取值范围是35t .【详解】（1）f x是定义域为 R 的奇函数.0001110fakak.2k.（2）(0 xxf xaaa,且 1)a.110,

20、0faa.又 0a,且 1,01aa.而xya在 R 上单调递减,xya在 R 上单调递增,故判断 xxf xaa在 R 上单调递减.不等式化为 224,4f xtxf xxtx x.2140 xtx 恒成立.21160t,解得 35t .【点睛】本题主要考查奇函数的性质及其应用，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力努力的你，未来可期!精品 和计算求解能力.19已知集合2|4120Ax xx，22|440Bx xxm.（1）求集合A、B；（2）当0m 时，若xA是xB成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）4,.【解析】(1)由24120 xx，

21、解得 x 范围，可得集合 A，由22440 xxm解得 x=2+m，或 2-m.对 m分类讨论即可得出集合 B；（2）根据xA是xB成立的充分不必要条件，可得-2，6是2-m，2+m的真子集，进而得出范围.【详解】（1）由24120 xx，得26x.故集合|26Axx.由22440 xxm，得12xm，22xm.当0m 时，22mm，由22440 xxm得22mxm，故集合|22Bxmxm.当0m时，22mm，由22440 xxm得：22mxm，故集合|22Bxmxm.当0m 时，由2440 xx得2x，故集合|2Bx x.（2）xA是xB成立的充分不必要条件，2,6是2,2mm的真子集，则有

22、222226mmmm，解得4m，又当4m 时，2,22,6mm，不合题意，实数m的取值范围为4,.【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20在直角梯形 ABCD 中，AB=BC=2，CD=4，BCDC，AEDC，M，N 两点分别在线段 AD，BE上运动，且 DM=EN（如图 1）将三角形 ADE沿 AE折起，使点 D到达 D1的位置（如图 2），且平面 D1AE平面 ABCE.（1）判断直线 MN 与平面 D1CE的位置关系并证明；（2）证明：MN的长度最短时，M，N分别为 AD1和 BE的中点；（3）

23、当 MN的长度最短时，求平面 D1MN与平面 EMN所成角（锐角）的余弦值【答案】（1）平行，证明见解析；（2）证明见解析；（3）13.【解析】(1)作辅助线/MGAE交1D E于点G，/NHBC交CE于点H，证明四边形MNHG是平行四边形，即有/MN GH，由线面平行的判定即可证明MN/面 D1CE；(2)令 DM=EN=x，可得 GE、EH，再由(1)中 MN=GH且 GH 是 Rt1D EC的斜边，结合勾股定理构造关于 x的函数求最小值即可；(3)以E为坐标原点，分别以EA、EC、1ED所在直线为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，再结合已知条件写出相关点的坐标，用坐标表示向量

24、1DM、1DN、EM、EN，求面1D MN、面EMN的法向量，由坐标表示向量数量积的公式即可求二面角的余弦值【详解】（1）MN与平面1DCE平行.证明：连接MN，在平面1D AE内作/MGAE交1D E于点G；在平面BCE内作/NHBC交CE于点H，连接GH AB=BC=2，BCDC，AEDC：即 ABCE为边长为 2的正方形/,2AE BCAEBC，又 CD=4，即12D E，且 DM=EN 努力的你，未来可期!精品 在 Rt1D AE中，11D MMGD AAE；在 RtBCE中，ENNHEBBC 由题意知：12 2D AEB 有MGNH 综上知：四边形MNHG是平行四边形，即有/MN G

25、H.11,MND EC GHD EC MN/面 D1CE（2）证明：平面1D AE 平面ABCE，平面1D AE 平面ABCEAE，1D EAE，1D E平面ABCE，1D ECE，令 DM=EN=x(02 2)x，则在Rt1D EC中，222,22GEx EHx 22221(2)(2)222GHxxx(02 2)x 当2x 时，minmin2MNGH，此时,M N分别是1AD和BE的中点；（3）以E为坐标原点，分别以EA、EC、1ED所在直线为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0)EAB，1(0,2,0),(0,0,2)CD，(

26、1,0,1),(1,1,0)MN，努力的你，未来可期!精品 11(1,0,1),(1,1,2),DMD N(1,0,1),(1,1,0)EMEN 设111(,)mx y z是平面1D MN的一个法向量 由1100m D Mm D N可得11111020 xzxyz，若取11z，可得(1,1,1)m 设222(,)nxy z是平面EMN的一个法向量 由00n EMn EN 可得222200 xzxy，若取21z，可得(1,1,1)n 由题意知：面1D MN与面EMN所成角为锐角，故1cos,3|m nm nmn 平面1D MN与平面EMN所成角的余弦值为13【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，

27、应用勾股定理构造函数求最值，利用空间向量求二面角的余弦值，注意构建空间直角坐标系并根据已知条件得到相关点的对应坐标值，结合向量垂直的坐标公式求得法向量，应用向量数量积的坐标公式求余弦值 21某市近郊有一块大约500500mm的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为 3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为 2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；努力的你，未来可期!精品（2）怎样设计能使S取得最大值，并

28、求出最大值 【答案】（1）1500030306Sxx，其定义域是(6,500)（2）设计50 xm，60ym时，运动场地面积最大，最大值为 2430平方米【解析】（1）总面积为3000 xy，且26ay，则3000yx，1500332yax（其中6500)x，从而运动场占地面积为(4)(6)Sxaxa，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积1500015000303063030(6)Sxxxx，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值【详解】解：（1）由已知3000 xy，3000yx，其定义域是(6,500)(4)(6)(210)Sxaxaxa，26ay，1500332yax，150

29、015000(210)(3)3030(6)Sxxxx，其定义域是(6,500)（2）15000150003030(6)30302 6303023002430Sxxxx，当且仅当150006xx，即50(6,500)x 时，上述不等式等号成立，此时，50 x，60y，2430maxS 答：设计50 xm，60ym时，运动场地面积最大，最大值为 2430 平方米【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题 22设函数 22lnf xxaxax.（1）求函数 f x的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值.努

30、力的你，未来可期!精品【答案】(1)当0a 时，f x的单调递增区间为0,；当0a 时，f x的单调递减区间为0,2a，单调递增区间为,2a;(2)3.【解析】（1）先求导，再对a进行分类讨论，利用导数与函数的单调性的关系即可得出；（2）由（1）可知，若函数 f x有两个零点，则0a，且 min02af xf.转化为求满足 4ln402ah aa的最小正整数a的值，利用单调性判断其零点所在的最小区间即可求得.【详解】（1）函数 22lnf xxaxax的定义域为0,.2222122xaxaxaxafxxaxxx.0,10 xx,当0a 时，0fx，函数 f x在0,上单调递增；当0a 时，由

31、0fx，得2ax；由 0fx，得02ax.所以函数 f x在0,2a上单调递减，在,2a上单调递增.综上所述，当0a 时，f x的单调递增区间为0,；当0a 时，f x的单调递减区间为0,2a，单调递增区间为,2a.（2）由（1）可知，若函数 f x有两个零点，则0a，且 min02af xf.即22ln0222aaaaa，即4ln402aa a，0,4ln402aaa.努力的你，未来可期!精品 令 4ln42ah aa，易知 h a在0,上是增函数，且 22h，又 4333334ln44ln1ln1ln10222he ，即 20,30hh.所以存在02,3a，使 00h a，当00aa时，0

32、h a；当0aa时，0h a.所以满足 0h a 的最小正整数a的值为 3.又3a 时，30,10,33 2ln302fff，且函数 f x在30,2上单调递减，在3,2上单调递增，3a时，函数 f x有两个零点.综上，满足条件的最小正整数a的值为 3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点，考查分类讨论的思想方法和等价转化方法，考查学生的逻辑思维能力,属于较难的题目.23某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有 3 个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需

33、要维修，且维修所需费用为 500 元.(1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由 3 个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;(3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则 C 可以正常工作，问:p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率?【答案】(1)12；(2)见解析；(3)当112p时，可以提高整个G系统的正常工作概率.努力的你，未来可期!精品【解析】（1）由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不

34、需要维修的概率；（2）设X为维修维修的系统的个数，根据题意可得13,2XB，从而得到500X，利用公式写出分布列，并求得期望；（3）根据题意，当系统G有 5 个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.【详解】（1）系统不需要维修的概率为23233311112222CC.（2）设X为维修维修的系统的个数，则13,2XB，且500X，所以3311500,0,1,2,322kkkPkP XkCk.所以的分布列为 0 500 1000 1500 P 18 38 38 18 所以的期望为 1500 37502E.（3）当系统G有 5 个电

35、子元件时，原来 3 个电子元件中至少有 1 个元件正常工作，G系统的才正常工作.若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为21223113228Cpp；若前 3 个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有 1 个正常工作，则概率为2221222323111131222228CCppCppp；努力的你，未来可期!精品 若前 3 个电子元件中 3 个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为3331128C.所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为2233131288848pppp，于是由3113214828pp知，当210p 时，即112p时，可以提高整个G系统的正常工作概率.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.