2020高中数学第一章三角函数.2.2同角三角函数的基本关系学案(含解析).pdf
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1、学必求其心得,业必贵于专精 -1-1.2。2 同角三角函数的基本关系 考试标准 课标要点 学考要求 高考要求 同角三角函数的基本关系 b b 同角三角函数关系的应用 b b 知识导图 学法指导 1。充分理解同角三角函数的基本关系式,掌握公式成立的条件、形式及公式的变形,在尝试证明的基础上去理解记忆 2理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型,领会解题常用的方法技巧,熟练掌握公式及其变形的应用。同角三角函数的基本关系式 学必求其心得,业必贵于专精 -2-错误!(1)“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下),关系式都成立,与角的表达形式无关,如:sin23
2、cos231 等(2)注意公式成立的条件(3)注意公式的变形,特别是公式的逆用(4)在应用平方关系式求sin 或cos 时,其正负号是由角 所在的象限决定,不可凭空想象 小试身手 1判断下列命题是否正确。(正确的打“”,错误的打“)(1)sin2错误!cos2错误!1。()(2)sin 2cos 21。()(3)对于任意角都有 sin2cos21,tan sin cos.()答案:(1)(2)(3)2若为第二象限角,且 sin 错误!,则 cos()学必求其心得,业必贵于专精 -3-A错误!B.错误!C。错误!D错误!解析:是第二象限角,cos 错误!错误!.答案:A 3已知 tan 错误!,
3、且错误!,则 sin 的值是()A错误!B。错误!C.255 D错误!解析:(,错误!),sin 0。由 tan 错误!错误!,sin2cos21,得 sin 错误!。答案:A 4化简:(1tan2)cos2等于()A1 B0 C1 D2 解析:原式错误!cos2cos2sin21.答案:C 学必求其心得,业必贵于专精 -4-类型一 利用同角基本关系式求值 例 1(1)已知 sin 错误!,求 cos,tan;(2)已知 tan 3,求错误!.【解析】(1)因为 sin 错误!0,且 sin 1,所以是第一或第二象限角 当为第一象限角时,cos 错误!错误!错误!,tan 错误!错误!;当为第
4、二象限角时,cos 错误!错误!,tan 错误!。(2)分子、分母同除以 cos2,得3sin2cos22sin26cos2错误!。又 tan 3,所以错误!错误!错误!。(1)已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求解该角的正切值即可(2)利用同角基本关系式,分子、分母同除以cos2,把正弦、余弦化成正切 方法归纳 求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号,确定角所在的象限 学必求其心得,业必贵于专精 -5-(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论(3)利用两个基本公式
5、求出其余三角函数值 跟踪训练 1(1)本例(2)条件变为错误!2,求错误!的值;(2)本例(2)条件不变,求 4sin23sin cos 5cos2的值 解析:(1)法一:由错误!2,化简得 sin 3cos,原式错误!错误!错误!.法二:由错误!2 得 tan 3,原式错误!错误!错误!.(2)原式错误!错误!错误!错误!。形如(2)式的求解,应灵活利用“1的代换,将整式变为分式,即利用分式的性质将式子变为关于tan 的代数式,从而代入求值 类型二 化简三角函数式 例 2 化简:(1)错误!错误!;(2)错误!.【解析】(1)错误!错误!学必求其心得,业必贵于专精 -6-错误!错误!错误!2
6、tan2。(2)错误!错误!错误!1.(1)利用同角基本关系化简(2)注意 1 的活用例如 12sin 10 cos 10 sin210 cos210 2sin210 cos 10(cos 10 sin 10)2 方法归纳 三角函数式的化简技巧(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 sin2cos21,以降低次数,达到化简的目的 跟踪训练 2(1)化简:错误!;(2)化简:sin2tan 2sin cos 错误
7、!。解析:(1)原式 学必求其心得,业必贵于专精 -7-错误!|sin 130cos 130|sin 130cos 130错误!1.(2)原式sin2错误!2sin cos cos2错误!错误!错误!错误!.(1)1sin2130 cos2130,12sin 130 cos 130 (sin 130 cos 130)2.(2)式子中的tan 应化为错误!,如果出现分式,一般应通分 类型三 利用同角三角函数关系证明 例 3 求证:错误!错误!.【证明】因为左边cos22xsin22x2sin 2xcos 2xcos22xsin22x错误!错误!错误!右边,所以等式成立。左边是含正、余弦的式子,右
8、边是含有正切的式子,因此需要弦化切,左边的分子可以用平方关系,分母可以用平方差公式实现变形 方法归纳 证明简单三角恒等式的思路(1)从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则(2)证明左右两边等于同一个式子 学必求其心得,业必贵于专精 -8-(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于 1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立 跟踪训练 3 求证:错误!错误!.证明:方法一 因为右边分母为 cos,故可将左边分子分母同乘以 cos。左边错误!错误!错误!错误!右边 方法二 因为左边分母是 1sin,故可将右边分子分母同乘以1sin.右边错误!错误!错误!错误!左边
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- 2020 高中数学 第一章 三角函数 2.2 基本 关系学 解析
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