(完整版)北师大数学七年级下册第一章乘法公式(基础).pdf

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1、乘法公式（基础）【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式 平方差公式：22()()ab abab 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，ba,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

2、（1）位置变化：如()()abba 利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)xyxy（3）指数变化：如3232()()mnmn（4）符号变化：如()()ab ab （5）增项变化：如()()mnp mnp（6）增因式变化：如2244()()()()ab ab abab 要点二、完全平方公式 完全平方公式：2222abaabb 2222)(bababa 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：2222abab

3、ab22abab 224ababab 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式 2()()()xp xqxpq xpq；2233()()ab aabbab；33223()33abaa babb；2222()222abcabcabacbc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用 1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果 (1)2332abba；(2)2323a

4、bab；(3)2323abab；(4)2323abab；(5)2323abab；(6)2323abab【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算 (2)2323abab 23b22a2294ba (3)2323abab22a 23b 2249ab (4)2323abab22a 23b 2249ab (5)2323abab23b22a2294ba【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）举一反三：【变式】计

5、算：（1）332222xxyy；（2）(2)(2)xx ；（3）(32)(23)xyyx【答案】解：（1）原式2222392244xxyy（2）原式222(2)4xx （3）原式22(32)(23)(32)(32)94xyyxxyxyxy 2、计算：(1)59.960.1；(2)10298【答案与解析】解：(1)59.960.1(600.1)(600.1)22600.136000.013599.99 (2)10298(1002)(1002)2210021000049996【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，

6、可以把原式写成两数和差之积的形式这样可顺利地利用平方差公式来计算 举一反三：【变式】（2015 春莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232124122 （2）（2a+b）（4a2+b2）（2ab）【答案】解：（1）1232124122 =1232（123+1）（1231）=1232（12321）=12321232+1 =1；（2）（2a+b）（4a2+b2）（2ab）=（2a+b）（2ab）（4a2+b2）=（4a2b2）（4a2+b2）=（4a2）2（b2）2=16a4b4 类型二、完全平方公式的应用 3、计算：(1)23ab；(2)232a；(3)22xy；(4)223xy【思路点

7、拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1)22222332 396abaa bbaabb (2)22222322322 2334129aaaaaa (3)22222222244xyxxyyxxyy (4)222222232322 2334129xyxyxxyyxxyy 【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负(2)注意22abab 之间的转化 4、（2015 春吉安校级期中）图 a 是由 4 个长为 m，宽

8、为 n 的长方形拼成的，图 b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形（1）用 m、n 表示图 b 中小正方形的边长为 （2）用两种不同方法表示出图 b 中阴影部分的面积；（3）观察图 b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（mn）2，mn；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知 a+b=7，ab=5，求（ab）2的值 【答案与解析】解：（1）图 b 中小正方形的边长为 mn故答案为 mn；（2）方法：（mn）（mn）=（mn）2；方法：（m+n）24mn；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（mn）2=（m+n）24m

9、n；（4）由（3）得：（ab）2=（a+b）24ab，a+b=7，ab=5，（ab）2=7245=4920=29【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量 5、已知7ab，ab12求下列各式的值：(1)22aabb；(2)2()ab【答案与解析】解：(1)22aabb22abab2ab3ab2731213 (2)2ab2ab4ab274121.【总结升华】由乘方公式常见的变形：2ab2ab4ab；22ab2ab2ab2ab2ab解答本题关键是不求出,a b的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值 举一反三：【变式】已知2()7a

10、b，2()4ab，求22ab和ab的值【答案】解：由2()7ab，得2227aabb；由2()4ab，得2224aabb 得222()11ab，22112ab 得43ab，34ab 【巩固练习】一.选择题 1.在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A.)(nmnm B.3333xyxy C.)(baba D.2222cddc 2若xy6，xy5，则22xy等于()A.11 B.15 C.30 D.60 3下列计算正确的是()A.55mm225m B.1 31 3mm21 3m C.24343916nnn D.(2abn)(2abn)224abn 4下列多项式不是完全平方式的是()A.244

11、xx B.mm 241 C.2296aabb D.24129tt 5（2015 春重庆校级期中）已知关于 x 的二次三项式 4x2mx+25 是完全平方式，则常数m 的值为（）A10 B10 C20 D20 6下列等式不能恒成立的是()A.222396xyxxyy B.22abccab C.22241)21(nmnmnm D.2244xyxyxyxy 二.填空题 7若2216xax是一个完全平方式，则a_ 8.若2294xy232xyM,则 M _ 9.若xy3，xy1，则22xy_.10.（2015 春陕西校级期末）（1+x）（1x）（1+x2）（1+x4）=11.25(2)(2)21xxx

12、_.12.若212x，则代数式225xx的值为_.三.解答题 13.（2015 春兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）（1）6971；（2）992 14.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3aaaa，其中3a 15.已知：2225,7xyxy，且,xy求xy的值.【答案与解析】一.选择题 1.【答案】A；【解析】A 中m和m符号相反，n和n符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2.【答案】C；【解析】22xyxyxy6530.3.【答案】C；【解析】55mm225m；1 31 3mm21 9m；(2abn)(2abn)2224

13、a bn.4.【答案】A；【解析】2211()42mmm；22296(3)aabbab；224129(23)ttt.5.【答案】D；【解析】解：关于 x 的二次三项式 4x2mx+25 是完全平方式，m=20，即 m=20 故选：D 6.【答案】D；【解析】22222xyxyxyxy.二.填空题 7.【答案】4；【解析】2222162 44xaxxx，所以4a .8.【答案】12xy；【解析】2294xy23212xyxy.9.【答案】7；【解析】2222xyxyxy，22927xy.10.【答案】1x8；【解析】解：（1+x）（1x）（1+x2）（1+x4）=（1x2）（1+x2）（1+x4

14、）=（1x4）（1+x4）=1x8，故答案为：1x8 11.【答案】2421xx；【解析】22225(2)(2)2154441421xxxxxxxx.12.【答案】6；【解析】因为212x，所以2221,256xxxx.三.解答题 13.【解析】解：（1）原式=（701）（70+1）=49001=4899；（2）原式=（1001）2=10000200+1=9801 14.【解析】解：223(1)5(1)(1)2(1)aaaa 22232151221210aaaaaa 当3,=2 3 1016a 时 原式.15.【解析】解：2222xyxyxy，且2225,7xyxy 27252xy，12xy，2222252 121xyxyxy 1xy ,xy即0 xy 1xy.