2020届上海市青浦区高三二模数学试题(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期!精品 2020 届上海市青浦区高三二模数学试题 一、单选题 1已知,a bR，则“0b”是“20ab”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0b时，一定有20ab，而20ab时，不一定有0b，从而可得结论【详解】解：因为20a，0b，所以20ab，当20ab时，若2,3ab 满足条件，但0b不成立，所以“0b”是“20ab”的充分不必要条件，故选：A【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题 2我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，

2、问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚 8 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（）A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数.【详解】依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项11a，公比为2的等比数列；大小老鼠每天打洞的长度是首项112b，公比为12的等比数列.设nS是前n天两只老鼠打洞长度的和.第1天，1111131,1222abS；努力的你，未来可期!精品 第2天，222131152,24244ab

3、S；第3天，3331151634,48488abS；第4天，4418,16ab，4S显然大于8.所以两鼠相逢需要的最少天数为4天.故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题.3记椭圆221441xnyn围成的区域（含边界）为(1,2)nn，当点(,)x y分别在12,上时xy的最大值分别是1M，2M，则limnnM（）A25 B4 C3 D2 2【答案】D【解析】通过221441xnyn的参数方程2cos14sinxyn（为参数），可得：112cos4sin8sinxynn，从而max1()8xyn，求极限即可得解.【详解】椭圆221441xnyn的参数方程为：2

4、cos14sinxyn（为参数），所以：21112cos4sin=2+4+sin8sinxynnn，所以：max1()8xyn，所以：1limlim 82 2nnnMn.故选：D.努力的你，未来可期!精品【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，考查了辅助角公式求三角函数最值，考查了转化思想，也考查了极限的运算，属于中档题.4已知函数()sin2 sinf xxx，关于 x的方程2()()10fxa f x 有以下结论：当0a 时，方程 210fxa f x 在02，最多有 3 个不等实根；当6409a时，方程 210fxa f x 在02，内有两个不等实根；若方程 210fxa f x 在0,6 内

5、根的个数为偶数，则所有根之和为15；若方程 210fxa f x 在0,6根的个数为偶数，则所有根之和为36 其中所有正确结论的序号是（）A B C D【答案】C【解析】先研究()f x在0，2 内的图象，求其值域，进而研究方程2()()10fxa f x 两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误【详解】由已知得3sin,0,()sin2|sin|sin,(,2 x xf xxxx x，做出图象如下：由2()()10fxa f x 得：42aaf x或4.2aa 令1244,22aaaatt显然0a，11t，20t（舍)原方程的根看成1yt与()yf x的交点的横坐标 对于，如图所示：因为1

6、1t，当0a 时，11t，yt与()yf x恰好有三个交努力的你，未来可期!精品 点；当0a 时，分别有 2 个、1个、0 个交点，故正确；对于，结合可知，0a 时，有 3 个根，故错误；对于，如图所示，由题意，只能满足：1yt只与()yf x在0，2，3，4，5 上的图象各有两个交点 易知这六个零点分别关于59,222xxx对称，所以六个根的和为：5922215222 故正确，错误 故正确命题的序号是 故选：C【点睛】本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目 二、填空题 5已知全集U R，集合(,2)A ，则集合UA_【答案】2)，努力

7、的你，未来可期!精品【解析】直接利用补集的定义求解即可【详解】解：因为全集U R，集合(,2)A ，所以UA2)，故答案为：2)，【点睛】此题考查集合的补集运算，属于基础题 6已知 i为虚数单位，复数2zi的共轭复数z _【答案】2i【解析】根据定义直接得到共轭复数即可.【详解】根据共轭复数的定义得：2zi.故答案为：2i.【点睛】本题考查共轭复数的概念，是基础题.7已知函数 11f xx，则方程 12fx的解x _【答案】32【解析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()2fx的x值，即求(2)f的值【详解】解：13(2)122f，所以32x.故答案为：32.【点睛】本题考查原函

8、数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y，则反函数过点(,)y x，基础题.8若51ax的展开式中3x的系数是 80，则实数a的值是 【答案】2 努力的你，未来可期!精品【解析】【详解】试题分析：由题意 3x的系数是，解得.【考点】二项式定理的应用.9双曲线2214xy一个焦点到一条渐近线的距离为_【答案】1【解析】求出双曲线的渐近线方程，用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】根据对称性，2214xy焦点坐标(5),0F，渐近线方程为12yx，即20 xy，焦点到渐近线距离为25112.故答案为:1【点睛】本题考查双曲线简单几何性质，属于基础题.10用一平面去截球所得截面的面积为23

9、cm，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积是 _2cm【答案】16【解析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】解：因为用一平面去截球所得截面的面积为23 cm，所以小圆的半径为3cm，因为球心到该截面的距离为1cm，所以球的半径为221(3)2cm，所以球的表面积为24216S2cm，故答案为：16 努力的你，未来可期!精品 【点睛】此题考查球的截面的半径、球心到截面的距离与球的半径间的关系，属于基础题 11已知0,0 xy，且21xy，则11xy的最小值为_【答案】32 2【解析】先把11xy转化为11112(2)()3yxxyxyxyxy

10、，然后利用基本不等式可求出最小值【详解】解：21xy，0,0 xy，11112(2)()332 2yxxyxyxyxy(当且仅当2yxxy，即2xy时，取“=”)又21xy，21212xy，当21x，212y 时，11xy有最小值，为32 2 故答案为：32 2【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利用 1 的代换，属于基础题.12已知平面向量ab，满足(1,1)a，|1b，22ab，则a与b的夹角为_.【答案】34【解析】将|2|2ab两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即努力的你，未来可期!精品 可求得a与b的夹角的余弦值,进而求得a与b的夹角即可.【详解】因为(1,1)

11、a,则2a 因为|2|2ab,等式两边同时平方可得 22442aa bb 代入2a,|1b 可得 1a b 设,a b夹角为,则 由平面向量数量积的定义可得1222 1cosa bab 因为0 所以34 故答案为:34【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.13设513a，62 4b，则函数 1bafxlogx是减函数的概率为_【答案】23【解析】由复合函数的单调性推出1ba，即可利用古典概型概率公式进行计算.【详解】1,3,5,2,4,6ab，基本事件总数3 39n ，函数 1bafxlogx是减函数，且函数1yx在,0,0,上单调递减，1ba，则函数

12、1bafxlogx是减函数包含的基本事件,a b有：(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(5,6)，共 6 个，努力的你，未来可期!精品 函数 1bafxlogx是减函数的概率为6293.故答案为：23【点睛】本题考查古典概型，涉及对数函数的单调性、复合函数的单调性，属于基础题.14已知函数 f xxa，若存在实数0 x满足 00ff xx，则实数 a的取值范围是_【答案】14a 【解析】判断()yf x在定义域内递增，结合条件可得()yf x的图象与直线yx有交点，即方程xax有解，运用参数分离和二次函数的值域求法，可得所求范围【详解】函数()f xxa在a，)递增，

13、若存在实数0 x满足00()f f xx，可得()yf x的图象与直线yx有交点，即方程xax有解 由(0)xax x，可得2xax，即有2211()24axxx，而211()24yx 在0，1)2递增，1(2，)递减，可得211()24yx 的最大值为14，此时12x，则14a，即a的取值范围是(，14 故答案为：14a.【点睛】本题考查方程存在性问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力 15已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线2xy上，其中一条边所在直线的斜率为2，则ABC的三个顶点的横坐标之和为_【答案】3 210 努力的你，未来可期!精品

14、【解析】设点 222,A a aB b bC c c，则可得ABkab，BCkbc，ACkac，不妨设2ABk，且直线AB的倾斜角为，可得tan,tan33BCACkk，然后利用112tantan2233ABBCACabckkk算出答案即可.【详解】设点 222,A a aB b bC c c，则22ABabkabab，22BCbckbcbc，22ACackacac 不妨设2ABk，且直线AB的倾斜角为 因为ABC是等边三角形，所以tan,tan33BCACkk 所以112tantan2233ABBCACabckkk tantantantan2113 233222101tantan1tanta

15、n33 故答案为：3 210【点睛】本题以抛物线为载体，考查了直线的斜率和三角函数的和差公式，属于较难题.16定义函数 f xx x，其中x表示不小于 x的最小整数，如 1.42，2.32，当*(0,()xn nN时，函数 fx的值域为nA，记集合nA中元素的个数为na，则na _【答案】(1)2n n【解析】根据x的定义，依次求出数列 na的前 5项，再归纳出1nnaan，利用累加法求出na即可【详解】努力的你，未来可期!精品 解：由题意得，当1n 时，由于(0,1x，所以 1x，所以 1x x，则111,1Aa，当2n 时，由于(1,2x，所以 2x，所以 (2,4x x，则221,3,4

16、,3Aa，当3n时，由于(2,3x，所以 3x，所以 (6,9x x，则331,3,4,7,8,9,6Aa，当4n 时，由于(3,4x，所以 4x，所以 (12,16x x，则441,3,4,7,8,9,13,14,15,16,10Aa，以此类推，得1nnaan，利用累加法得，(1)2nn na，故答案为：(1)2n n【点睛】此题考查了新定义，递推关系，累加求和的方法，考查推理能力与计算能力，属于较难题 三、解答题 17如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，160B AB （1）求直线1AC与平面ABCD所成的角的大小；（2）求异面直线1BC与11AC所成角的大小【答案】（1）6ar

17、ctan2；（2）2arccos4【解析】（1）由1A A 平面ABCD，A是垂足，得1ACA是1AC与平面ABCD所成努力的你，未来可期!精品 的角，由此能求出1AC与平面ABCD所成的角的大小.（2）由11ACAC，得1BCA是异面直线1BC与11AC所成角，由此能求出异面直线1BC与11AC所成角的大小.【详解】解：（1）设1AB，在正四棱柱1111ABCDABC D中，160B AB，12AB，13BB，22112AC，1A A 平面ABCD，A是垂足，1ACA是1AC与平面ABCD所成的角，1136tan22AAACAAC16arctan2ACA.1AC与平面ABCD所成的角的大小为

18、6arctan2.（2）如图所示：连接AC，11ACAC，1BCA是异面直线1BC与11AC所成角，112ABBC，2AC，22211114242cos242 22BCACABBCABC AC，12arccos4BCA.异面直线1BC与11AC所成角的大小为2arccos4.【点睛】考查线线角和线面角的求法，中档题.努力的你，未来可期!精品 18已知函数 22sinsin3sin3xf xxx（1）若函数()yf x的图象关于直线(0)xa a对称，求 a的最小值；（2）若存在05012x，使0()20mf x成立，求实数 m的取值范围【答案】（1）12；（2）(,21,)m 【解析】（1）用

19、三角函数的降幂公式、辅助角公式将()yf x化简，得2 n 2)3(sif xx，根据正弦函数的对称轴可得到答案；（2）由02()mf x，结合0 x得到01sin 2123x，再求0()f x、m的范围【详解】（1）22sinsincos3sin3f xxxxx 2sin3cossincos3sinxxxxx 22sin3coscos3sinxxxx 222sincos3 cossinxxxx sin23cos22sin 23xxx，232akkZ，,212kakZ 又0a a的最小值为12（2）0002120sin 23mfxmf xx 00570,212336xx 01sin 2123x

20、 则,21,m 努力的你，未来可期!精品【点睛】本题主要考查用三角函数公式进行化简、正弦型三角函数的图象和性质.19常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足220t，Nt经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当1020t 时地铁为满载状态，载客量为 1200 人，当210t 时，载客量会减少，减少的人数与(10)t的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时的载客量为 560 人，记地铁载客量为()p t.求()p t的表达式，并求当发车时间间隔为 6 分钟时，地铁的载客量；若该线路每分钟的净收益为6()3360360

21、p tQt（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）1040；（2）120【解析】（1）根据题意得到 p t的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为 6 分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值【详解】（1）由题意知 2120010,2101200,1020kttp tt ，Nt，（k为常数），221200102120064560pkk，10k，2210200200,210120010 10,2101200,10201200,1020tttttp ttt ，261200101061040p，故当发

22、车时间间隔为 6 分钟时，地铁的载客量1040人（2）由 63360360p tQt，可得 236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020tttttttQtttt ，努力的你，未来可期!精品 当210t 时，368406084060 12120Qtt，当且仅当6t 时等号成立；当1020t 时，7200336036038436024Qt，当10t 时等号成立，当发车时间间隔为6t 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为 120 元 答：当发车时间间隔为6t 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为 120元.【点睛】（1）本题

23、考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值 20已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别是1F、2F，其长轴长是短轴长的 2 倍，过1F且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C截得的线段长为 1（1）求椭圆 C的方程；（2）点 P是椭圆 C上除长轴端点外的任一点，过点 P作斜率为 k的直线 l，使得 l与椭圆 C有且只有一个公共点，设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，若0k，证明：1211kkkk为定值，并求出这个定值

24、；（3）点 P是椭圆 C上除长轴端点外的任一点，设12FPF的角平分线 PM交椭圆 C的长轴于点()0M m，求 m的取值范围【答案】（1）2214xy；（2）12118kkkk，证明见解析；（3）3322m【解析】（1）由长轴长是短轴长的 2 倍，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 1可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为 0，可得k与P的横纵坐标的关系，再由P在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线1PF，2PF的斜率分别为1k，2k与P的坐标的关系，进而可得1211kkkk为定值8；努力的你，未来可期!精品（3

25、）设P的坐标，由（1）可得焦点1F，2F的坐标，求出直线1PF，2PF的方程，由角平分线的性质，M到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得m与P的横坐标的关系，再由P在椭圆上可得P的横坐标的取值范围求出m的范围【详解】（1）由于222cab，将xc 代入椭圆方程22221xyab，得2bya 由题意知221ba，即22ab 又12ba，222abc，所以2a，1b 所以椭圆C的方程为2214xy（2）设0(P x，00)(0)yy，则直线l的方程为00()yyk xx 联立得220014()xyyyk xx，整理得222222000000(14)8()4(21)0kxkyk xxykx

26、 yk x 由题意得0，即2220000(4)210 xkx y ky 又220014xy，所以22200001680y kx y kx，故004xky 又知0001200033211xxxkkyyy，所以0012120042111 11()()8yxkkkkk kkxy ，因此1211kkkk为定值，这个定值为8（3）设0(P x，00)(0)yy，又1(3,0)F，2(3,0)F，所以直线1PF，2PF的方程分别为1000:(3)30PFly xxyy，2000:(3)30PFly xxyy 由题意知000022220000|3|3|(3)(3)myymyyyxyx 努力的你，未来可期!精

27、品 由于点P在椭圆上，所以220014xy 所以2200|3|3|33(2)(2)22mmxx 因为33m，022x，可得0033332222mmxx，所以034mx，因此3322m【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系及综合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21 对于无穷数列*,nnabnN，若1212max,min,kkkba aaa aa，*kN，则称数列 nb是数列na的“收缩数列”，其中1212max,min,kka aaa aa、分别表示12kaaa，中的最大项和最小项，已知数列na的前 n项和为nS，数列 nb是数列na的“收缩数列”（

28、1）若31,nan求数列 nb的前 n项和；（2）证明：数列 nb的“收缩数列”仍是 nb；（3）若121111,2,322nnn nn nSSSabn，求所有满足该条件的数列na【答案】（1）3(1)2n n；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列na的通项公式为1212na naa n，21aa，*nN【解析】（1）根据na为递增数列以及收缩数列的定义可得结果；（2）根据12121max,max,nna aaa aa，12121min,min,nna aaa aa以及不等式的性质可得1nnbb，再根据收缩努力的你，未来可期!精品 数列的定义可得结果；（3）在121111,2,322n

29、nn nn nSSSabn中，令1,2,3nnn可得321aaa，猜测12,1,2na naa n，21aa，*nN，再证明证明其它数列都不满足（3）的题设条件，可得解.【详解】（1）由31,nan可得na为递增数列，所以1212max,min,nnnba aaa aa131233naann，所以12(033)3(1)22nnnn nbbb.（2）因为12121max,max,nna aaa aa，12121min,min,nna aaa aa，所以12121min,min,nna aaa aa 所以1212121121max,min,max,min,nnnna aaa aaa aaa aa，

30、所以1nnbb，又因为1110baa，所以12121max,min,nnnnb bbb bbbbb，所以数列 nb的“收缩数列”仍是 nb.（3）由121111,2,322nnn nn nSSSabn，可知当1n 时，11aa，当2n 时，121223aaab，则221baa，因为210bb，所以21aa，当3n时，123133263aaaab，即3213132()()baaaa（），若132aaa，则321baa，所以由（）可得32aa，与32aa矛盾；若312aaa，则323baa，所以由（）可得32133()aaaa，即32aa与13aa同号，这与312aaa相矛盾；努力的你，未来可期!

31、精品 若32aa，则331baa，所以由（）可得32aa，符合，猜想，满足121111,2,322nnn nn nSSSabn的数列为 12,1,2na naa n，21aa，*nN，经验证左边121212(1)(1231)2nn nSSSnananaa，右边1121(1)(1)(1)(1)()2222nn nn nn nn nabaaa12(1)2n nnaa，下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件，由上述3n 的情况可知，3n时是成立的，假设ka是首次不符合12,1,2na naa n，21aa的项，则1231kkaaaaa，由题设条件可得121(1)(1)(1222)22kkk kk

32、kkakkaaab，即21212(1)(1)222kkkkk kk kkaaaab（），若12kaaa，则21kbaa，所以由（）式化简可得2kaa与2kaa矛盾，若12kaaa，则2kkbaa，所以由（）式化简可得21(1)()2kkk kaaaa，所以2kaa与1kaa同号，这与12kaaa矛盾，若21kaaa，则1kkbaa，所以由（）化简可得2kaa，这与21kaaa矛盾，所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件，所以所有满足条件的数列na的通项公式为12,1,2na naa n，21aa，*nN.【点睛】本题考查了数列中的新定义，考查了分类讨论思想，考查了等差数列的求和公式，考查了归纳推理能力，考查了反证法，考查了数列的单调性，解题关键是对新定义的理解和运用，属于难题.