2021届陕西省西安市第一中学高三上学期模拟调研考试数学(理)试题(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期!精品 2021 届陕西省西安市第一中学高三上学期模拟调研考试数学（理）试题 一、单选题 1若1zi ，则1zz（）A0 B22 C1 D2【答案】B【解析】由共轭复数定义写出复数z，求出1zz后，再由模的公式计算模【详解】1 iz ，i 1 i1i11i1 i222zz，则122zz.故选：B【点睛】本题考查求复数的模，考查复数的除法运算及共轭复数的概念，根据定义直接计算求解属于基础题 2已知集合4Ax xa，30Bx x x，且02ABxx，则a（）A-2 B0 C2 D4【答案】A【解析】确定集合,A B的元素，根据交集的结果得出a的值【详解】由题意，4Ax xa，03

2、Bxx，又02ABxx，故42a，得2a ，故选：A【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题 3 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，努力的你，未来可期!精品 园林建筑.以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）Acos3cos8 Bsin3sin8 C3cos8cos D3sin8sin【答案】C【解析】设O为正八棱锥SABCDEFGH底面外接圆心，连接OA，OB，OE，由题意可得，38OAB

3、，SAB，运用锐角三角函数可得选项【详解】如图，O为正八棱锥SABCDEFGH底面外接圆心，连接OA，OB，OE，由题意，38OAB，SAB，则3cos138coscos28cosSAABSAOAOA.故选：C 【点睛】本题考查对数学文化的理解，以及空间中的角的实际运用，考查空间想象能力，属于中档题 4已知F为抛物线2:8Cyx的焦点，M为C上一点，且4MF，则M到x轴的距离为（）A4 B4 2 C8 D16【答案】A 努力的你，未来可期!精品【解析】由已知求得抛物线的焦点2 0F，再设11,M x y，由抛物线的性质求得1x，代入可得选项.【详解】因为F为抛物线2:8Cyx的焦点，所以2,0

4、F，设11,M x y，由抛物线的性质得：1422x，2118 2164yy，故M到x的距离为 4.故选：A【点睛】本题考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，属于基础题.5已知变量 x，y，z都是正数，y与 x的回归方程：3ybx，且 x每增加 1 个单位，y 减少 2 个单位，y与 z的回归方程：22yz，则（）Ay与 x正相关，z与 x正相关 By与 x正相关，z与 x负相关 Cy与 x负相关，z与 x正相关 Dy与 x负相关，z与 x负相关【答案】D【解析】根据 x每增加 1个单位，y 减少 2个单位，可得2b ，所以 y与 x负相关，又 y与 z正相关，所以 z与 x负相关.【详解】因为

5、 x 每增加 1 个单位，y减少 2 个单位，所以2b ，所以 y与 x负相关，又 y，z 都是正数且22yz，所以 y 与 z 正相关，所以 z与 x 负相关.故选：D.【点睛】本题考查了两个变量的相关性，属于基础题.6函数 10fxa xxx，在 1,1f处的切线方程为yxn，则a、n的值分别为（）A2 和 3 B4 和 3 C4 和 4 D4 和 5【答案】C 努力的你，未来可期!精品【解析】求导 212afxxx，根据导函数的几何意义可得选项.【详解】212afxxx，则 11142akfa ，15f，故切线为514yxyx，比较yxn，4n.故选：C.【点睛】本题考查导函数的几何意义

6、，求在函数上一点的切线方程，属于基础题.7设函数 2cos 22f xxa在571212，上的图像大致如图，则a与分别为（）A1和6 B1 和3 C1 和3 D1 和6【答案】C【解析】由图知 f x的最大值为 3和图象过点0 2，代入可得选项.【详解】由图知 f x的最大值为 3，即231aa，又2cos123 ，由图可看出 f x的图像是由 cos2g xx的图像首先向左平移，再向上平移后得来的，则3.故选：C.【点睛】本题考查由三角函数的图象求函数的解析式，属于基础题.努力的你，未来可期!精品 824xayxyy的展开式中32x y项的系数为 4，则a（）A0 B2 C52 D-2【答案

7、】D【解析】32x y项为 2131333344114 1xayC x yC xya xyy ，由已知可求得选项.【详解】由题意，32x y项为 2131333344114 1xayC x yC xya xyy ，故4 14a，所以2a .故选：D.【点睛】本题考查二项式展开式的特定项的系数问题，属于基础题.9已知22，cos23sin10，则tan（）A3 B33 C3 D33【答案】B【解析】由余弦的二倍角公式化为sin，解方程得sin，然后由同角间的三角函数关系求得结论【详解】221 2sin3sin102sin3sin20，1sin2 或sin2，由sin1，所以1sin2，33cos

8、tan23.故选：B【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查同角间的三角函数关系，属于基础题 10 边长为 4 的正方形ABCD的四个顶点都在球O上，OA与平面ABCD所成角为4，努力的你，未来可期!精品 则球O的表面积为（）A64 B32 C16 D128【答案】A【解析】先根据线面角求得球的半径，再由球的表面积公式可得选项.【详解】如图，设正方形ABCD外接圆的圆心为1O，由题意，14OAO，则1cossin444AOAOADAOAD，球的表面积24464S.故选：A.【点睛】本题考查空间中的线面角的定义和计算，以及球的表面积，属于中档题.11 直线330 xy与x轴交于A，与圆22:234

9、Mxy交于B、C两点，过A的直线与过B、C两点的动圆N切于P，当PBC的面积最大时，切线AP的方程为（）A330 xy B330 xy C330 xy D330 xy【答案】D【解析】计算切线长的平方，得出切线长AP是定值，又BC的长是定值，这样当PABC时，PBC的面积最大，由此可得切线方程【详解】H是BC中点，如图，30A，(2,3)M，222323164 3AM，22222|APANNPAHNH努力的你，未来可期!精品 222222CHNHAHCHAMMH2222124 3MCMHAMMC为定值，AP为定值，设PBC的BC边上高为h，由PBC的面积12SBC h，由于BC不变，则当PAB

10、C时，h最大，12SBC h最大，则AP的方程为：333303yxxy.【点睛】本题考查圆的切线方程，考查三角形面积最值问题，解题关键是求出切线长 12若ln2ln3ln5235235abc则（）Aln5 ln 2 ln3cab Bln 2 ln5 ln3acb Cln3 ln5 ln 2bca Dln 2 ln3 ln5abc【答案】A【解析】构造函数 ln xfxx，求导 1 ln xfxx，得出函数 f x的单调性，从而得ln3ln4ln2ln53425，再由已知得523cab，两边取自然对数可得选项【详解】由函数 ln xfxx，1 ln xfxx，所以0 xe，时，0fx，函数 f

11、x 单调递增，xe，时，0fx，函数 f x 单调递减，又 ln22ln 2ln424244ff，ln3ln4ln2ln53425与努力的你，未来可期!精品 ln2ln3ln5235235abc523cab，所以将不等式两边取自然对数得ln5ln2ln3cab，故选：A【点睛】本题考查构造函数，研究其单调性，得出代数式的大小关系，属于较难题 二、填空题 13x、y满足约束条件220200 xyxyx，则2zyx的最大值为_.【答案】1【解析】作出可行域，目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】2yxz，2yxz，z的几何意义是直线在y轴上截距，作出可行域的图，如图，阴影部分，作直线:2

12、0l yx，向上平移直线l，2zyx增大，当直线l过点(0,1)C时，2zyx取得最大值 1 故答案为：1 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题方法作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线得最优解，属基础题 14设向量a，b满足22ab，14a b ，则2ab_.【答案】4【解析】根据数量积的运算性质及数量积的运算求解.努力的你，未来可期!精品【详解】因为22224416 1 1 16ababa b ，所以24ab.故答案为：4【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.15过双曲线222210 xyabab，的右焦点2F且与x轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一

13、点P，1F为左焦点，直线1FP的倾斜角为4，则双曲线的离心率e为_.【答案】5【解析】先求得点 P 的坐标，再由斜率公式得出的,a c关系，由离心率公式可得答案.【详解】由题意，可求得：bcP ca，则1222tan24422F Pbcbakbacaaca，所以225ca得：255ee.故答案为：5.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，关键在于将已知条件转化到,a c关系上，属于中档题.16长方体1111ABCDABC D的展开图如图所示侧面展开图是正方形1AMNA，下底面为矩形ABFE，且22ABAE，对角线1AM上一动点Q，当AQFQ最小时，AQF的余弦值为_.努力的你，未来可期!精品【答案

14、】5665【解析】A关于对角线1AM的对称点是N，连FN与1AM交于Q，此时AQFQFN最小，由此先由余弦定理计算cosAMF，再由余弦的二倍角公式计算出cosAQF【详解】A关于对角线1AM的对称点是N，连FN与1AM交于Q，此时AQFQFN最小，由题意得：16A AAM，6 2AN，227465FN，5AF，由余弦定理得：7265511cos2 6 265130ANF，21156cos221651cos30AQFANF.故答案为：5665 【点睛】本题考查余弦定理，余弦的二倍角公式，解题关键是利用对称性找到使AQQF最小时的点Q的位置 三、解答题 17 公差0d 的等差数列 na中，数列

15、na的前n项和为nS且520S，3a是1a与7a的等比中项.（1）求 na的通项公式；（2）设2nannba求 nb的前n项和nT.努力的你，未来可期!精品【答案】（1）1nan；（2）22nn.【解析】（1）由已知条件建立方程组，解之可得数列的通项；（2）由（）得121 2nannnban，运用错位相减法可求得数列的和【详解】（1）由题意，221111317152625 24120202ada adaaa aaddS，得：1nan.（2）121 2nannnban，2312 23 221 2nnnTnn ，341222 23 221 2nnnTnn ，-得：234122 22221 2nnn

16、Tn 312222 1 22 21 221 2nnnnn ，得22nnTn.【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，运用错位相减法求数列的和，属于中档题 18乒乓球单打决赛，采用 7 局 4 胜，每一局都是一方胜、一方负，没有平局，先胜 4局者获胜，若没有一方赢够 4 局，比赛继续，直到有一方赢够 4 局为止，比赛结束，现甲、乙两人决赛，每局甲胜乙的概率为23.（1）求打了 6 局甲取胜的概率；（2）求打了 7 局比赛结束的概率.【答案】（1）160729；（2）160729.【解析】（1）所求问题代表前 5局甲胜 3 局，第 6 局甲胜，由概率公式可求得所求概率；（2）所求问题代表打了 7局

17、乙胜或甲胜，根据概率和公式可求得所求概.【详解】（1）这代表前 5局甲胜 3局，第 6 局甲胜，则所求概率为：3235212160333729C.（2）这代表打了 7 局乙胜或甲胜，所求概率为：努力的你，未来可期!精品 33333366212121160333333729CC.【点睛】本题考查独立重复事件的概率的计算，属于中档题.19如图，圆柱1OO的轴截面11ABB A是正方形，1O、O分别是上、下底面的圆心，C是弧AB的中点，D、E分别是1AA与BC中点.（1）求证：/DE平面11ACB；（2）求二面角11BACB的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155.【解析】（1）取1CB的中

18、点为M，连接DE，ME，1AM，由平面几何得11/EM BBAA，再由线面平行的判定可得证；（2）以O为原点，OC，OB，1OO方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，运用二面角的向量求解方法可求得答案【详解】（1）取1CB的中点为M，连接DE，ME，1AM，则11/EM BBAA，且1112EMAAAD，四边形1ADEM是平行四边形，与1AM 平面11ACB，/DE平面11ACB.（2）以O为原点，OB，OC，1OO方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图，设OBa，努力的你，未来可期!精品 则00B a，00Ca，00Aa，102Aaa，10

19、2B aa，设平面1ABC的法向量为111mxyz，设平面11A B C的法向量为222nxyz，则111111200+00axayazm ACaxaym BC，2221211200200axayazn ACaxn AB，令11x，21z，得：1 1 1m，0 21n，则1215cos535m nmnmn，由图中可看出二面角111BACB是锐角，故二面角111BACB的余弦值为155 【点睛】本题考查空间中的线面平行的证明，二面角的向量求解方法，属于中档题 20 椭圆2222:103xyCbbb的左、右顶点分别为1A，2A，上顶点为B，点1,0D，线BD的倾斜角为135.（1）求椭圆C的方程；

20、（2）过D且斜率存在的动直线与椭圆C交于M、N两点，直线1AM与2A N交于P，求证：P在定直线上.【答案】（1）2213xy；（2）证明见解析.努力的你，未来可期!精品【解析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得 b，可得椭圆C的方程.（2）设,P x y，11,M x y，22,N xy，设过D的动直线：1yk x，代入椭圆C的方程得：2222316330kxk xk，由韦达定理得：2122631kxxk，21223331kxxk，再由P，1A，M及P，2A，N三点共线，化简可得证明点P在定直线上.【详解】（1）0,Bb，由题意，tan135111BDbkb ，所以椭圆C的方程221

21、3xy.（2）设,P x y，11,M x y，22,N xy，过D的动直线：1yk x，代入椭圆C的方程得：2222316330kxk xk，得：2122631kxxk，21223331kxxk，22222222222222313333333xyxyyxxxyx ，分别由P，1A，M及P，2A，N三点共线，得：1133yyxx，2233yyxx，两式相除得：2121212211212311333333333kxxyxyyxyxxxxxx 2222222222222222336313336313131123336 3336 3932333131kkkkkkkkkkkkkkkk ，得：32333

22、xxx，即P在直线3x 上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.努力的你，未来可期!精品 21已知0a，函数 2112x afxxaexax.（1）讨论 f x的单调性；（2）若任意1x，202xa，223121ee2aaf xf x恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）0 2，【解析】（1）求导 e1x afxxa，得出导函数取得正负的区间，从而得 f x单调性.（2）由（1）知xa是 f x在区间02a，上的最小值点.比较 20faf，的大小，再由 12maxminmaxf xf xf xf x，构造关于a的函数，

23、求导，研究其单调性，可得a的取值范围.【详解】（1）由 ee10 x ax afxxaxaxa，得xa，当xa 时，0fx，f x单调递增；当axa 时，0fx，f x单调递减；当xa时，0fx，f x单调递增.（2）由（1）知xa是 f x在区间02a，上的最小值点.又 220120212201002a aafafaaeaa aae 321 e1 ee1 e1 eaaaaaaaaa，设 11xxg xxexe，0 x，0 x，eeee0 xxxxgxxxx，又 0000 10 10gee，0g x，220e0afafg a，20faf.32212maxminmax121 ee2aaf xf

24、xf xf xfaf aaa努力的你，未来可期!精品，由题意得322311aaaaeeee恒成立，211aaee 恒成立，设关于a的函数 1eaF aa，1e0aFa，即 2121aF aaeFe ，2a，所以a的取值范围为0 2，.【点睛】本题考查利用导函数研究原函数的单调性，最值，以及不等式的恒成立，属于较难题.22在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为3242xtty（t为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为413cos4kkkk.（1）当1k 时，求直线l和C的普通方程；（2）当2k 时，试判断直线l和C有无交点若有，求出交点的

25、坐标；若无，说明理由.【答案】（1）34 30 xy，334 20 xy；（2）无交点，理由见解析.【解析】（1）由公式cossinxy可化极坐标方程为直角坐标方程，消去参数可化参数方法为普通方程；（2）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，由直线方程与C的直角坐标方程联立方程组，根据方程组的解确定有无交点【详解】（1）当1k 时，43 23 2cossin4223cos4，即3 23 24334 2022xyxy，努力的你，未来可期!精品 由3242xtty（t为参数）消去t并整理得：34 30 xy.（2）当2k 时，222222443sin41 3sin1 3cos2，得：2222441

26、4xxyy，3:34 3043l xyyx，代入2244xy，得：2732 31800 xx，232 34 7 1800 ，所以，直线l和C无交点.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，考查曲线的交点问题，用曲线的方程联立方程组，方程组解的情况确定曲线交点情况是基本方法 23已知函数 1112fxxx.（1）作出函数 f x的图象；（2）求 4f xx的解集.【答案】（1）作图见解析；（2）53x x.【解析】（1）将函数写成分段函数，根据解析式即可作图.（2）由（1），利用分段函数解析式解不等式即可.【详解】（1）依题意，13,12213111,1122213,122xxf xxxxxxx ，作出函数 f x的图象如图所示：努力的你，未来可期!精品 （2）由（1）可知 440f xxf xx，1110221xx 或5702211xx 或35052231xxx.所以不等式的解集为53x x【点睛】本题考查了分段函数的图像、绝对值不等式的解法，考查了基本作图已经基本运算能力，属于基础题.