00高中数学第章圆锥曲线与方程..1椭圆的标准方程学案-.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-22.1 椭圆的标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1。掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题(重点）2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程（重点）3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1。通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养。2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养。1椭圆的定义（1)定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于F1F2)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆(2）相关概念:两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距 思考 1

2、：椭圆定义中，将“大于|F1F2|改为“等于|F1F2”或“小于|F1F2的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？学必求其心得，业必贵于专精 -2-提示 2a与F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件 结论 2a|F1F2 动点的轨迹是椭圆 2a|F1F2|动点的轨迹是线段F1F2 2aF1F2 动点不存在，因此轨迹不存在 2。椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 错误!错误!1(ab0）错误!错误!1（ab0)图形 焦点坐标(c,0)(0，c）a，b，c的关系 a2b2c2 思考 2:确定椭圆标准方程需要知道哪些量?提示 a，b的值及焦点所在的位置 1已知点M到两个定

3、点A（1,0）和B（1，0)的距离之和是定值 2，则动点M的轨迹是（)A 一个椭圆 学必求其心得，业必贵于专精 -3-B线段AB C线段AB的垂直平分线 D直线AB B 定值 2 等于|AB|，故点M只能在线段AB上 2以下方程表示椭圆的是(）A。错误!错误!1 B2x23y22 C2x23y21 D.错误!错误!0 C A 中方程为圆的方程，B，D 中方程不是椭圆方程 3以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是 2，且过点（0，2）的椭圆的标准方程是（）A.错误!错误!1 B.错误!错误!1 C.错误!错误!1 或错误!错误!1 D。错误!错误!1 或错误!错误!1 C 若椭圆的焦点在x轴上,则c1

4、，b2,得a25,此时椭圆方程是错误!错误!1;若焦点在y轴上，则a2，c1,则b23，此时椭圆方程是错误!错误!1.学必求其心得，业必贵于专精 -4-求椭圆的标准方程【例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4，0)，且椭圆经过点(5,0）；(2）焦点在y轴上，且经过两个点（0,2)和(1,0)；（3)经过点A（错误!，2）和点B（2错误!,1)思路探究 求椭圆标准方程，先确定焦点位置,设出椭圆方程，再定量计算 解 （1)由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为错误!错误!1(ab0）2a错误!错误!10，a5。又c4,b2a2c225169。故所求椭

5、圆的标准方程为错误!错误!1.(2）由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为错误!错误!1(ab0）由于椭圆经过点(0，2)和（1,0)，错误!错误!故所求椭圆的标准方程为错误!x21.(3)法一:当焦点在x轴上时,学必求其心得，业必贵于专精 -5-设椭圆的标准方程为错误!错误!1（ab0)依题意有错误!解得错误!故所求椭圆的标准方程为错误!错误!1。当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2错误!1（ab0）依题意有错误!解得错误!因为ab0,所以无解 综上，所求椭圆的标准方程为错误!错误!1。法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21（m0，n0,mn),依题意有错误!解得错误!所以所求椭圆

6、的标准方程为错误!错误!1。确定椭圆方程的“定位”与“定量 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0,B0，AB）学必求其心得，业必贵于专精 -6-1求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1）焦点分别为(0，2)，（0，2)，经过点(4,3错误!）；(2)经过两点(2，2)，错误!。解（1)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为错误!错误!1（ab0）由椭圆的定义知 2a错误!错误!12，所以a6.又c2，所以b错误!4错误!.所以椭圆的标准方程为错误!错误!1。法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为错

7、误!错误!1（ab0)由题意得错误!解得错误!所以椭圆的标准方程为错误!错误!1.（2)法一：若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x2a2错误!1(ab0)由已知条件得错误!解得错误!所以所求椭圆的标准方程为错误!错误!1。同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在 学必求其心得，业必贵于专精 -7-综上,所求椭圆的标准方程为错误!错误!1。法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0,B0,AB)将两点（2,错误!)，错误!代入，得错误!解得错误!所以所求椭圆的标准方程为错误!错误!1。椭圆的定义及其应用 探究问题 1如何用集合语言描述椭圆的定义?提示 PM|MF1|MF22a,2a|F1F2

8、2如何判断椭圆的焦点位置?提示 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”3椭圆标准方程中,a，b，c三个量的关系是什么？提示 椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c（都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2（如图所示)【例 2】如图所示,已知椭圆的方程为错误!错误!1，若点P为学必求其心得，业必贵于专精 -8-椭圆上的点，且PF1F2120，求PF1F2的面积 思路探究 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1和|PF2|的方程，解方程组求得|P

9、F1|，再用面积公式求解 解 由已知a2，b错误!，得ca2b2错误!1,F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得 PF22|PF12|F1F222|PF1|F1F2|cos 120，即PF2|2|PF1242|PF1.由椭圆定义，得PF1|PF2|4，即|PF24PF1.代入解得|PF1错误!。所以SPF1F2错误!|PF1|F1F2sin 120 12错误!2错误!错误!，即PF1F2的面积是错误!错误!.（改变问法）在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标 学必求其心得，业必贵于专精 -9-解 设P点坐标为(x0,y0)由本例解答可知SPF1F212|F1F2y0错误!错误!，解

10、得y0|错误!错误!,即y0错误!错误!,将y0错误!错误!代入错误!错误!1 得x错误!，所以点P的坐标为错误!。与椭圆有关的轨迹问题 【例 3】如图，圆C：（x1）2y225 及点A（1,0),Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程 解 由垂直平分线性质可知MQ|MA,CM|MA|CM|MQCQ|.|CM|MA|5。M点的轨迹为椭圆，其中 2a5，焦点为C(1,0)，A（1，0)，a错误!，c1，b2a2c2错误!1错误!.所求轨迹方程为:错误!错误!1.学必求其心得，业必贵于专精 -10-在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于

11、两定点之间的距离时,由椭圆的定义知其轨迹是椭圆,这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c,即可写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫定义法.2已知两圆C1：（x4)2y2169，C2：(x4）2y29,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程 解 如图所示,设动圆圆心为M(x,y)，半径为r，由题意动圆M内切于圆C1，|MC113r。圆M外切于圆C2，|MC23r。MC1|MC216C1C2|8，动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且 2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求轨迹方程为错误!错误!1.学必求其心得，业必贵于专精 -11-椭圆上一点P

12、与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识。对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用S错误!absin C把PF1|PF2看成一个整体，利用定义|PF1|PF22a及余弦定理求出|PF1|PF2|，这样可以减少运算量.1思考辨析(1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ()（2）椭圆x216错误!1 的焦点坐标是（3，0）（3)错误!错误!1(ab）表示焦点在y轴上的椭圆 提示(1）需 2a|F1F2|.（2)（0，3)（3）ab0 时表示焦点在y轴上的椭圆 2

13、已知椭圆错误!错误!1 上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为(）学必求其心得，业必贵于专精 -12-A1 B5 C2 D7 D 由PF1|PF2|10 可知到另一焦点的距离为 7.3椭圆错误!错误!1 的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1的周长为（)A10 B20 C40 D50 B 由椭圆的定义得|AF1|AF2|2a10,|BF1|BF2|2a10，所以ABF1的周长为AF1|BF1|AB20,故选B.4设F1，F2分别为椭圆C：错误!错误!1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A错误!到F1，F2两点的距离之和为 4，则椭圆C的方程是_ x24错误!1 由|AF1|AF22a4 得a2,原方程化为错误!错误!1，将A错误!代入方程得b23,椭圆方程为错误!错误!1。