(完整版)第8章空间解析几何与向量代数近年试题济南大学.pdf

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1、0809 B 一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1、曲线xzyxz2222在xOy面上的投影曲线为 消去 z，再与 z=0 联立.2220 xyxz 5、曲线0)(22yxaz绕z轴旋转得到曲面方程为 .绕z轴，母线中的变量 z 不变，x 换成22xy 222()zaxy.二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）2、在曲线32,tztytx所有切线中，与平面433zyx平行的切线（）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有 3 条；（D）不存在 切线的方向向量与平面的法向量垂直，2(1,2,3)stt，(1,3,3)n，0s n A 五、解答题（每小题分 10，共 20 分）2、

2、求直线0101zyxzyx 与平面01:zyx的夹角 解：设夹角为,直线的方向向量111(0,2,2)111ijks，平面的法向量(1,1,1)n 22|sins nsn=|4|2.2 2332arcsin.3 0910B 一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）1、过 点)1,0,3(且 与 平 面012573zyx 垂 直 的 直 线 方 程为 与平面垂直的直线和该平面的法向量平行，31375xyz 二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）2、曲 线30222zxzy 在xOy面 上 的 投 影 曲 线 的 方 程 是 （）（A）022zxy；（B）0922zxy；（C）922xy；（

3、D）3922zxy 在xOy面上的投影曲线，消去曲线中的变量 z，然后联立 z=0.B 4、设,ab为两个向量，则正确的是 （）（A）abab=0；（B）abab=0；（C）ab表示以a，b为邻边的平行四边形的面积；（D）abab=0 利用数量积和向量积的性质:0a bab，0abab，a b表示以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 四、计算题（每小题 10 分，共 40 分）3、设已知两点)1,2,4(1M和)2,0,3(2M计算向量21MM的模、方向余弦及与其平行的单位向量（1）12 1,2,1M M ，向量12M M的模为：212121PP，向量12M M的方向余弦为：21cos，22c

4、os，21cos.与向量12M M同向的单位向量：12 1cos,cos,cos,222a（）（-），与向量12M M反向的单位向量：121cos,cos,cos,222a（）（）.从而其平行的单位向量12 1121(,),222222和（）五、解答题（每小题分 12，共 24 分）1、试求曲线02yxz绕z轴旋转所得曲面与平面1z所围成的立体的体积(,)(cos,sin)DDf x y df rrrdrd 解：曲线02yxz绕z轴旋转所得旋转抛物面22zxy，与 z=1 所围成的立体 在 xoy 面上的投影为22.,:1Dx yxy 极坐标表示,:0.1,02D 22(1)DVxyd2(1)

5、Dd d 21200(1).2dd 2、已知xoy平面上两定点)0,2,4()0,3,1(BA、及椭圆柱面)0,0(14922yxyx上一点)0,(yxC，记ABC的面积为S (1)、计算ABACS21；(2)、试确定)0,(yxC点坐标使S最大 解：AB(3,1,0),(1,3,0),ACxy ACAB130(103)312xyxy ijki，111|103|(103).222SACABxyxy(03,02)xy（2）设拉格朗日函数 221(,)(103)(1),294xyF x yxy 令221202930221094xyxFyFxyF ，解方程组,得唯一驻点34,55xy，且ABC面积最

6、大值一定存在，所以当点 C 坐标为34(,)55时，ABC面积最大 1011B 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）(2)旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的法线方程是 .解，设221Fxyz，2,2,1.xyzFx Fy F 曲面在点)4,1,2(处的法向量(4,2,1).过已知点的法线方程为：214421xyz(3)方程123222zyx所表示的曲面方程名称是 .双叶双曲面(5)求 过 点)1,2,1(1M,)1,3,2(2M,且 和 平 面01zyx垂 直 的 平 面 方 程为 .12M M(21,32,1(1)(1,1,2)，(1,1,1)n 所求平面的法向量111232

7、.111njkijki 所求平面方程为:3(1)(2)2(1)0 xyz或0723zyx 1112B 一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）5.若a，b为同向的单位向量，则它们的数量积 ba_.答案：1 二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）1.设平面方程为0DCzBy，且0,DCB，则平面()(A)平行于x轴 (B)平行于y轴 (C)经过y轴 (D)经过x轴 答案：A 4.两平面1432zyx，1432zyx的位置关系是 （）(A)平行但不重合 (B)重合 (C)相交但不垂直 (D)垂直 因为11123(4)1234 ,所以两平面不垂直，两平面的法向量对应的坐标不成比例，所以所以两平

8、面不平行 答案：C 四、解答题（每小题 11 分，共 33 分）1.求过点（-3，2，5）且与平面034 zx和0152zyx的交线平行的直线方程.解：所求直线与已知的两个平面的法向量都垂直，所以所求直线的一个方向向量 10443.215ijknijk 所求直线方程为325.431xyz 解法 2：两方程联立，求出交线方程。由 x-4z=3 得(x-3)/4=z，代入（2）得(y-5)/3=z，因此交线方程为(x-3)/4=(y-5)/3=z，方向向量（4，3，1），所以所求直线方程为(x+3)/4=(y-2)/3=(z-5)/1.解法 3 在交线上取两点。如取 z=0，x=3，y=5 得 A

9、（3，5，0），再取 z=1，x=7，y=8 得 B（7，8，1），因此交线的方向向量为 AB=（4，3，1），所求直线方程为(x+3)/4=(y-2)/3=(z-5)/1。3.求曲线20zxy 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面1z所围成立体的体积V.解：曲线02yxz绕z轴旋转所得旋转抛物面22zxy，与 z=1 所围成的立体 在 xoy 面上的投影为22.,:1Dx yxy 极坐标表示,:0.1,02D 22(1)DVxyd2(1)Dd d 21200(1).2dd 1213B 一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）(1)过点)1,2,1(且与平面032zyx平行的平面方程 .12(2)

10、3(1)0 xyz 或2380 xyz 四、应用题（每小题 10 分，共 20 分）(1)求旋转抛物面22yxz上垂直于直线035201zyxzyx的切平面方程.解：已知直线的方向向量11134.125ijksijk 设抛物面上在点000(,)M xyz处的法向量00(2,2,1)nxy与已知直线的方向向量平行，于是00221.341xy得000325,2,z.24xy 所求得切平面方程为3253()4(2)()024xyz或253420.4xy 0809 代数几何 B 一、填空题（每小题 4 分，共 32 分）2、经过 O z 轴和点（1,1,1）的平面方程的为 .yx 3、曲线222222

11、zyxyxz在xOy平面上的投影柱面的方程为 .221xy 二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）4、下列方程中表示的曲面为圆锥面的是 B .41)(;4)(;4)2()(;22)(222222222yxzDxyCyxzByxzA A 为旋转抛物面，B 为圆锥面，C 抛物柱面 D 旋转椭球面 1011 代数几何 B 二、选择题（每小题 3 分，共 18 分）5.二次方程143221232221xxxxx所表示的曲面为 C (A)椭球面；(B)二次锥面；(C)单叶双曲面；(D)双叶双曲面.(需要用到线性代数中线性变换及二次型知识)1112 代数几何 A 一、填空题（每小题 3 分，共 18

12、分）4.母线平行于z轴且过曲线0162222222zyxzyx的柱面方程为_.22216xy 6.过点)1,0,1(且垂直于直线012012zyxzyx的平面方程为_.(1)35(1)0 xyz或3540 xyz 二、选择题（每小题 3 分，共 18 分）1.方程122222zyx表示旋转曲面，则旋转轴为)(.)(Ax轴；)(By轴；)(Cz轴；)(D任一直线.C 分析 曲线(,)00f x yz绕x轴旋转所得旋转曲面方程为22(,)0f xyz因为曲线上的点在旋转过程中有两个不变：一是横坐标x不变；二是所求曲面上的点到x轴的距离不变，所以只需将y换成22yz一般地，求由某一坐标面上的曲线绕该

13、坐标面上 的某一个坐标轴旋转而得旋转曲面方程的方法是：绕哪个坐标轴旋转，则原曲线方程中相应的那个变量不变,而将曲线方程中另一个变量改写成该变量与第三个变量平方和的正负平方根 1213 代数几何 A 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分）6.母线平行于y轴且通过曲线0162222222zyxzyx的柱面方程是().1623)(22zxA 162)(22yxB 163)(22 zyC 163)(22 zyD.A 消去变量 y 1011 代数几何 A 一、填空题（每小题 3 分，共 21 分）3、过 点)1,0,1(且 垂 直 于 直 线012012zyxzyx的 平 面 方 程为 .(1)35

14、(1)0 xyz或3540 xyz 7、曲线012xyz绕 z 轴旋转而成的曲面方程为 .221xyz 二、选择题（每小题 3 分，共 21 分）4、曲面222yxz与2226yxz所围成的封闭曲面在xoy面上的投影区域为 (A)圆222 yx；(B)圆面222 yx；(C)椭圆6222 yx；(D)椭圆面6222 yx B 消去 z,交线在 xoy 面上的投影所围区域 四、综合题（每小题 10 分，共 20 分）1、已知三平面63321321azyxzyzx:,:,:交于一条直线l，求 a 的值,并求此直线 l 的方程.注：需要用到线性代数中线性方程组解结构的理论 (1)解：三平面交于一条直

15、线()()2r Ar A b此时101|0120.31Aa即5,a 101101233156bA101101230123 101101230000 所求直线方程为123xzyz 0910 代数几何 A 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）3、过点 A(4,0,-2)和点 B(5,1,7)且平行于z轴的平面方程为_.40 xy 七、（满分 12 分）已知三个平面的方程分别为：,:11zyxbzx-2:,1233azyx:.讨论 a,b 为何值时：(1)三平面交于一点；(2)三平面两两交于一条直线；(3)三平面交于一条直线,并写出此直线的标准方程.注：需要用到线性代数中线性方程组解结构的理论

16、 解：(2)方程组的系数行列式111|1010.32Aa即1,ba 为任意实数时，方程组有唯一解，三平面交于一点.(3)三平面两两交于一条直线；()2,()3r Ar A b。此时111|1010.32Aa即1,a 11111013211bbA111101210122b 11110121000(1)bb()2,()3r Ar A b，b1 .a1.,b1 三平面两两交于一所时，条直线以(4)三平面交于一条直线()()2r Ar A b此时111|1010.32Aa即1,a 11111013211bbA111101210122b 11110121000(1)bb 所以)2.1()b(r Ar A

17、 b时，直线的标准方程1.22xyzyz 1314 代数几何 A 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、曲线00(,)f x yz绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为 2222222200000(,);()(,);()(,);()(,);().fxzyA fxzyB fxzyC f xyzDz2、二次方程2212132322224xx xx xx x所表示的曲面为 (A)单叶双曲面；(B)双叶双曲面；(C)双曲柱面；(D)椭圆柱面.1.（A）2.（C）(需要用到线性代数中线性变换及二次型知识)二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分）3、过点(1,-3,0)与平面 2x+3y-z+7=0 垂直的直线方程为 .4、两 曲 面22222,zxyzxy所 围 立 体 在 xOy 平 面 上 的 投 影 域为 .313231xyz；4221xy