2020高中数学第1章三角函数9三角函数的简单应用学案.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-9 三角函数的简单应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1。能用三角函数研究简单的实际问题,尤其是周期性问题（重点）2 将实际问题抽象为三角函数模型(难点)1.通过用三角函数研究简单的实际问题，培养数学抽象素养 2 通过将实际问题抽象为三角函数模型,提升数学建模素养。三角函数模型的应用（1）三角函数模型的应用 根据实际问题的图像求出函数解析式 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 利用收集的数据，进行函数拟合,从而得到函数模型（2)解答三角函数应用题的一般步骤 学必求其心得，业必贵于专精 -2-思考：在函数yAsin（x）b(A0，0)中,A，b与函数

2、的最值有何关系？提示 A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下:（1)ymaxAb，yminAb；(2)A错误!，b错误!。1如图为某简谐运动的图像，这个简谐运动往返一次所需时间为()A0。4 s B0.6 s C0.8 s D1。2 s C 由图像知周期T0.800。8，则这个简谐运动需要 0.8 s 往返一次 2求下列函数的周期：(1）yAsin(x)(0）的周期是T_；(2)yAcos（x）（0)的周期是T_;(3）yAtan（x)（0)的周期是T_；答案(1）错误!（2)错误!(3)错误!学必求其心得，业必贵于专精 -3-3某人的血压满足函数关系式f（t)24sin 160

3、t110，其中f（t)为血压,t为时间，则此人每分钟心跳的次数为_ 80 T错误!错误!,f错误!80。4如图是一弹簧振子做简谐振动的图像,横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的函数解析式是_ y2sin错误!不妨设所求解析式为yAsin(t)(A0，0)，则A2，错误!0。8，错误!,由于图像过点（0，错误!)，所以 2sin 2，结合图像可取错误!，故y2sin错误!.已知解析式求周期、最值【例 1】交流电的电压E（单位：V)与时间t（单位：s）的关系可用E220错误!sin错误!来表示，求：学必求其心得，业必贵于专精 -4-（1）开始时电压；（2)电压值重复出现一次的时间间

4、隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间 解（1）当t0 时，E110错误!（V)即开始时的电压为 110错误!V。（2）T2100错误!(s)，即时间间隔为 0.02 s.(3)电压的最大值为 220 错误!V。当 100t错误!错误!，即t错误!s 时第一次取得最大值 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键。1单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（cm)和时间t（s）的函数关系为s6sin错误!.(1)作出它的图像;(2）单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米?学必求其

5、心得，业必贵于专精 -5-(3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？（4）单摆来回摆动一次需要多少时间?解（1）单摆的周期T错误!1，若令 2t错误!0，即t错误!，这时s0.找出曲线上的五个特殊点,列表如下：t 错误!错误!错误!错误!错误!s6sin错误!0 6 0 6 0 用光滑的曲线连接这些点，得函数 s6sin错误!的图像（如图)（2)当t0 时,s6sin 错误!6错误!3,即单摆开始摆动时，离开平衡位置 3 cm.(3)s6sin错误!的振幅为 6,所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置 6 cm.（4）s6sin错误!的周期为 1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是 1 s。

6、已知模型求解析学必求其心得，业必贵于专精 -6-式【例 2】如图所示，表示电流I(A)与时间t（s)的关系式：IAsin(t）（A0，0)在一个周期内的图像 根据图像写出IAsin（t)的解析式 解 由图像可知A300，又T2错误!错误!，错误!100。又t错误!时，t0,100错误!0,即错误!,I300sin错误!.求解析式的难点在于求,可根据图像找出与正弦曲线对应点求得.2如图所示,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(A0,0，1,cos错误!t0，2k错误!错误!t2k错误!，即 12k3t12k3(kZ）又 0t24，所以 0t3 或 9t15

7、 或 21t24，所以在规定时间内只有 6 个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9t15.根据给出的函数模型，利用表中的数据,找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识,求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式,然后解方程或不等式，可使问题得以解决。1三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型,三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动）有着广泛的应用 2三角函数模型构建的步骤：（1)收集数据,观察数据，发现是否具有周期性的重复现象 学必求其心得，业必贵于专精 -12-(2)制作散点图,选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题（4)根据问题的实际意义

8、，对答案的合理性进行检验 1判断（正确的打“”,错误的打“”）（1）函数ysin x在错误!内是增函数（）（2）函数y3sin x1 的最大值为 3.(）（3)直线x 是函数ysin x的一条对称轴（）(4）函数ysin(x1）的最小正周期为 2。（)答案（1）(2)（3）（4）2如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是(）A该质点的振动周期为 0.7 s B该质点的振幅为 5 cm C该质点在 0。1 s 和 0。5 s 时振动速度最大 D该质点在 0.3 s 和 0。7 s 时的加速度为零 B 由图像可知，该质点的振动周期是 2（0.70。3）0.8，故 A 不正确；振幅为 5 cm

9、，故选 B.3商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场学必求其心得，业必贵于专精 -13-的人流量满足函数F(t）504sin t2(t0），则在下列哪个时间段内人流量是增加的(）A 0,5 B5，10 C 10，15 D 15，20 C 由 2k错误!错误!2k错误!，kZ，知函数F（t)的增区间为4k,4k，kZ。当k1 时，t3，5,而10，15 3,5,故选 C。4如图所示,某地夏天 814 时用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x）b错误!。（1）求这一天的最大用电量及最小用电量;(2）写出这段曲线的函数解析式 解（1)由题图可知,一天最大用电量为 50 万度，最小用电量为 30 万度(2)b3050240，A14050，A10，学必求其心得，业必贵于专精 -14-由图可知，T21486，则T12，错误!错误!，则y10sin错误!40,代入(8，30)得错误!，解析式为y10sin错误!40，x8，14