2020高中数学第2章平面向量章末复习课学案.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 2 章 平面向量 平面向量的线性运算【例 1】（1）已知向量a(2,1）,b（3，4），则 2ab的结果是()A(7，2）B(1,2)C(1,3）D（7，2）（2)设D为ABC所在平面内一点，则错误!3错误!，则（)学必求其心得，业必贵于专精 -2-A.错误!错误!错误!错误!错误!B。错误!错误!错误!错误!错误!C。错误!错误!错误!错误!错误!D。错误!错误!错误!错误!错误!(1）A(2)D （1）a（2，1），b(3，4)，2ab2(2，1）(3,4）(4，2）(3,4）（43，24）(7，2）,故选 A。（2）错误!3错误!，错误!错误!3（错

2、误!错误!），2错误!3错误!错误!，错误!错误!错误!错误!错误!。向量线性运算的基本原则和求解策略 1基本原则:向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面。2求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧。学必求其心得，业必贵于专精 -3-字符表示线性运算的常用技巧：，首尾相接用加法的三角形法则，如错误!错误!错误!；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如错误!错误!错误!。平行向量共线向量、相等向量与相反向量、单

3、位向量等,理解向量的有关概念并进行恰当地应用.注意常见结论的应用.如ABC中，点D是BC的中点,则错误!错误!错误!.1(1)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.(2）在ABC中，点M，N满足错误!2错误!，错误!错误!。若错误!x错误!y错误!，则x_；y_。(1)错误!(2)错误!错误!（1)因为ab与a2b平行，所以abt(a2b），即abta2tb，所以错误!解得错误!（2）因为错误!2错误!,所以错误!错误!错误!.因为错误!错误!，所以错误!错误!（错误!错误!),所以错误!错误!错误!错误!(错误!错误!）错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -4-错误!错误!

4、错误!错误!.又错误!x错误!y错误!，所以x错误!，y错误!.平面向量的数量积【例 2】(1)设单位向量m（x，y),b（2，1)若mb，则|x2y_.（2)已知两个单位向量a,b的夹角为 60，cta（1t）b，若bc0，则t_。(1）错误!（2）2 （1）因为单位向量m（x，y)，则x2y21。若mb，则mb0，即 2xy0。由解得x2错误!，所以x错误!，x2y5|x错误!。(2）法一：因为bc0，所以bta(1t)b0，即tab（1t）b20.又因为|ab1,60，学必求其心得，业必贵于专精 -5-所以错误!t1t0，所以t2.法二：由t（1t）1 知向量a，b，c的终点A、B、C共

5、线,在平面直角坐标系中设a(1，0),b错误!，则c错误!.把a、b、c的坐标代入cta（1t)b，得t2.向量数量积的两种运算方法 1当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 aba|b|cosa,b。2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若ax1，y1,bx2，y2，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.2已知两个单位向量e1，e2的夹角为错误!，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.6 b1b2（e12e2)（3e14e2)3e错误!2e1e28e错误!3211错误!86.向量的夹角及垂直学必求其心得，

6、业必贵于专精 -6-问题 探究问题 1怎样求两个不共线向量的夹角？提示 对两个不共线向量a，b,通过平移使它们的起点相同，这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角 2两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么？提示 两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，因为前者的取值范围为0，180，而后者的取值范围为 0，90 这一点经常容易混淆,一定要注意 3用数量积判断两向量夹角时应注意什么？提示 当0时,有ab0，此时a与b共线且同向，即ab0,不能说向量的夹角一定为锐角，同理当180时，有ab0，但ab0，不能说向量的夹角一定为钝角【例 3】已知三个点A(2，1），B(3，2），D(1

7、，4)（1)求证：ABAD；(2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值 思路探究（1)利用错误!错误!0 即可；学必求其心得，业必贵于专精 -7-(2）利用夹角公式 cos 错误!求解 解(1)证明：A（2，1），B(3,2)，D（1,4），错误!（1，1)，错误!(3，3）错误!错误!1（3）130,错误!错误!，即ABAD。(2）AB，错误!，四边形ABCD为矩形，错误!错误!。设C点坐标为(x,y)，则错误!（x1,y4)，错误!解得错误!点C坐标为（0，5）从而错误!(2，4)，错误!（4,2），且错误!|2错误!,错误!2错误!,错误!错误!8

8、816,设错误!与错误!的夹角为,则cos 错误!错误!错误!.矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为错误!。将例 3 中的条件变为错误!（3,4)，错误!(6，3）,错误!(5m，(3m)），试求：(1）若A、B、C能构成三角形，求m应满足学必求其心得，业必贵于专精 -8-的条件；(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值 解(1）若点A，B，C能构成三角形,则这三点不共线，错误!（3，4)，错误!（6，3），错误!（5m,(3m），错误!（3,1),错误!（m1，m)，而错误!与错误!不平行，即3mm1,得m错误!，实数m错误!时满足条件(2）若ABC为直角三角形,且A为直角

9、，则错误!错误!，而错误!(3,1），错误!（2m,1m），3（2m)（1m）0，解得m错误!.1求夹角问题：求向量a，b夹角的步骤:(1）求a，b，ab；（2）求cos 错误!（夹角公式)；（3）结合的范围 0，确定的大小因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小 若a(x1，y1),b(x2，y2）,学必求其心得，业必贵于专精 -9-则 cos 错误!错误!.2垂直问题：这类问题主要考查向量垂直的条件:若向量a（x1，y1)，b（x2,y2），则abab0 x1x2y1y20。3向量的模：(1)|a2a2，a|错误!.(2)若a（x，y)，则a2x2y2，|

10、a错误!.向量的长度与距离问题【例 4】设a|b1，3a2b|3，求|3ab的值 解 法一：3a2b|3，9a212ab4b29.又a|b|1，ab错误!.3ab|2(3ab）29a26abb296错误!112。3ab|2错误!。法二：设a（x1，y1)，b（x2，y2)ab|1,x错误!y错误!x错误!y错误!1.3a2b(3x12x2，3y12y2），学必求其心得，业必贵于专精 -10-|3a2b|错误!3.x1x2y1y2错误!。|3ab|错误!错误!2错误!。向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点.一般地，求向量的模主要利用公式|a2a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并,使问题得以解决，或利用公式|a错误!，将它转化为实数问题，使问题得以解决。3在ABC中,已知A（4,1），B(7,5)，C(4,7），则BC边的中线AD的长是()A25 B错误!错误!C35 D错误!错误!B BC中点为D错误!，错误!错误!，|错误!|错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -11-