2020高中数学第一章空间几何体.2空间几何体的三视图和直观图学案(含解析).pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-1。2 空间几何体的三视图和直观图 知识导图 学法指导 1。用斜二测画法画直观图,关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，这是画空间几何体的直观图的基础 2会用斜二测画法画出简单几何体的直观图 3充分利用直观图的作图规则，顺利实现实物图与直观图之间的转化 高考导航 掌握直观图的画法是学好立体几何的基础，必须熟练、准确地掌握常见几何体的直观图的画法学习过程中要重点把握直观图与原图形之间的关系.知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 学必求其心得，业必贵于专精 -2-知识点二 立体图形直观图的画法 用斜二测画法画空间几何体的直观图时,与平面图

2、形相比只多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，其平行性和长度都不变 1。画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可 2用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画 45(或 135)小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“，错误的打“”）（1）用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A90，则在直观图中，A45。（）（2）用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图学必求其

3、心得，业必贵于专精 -3-中仍平行，且长度不变（)答案：(1）(2)2水平放置的梯形的直观图是()A梯形 B矩形 C三角形 D任意四边形 解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选 A.答案：A 3利用斜二测画法可以得到：水平放置的三角形的直观图是三角形；水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；水平放置的正方形的直观图是正方形;水平放置的菱形的直观图是菱形 以上结论正确的是(）A B C D 解析：根据斜二测画法的规则可知正确；对于，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确 答案:A 学必求其心得，业必贵于专精 -4-4如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，

4、OC2 cm，则原图形是()A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形 解析：如图，在原图形OABC中，应有OD2OD22错误!4错误!(cm），CDCD2 cm，所以OCOD2CD2错误!6(cm),所以OAOC,故四边形OABC是菱形，故选 C。答案：C 类型一 水平放置的平面图形的直观图的画法 学必求其心得，业必贵于专精 -5-例 1 画一个锐角为 45的平行四边形ABCD的直观图(尺寸自定)【解析】（1)画轴：ABCD如图 1 所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，再建立斜坐标系xOy，使xOy45，如图 2。（2）描点：在x轴上以点O为中点,取B

5、ABA，在y轴上取OD错误!OD，过D作DCx轴,且DCDC，如图 2。（3）连线:连接BC，AD，如图 2.(4）成图:四边形ABCD即为一个锐角是 45的平行四边形ABCD的直观图.以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy，再建立斜坐标系 x O y，利用斜二测画法画直观图 方法归纳 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是学必求其心得，业必贵于专精 -6-关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线 跟踪训练 1 画水平放置的直角梯形的直

6、观图，如图所示 解析：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画相应的x轴和y轴，使xOy45，如图所示(2)在x轴上截取OBOB,在y轴上截取OD错误!OD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC。连接BC，如图。（3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图如图.观察图形先以OB 为 x 轴，OD 为 y 轴建平面直角坐标系，再用斜二测画直观图 类型二 立体图形的直观图的画法 学必求其心得，业必贵于专精 -7-例 2 画正六棱柱ABCDEFABCDEF的直观图（尺寸自定)【解析】如图(1)画轴

7、画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O，使xOy45，xOz90。画底面 以点O为中点,在x轴上取FOOC，在y轴上取OMON错误!FO，分别过点M，N作EDFO，ABFO,EDABFO，且M，N分别为DE，AB的中点连接BC，CD，EF，FA，得到正六棱柱的底面直观图ABCDEF.画侧棱 在六边形ABCDEF所在平面的同侧过点A，B,C,D,E，F分别作z轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA，BB，CC,DD，EE，FF都等于侧棱长 成图顺次连接A,B,C,D，E,F，并加以整理（去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线）就得到正六棱柱的直观图，如图（2)所示.建立坐标系，根据画轴、画底面、画侧棱

8、的顺序画直观图 学必求其心得，业必贵于专精 -8-方法归纳(1）画柱体、锥体的直观图的步骤 画轴：通常以高所在直线为z轴建系画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面 确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点连线成图（2）画台体的直观图的步骤 画轴：通常以高所在直线为z轴建系画下底面画高，画上底面连线成图 跟踪训练 2 用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O（尺寸自定)解析：(1）画出六棱锥PABCDEF的底面在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴，线段AD的中垂线为y轴,两轴相交于点O(如图(1)

9、），画相应的x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90(如图(2）；在图（2）中，以O为中点,在x轴上取ADAD,在y轴学必求其心得，业必贵于专精 -9-上取MN12MN,以点N为中点，画BCx轴，且BCBC,再以M为中点,画EFx轴，且EFEF；连接AB，CD，DE,FA，得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF.(2）画正六棱锥PABCDEF的顶点在z轴的正半轴上取点P,点P异于点O。(3）成图连接PA，PB,PC，PD，PE，PF，并擦去x轴、y轴和z轴，将被遮挡的线改为虚线,便可得到六棱锥PABCDEF的直观图PABCDEF（如图（3)建立坐标系，根据画底面

10、、确定顶点、连线的顺序画直观图 类型三 直观图与原平面图形的面积关系 学必求其心得，业必贵于专精 -10-例 3 如图所示，四边形ABCD是一个梯形,CDAB，CDAO1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求水平放置的梯形ABCD的直观图的面积 【解析】方法一 在梯形ABCD中,AB2，高OD1，水平放置的梯形ABCD的直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，作DEAB于E，如图所示，在直观图中，OD错误!OD12,梯 形ABCD 的 高DE 错误!，于 是 梯 形ABCD的面积为错误!(12)错误!错误!.方法二 因为梯形ABCD的面积为错误!错误!，所以直观图的面积为错误!

11、错误!错误!.研究直观图的面积问题时,一定要注意：画三角形的直观图时，不仅是 y 轴上的线段长度变为原来的一半，同时，y 轴与 x 轴的夹角也变为 45（或 135），因此直观图中三角形的高不是原来高的一半 方法归纳 学必求其心得，业必贵于专精 -11-（1）解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的 2 倍(2）求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成 45角且长度为原来的一半的线段，以此

12、为依据求出直观图中的高线即可 跟踪训练 3 已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，BAC90，则ABC的面积为_ 解析:BAC90，BOCO1，AO1，ABC的高为 2，ABC的面积为12222.答案:2 学必求其心得，业必贵于专精 -12-由斜二测画直观图，还原原图再计算 基础巩固（25 分钟,60 分）一、选择题（每小题 5 分，共 25 分)1关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）A原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴,长度不变 B原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的错误!C在画与直角坐标系xOy对应的xOy时，

13、xOy必须是 45 D在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 解析:在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy可以是 45，也可以是 135.答案：C 22019山东日照校级检测在画水平放置的平面图形时，若学必求其心得，业必贵于专精 -13-在原来的图形中两条线段平行且相等,则在直观图中对应的两条线段(）A平行且相等 B平行不相等 C相等不平行 D既不平行也不相等 解析:在原图形中平行且相等的线段在直观图中保持平行且相等 答案：A 3如图所示的直观图的平面图形是()A等腰梯形 B直角梯形 C任意四边形 D平行四边形 解析:由斜二测画法知,ABAD,BCAD，因此具有如图所示直观图

14、的平面图形是直角梯形 答案：B 4已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是（）学必求其心得，业必贵于专精 -14-A16 B64 C16 或 64 D以上都不对 解析：根据直观图的画法,平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半,于是直观图中长为 4 的边如果平行于x轴，则正方形的边长为 4,面积为 16；长为 4 的边如果平行于y轴，则正方形的边长为 8，面积为 64。答案：C 5若用斜二测画法把一个高为 10 cm 的圆柱的底面画在xOy平面上，则该圆柱的高应画成(）A平行于z轴且长度为 10 cm B平行于z轴且长度

15、为 5 cm C与z轴成 45且长度为 10 cm D与z轴成 45且长度为 5 cm 解析：平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变，故选 A.答案：A 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分)6已知正三角形ABC的边长为 2，那么ABC的直观图学必求其心得，业必贵于专精 -15-ABC的面积为_ 解析：如图，图，图所示的分别是实际图形和直观图 从图可知，ABAB2，OC错误!OC错误!，CDOCsin45错误!错误!错误!。所以SABC12ABCD错误!2错误!错误!。答案:错误!7。一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD,如图所示，ABC45，ABAD1，DCBC，则这

16、个平面图形的面积为_ 解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1,下底为错误!1，高为 2，故面积为错误!错误!22错误!。答案:错误!学必求其心得，业必贵于专精 -16-8一条边在x轴上的正方形的面积是 4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形,则这个平行四边形的面积是_ 解析：正方形的面积为 4，则边长为 2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为 2，高为错误!，故面积为错误!。答案：错误!三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9将图中所给水平放置的直观图绘出原形 解析：10画棱长为 2 cm 的正方体的直观图 解析：(1）作水平放置的正方形的直观图ABCD，使BAD45

17、，AB2 cm,AD1 cm。(2)过点A作z轴，使BAz90,分别过点A，B，C，D,沿z轴的正方向取AA1BB1CC1DD12 cm.（3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图,擦去辅助线，把被遮学必求其心得，业必贵于专精 -17-住的线改为虚线，得到的图形如下图就是所求的正方体的直观图 能力提升(20 分钟，40 分）11已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为 20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为 8 m如果按 1500 的比例画出它的直观图，那么在直观图中,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为（）A4

18、 cm,1 cm，2 cm,1。6 cm B4 cm,0.5 cm,2 cm，0.8 cm C4 cm,0。5 cm，2 cm，1。6 cm D4 cm,0.5 cm，1 cm,0.8 cm 解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为 4 cm，1 cm,2 cm 和 1。6 cm，再结合直观图的画法，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为 4 cm，0。5 cm,2 cm，1.6 cm.答案：C 12。学必求其心得，业必贵于专精 -18-如图为ABO水平放置的直观图ABO，由图判断ABO中，AB，BO，BD，OD由 小 到 大 的 顺 序 是_ 解析：由题图可知，ABO中，O

19、D2,BD4，AB错误!，BO2错误!.答案：ODBDABBO 13用斜二测画法画出图中水平放置的OAB的直观图 解析：（1）在已知图中,以O为坐标原点，以OB所在的直线及垂直于OB的直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，过点A作AM垂直x轴于点M,如图1。另选一平面画直观图，任取一点O，画出相应的x轴、y轴，使xOy45。（2)在x轴上取点B，M，使OBOB，OMOM，过点M作MAy轴，取MA错误!MA。连接OA,BA，如图2。学必求其心得，业必贵于专精 -19-(3）擦去辅助线，则OAB为水平放置的OAB的直观图 14一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的

20、底面重合，圆柱的底面直径为 3 cm，高（两底面圆心连线的长度)为 4 cm,圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度）为 3 cm,画出此几何体的直观图 解析：（1)画轴如图（1）所示，画x轴、z轴，使xOz90。（2)画圆柱的下底面在x轴上取A、B两点，使AB3 cm，且OAOB，选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面(3)在Oz上截取点O，使OO4 cm,过点O作平行于Ox的Ox，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面(4）画圆锥的顶点在Oz上取点P，使PO3 cm。(5)成图连线AA,BB，PA,PB，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线）得到此几何体的直观图，如图(2)所示 学必求其心得，业必贵于专精 -20-