2020高中数学第章圆与方程.2.1直线与圆的位置关系学案2q.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-4.2。1 直线与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1。掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离 2 会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系 3 会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.1直线与圆有三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线AxByC0 与圆(xa）2(yb）2r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 学必求其心得，业必贵于专精 -2-公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：

2、设圆心到直线的距离d错误!dr dr dr 代数法：由错误!消元得到一元二次方程的判别式 0 0 0 思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点?提示“几何法”与“代数法判断直线与圆的位置关系,是从不同的方面,不同的思路来判断的“几何法更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质;“代数法则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”1直线3x4y50 与圆x2y21 的位置关系是（)A相交 B相切 C相离 D无法判断 B 圆心(0,0)到直线 3x4y50 的距离d错误!1.dr，直线与圆相切选 B.2设A，B为直线yx与圆x2y21 的两个交点，则AB()学必求其心得，

3、业必贵于专精 -3-A1 B2 C错误!D2 D 直线yx过圆x2y21 的圆心C(0，0），则|AB2。3直线x2y0 被圆C:x2y26x2y150 所截得的弦长等于_ 4错误!由已知圆心C（3，1），半径r5。又圆心C到直线l的距离d错误!错误!，则弦长2错误!4错误!。直线与圆的位置关系【例 1】已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10。当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；（2)只有一个公共点；(3）没有公共点 解 法一：将直线mxym10 代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.学必求其心得，业必贵于专精 -4-4m(3m4)，（1

4、)当0 时，即m0 或m错误!时，直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点；(2)当0 时，即m0 或m错误!时,直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点;（3）当0 时,即错误!m0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点 法二：已知圆的方程可化为（x2）2（y1)24，即圆心为C(2，1），半径r2.圆心C(2,1）到直线mxym10 的距离 d错误!错误!.（1）当d2 时，即m0 或m错误!时,直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2）当d2 时,即m0 或m错误!时，直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点；(3)当d2 时，即错误!m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点 学必求其心得，

5、业必贵于专精 -5-直线与圆位置关系判断的三种方法：(1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3）直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系 已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3，0)的直线，则（)Al与C相交 Bl与C相切 Cl与C相离 D以上三个选项均有可能 A 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得 32024391230，点P（3，0)在圆内过点P的直线l必与圆C相交 求圆的切线方程【例 2】过点A(4，3）作圆（x3)2(y1)21 的切线,求此切线

6、方程 思路探究：错误!错误!根据圆心到直线的距离dr错误!学必求其心得，业必贵于专精 -6-解 因为(43）2(31)2171，所以点A在圆外,故切线有两条 若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k,则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C（3，1)到切线的距离等于半径 1,所以错误!1,即k4错误!，所以k28k16k21，解得k错误!。所以切线方程为错误!xy错误!30,即 15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C（3,1)到直线x4 的距离为 1，这时直线x4 与圆相切,所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为 15x8y360 或x4.1本例中若将点“A

7、（4，3)”改为“A(2，1)”，则结果如何?解 因为(23）2（11）21，所以点A(2,1）在圆上，从而A是切点，又过圆心(3，1)与点A的直线斜率为 0,学必求其心得，业必贵于专精 -7-故所求切线的方程为y1.2若本例的条件不变，求其切线长 解 因为圆心C的坐标为（3，1），设切点为B，则ABC为直角三角形,AC|错误!错误!,又|BC|r1,则AB|错误!错误!4，所以切线长为 4.圆的切线的求法：(1）点在圆上时：求过圆上一点（x0,y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为错误!,由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程

8、xx0或yy0.（2）点在圆外时：几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程代数法：设切线方程为y学必求其心得，业必贵于专精 -8-y0k（xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0 求出k，可得切线方程 特别注意:切线的斜率不存在的情况，不要漏解 直线与圆的相交问题 探究问题 1已知直线l与圆相交,如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？提示 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用AB|错误!求弦长 2若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示

9、，求得弦长l2错误!。【例 3】求直线l:3xy60 被圆C：x2y22y40 截得的弦长 思路探究：法一:错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -9-法二：错误!错误!错误!解 法一:圆C:x2y22y40 可化为x2（y1)25，其圆心坐标为(0，1),半径r错误!。点（0，1)到直线l的距离为d错误!错误!，l2错误!错误!，所以截得的弦长为错误!.法二：设直线l与圆C交于A、B两点 由错误!得交点A(1,3）,B(2，0)，所以弦AB的长为|AB|错误!错误!。3若本例改为“过点(2,0)的直线被圆C:x2y22y40 截得的弦长为错误!，求该直线方程”，又如何求解?解 由例题

10、知，圆心C(0，1)，半径r错误!，又弦长为错误!，所以圆心到直线的距离 d错误!错误!错误!。又直线过点（2，0），知直线斜率一定存在,可设直线斜率为k,则直线方程为yk(x2)，所以d错误!错误!，解得k3 或k错误!，所以直线方程为y3（x2)或y错误!（x2)，即 3xy60 或x3y20.学必求其心得，业必贵于专精 -10-求弦长常用的三种方法：(1）利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系错误!错误!d2r2解题(2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长（3）利用弦长公式，设直线l:ykxb，与圆的两交点(x1，y1),

11、（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l错误!x1x2错误!.1本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题难点是解决直线与圆的位置关系 2判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数两者相比较，前者较形象、直观,便于运算 3与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解 学必求其心得，业必贵于专精 -11-1直线 3x4y120 与圆（x1）2

12、（y1）29 的位置关系是（）A过圆心 B相切 C相离 D相交但不过圆心 D 圆心坐标为(1，1)，圆心到直线 3x4y120 的距离为d错误!错误!r3。又点(1，1）不在直线 3x4y120 上，所以直线与圆相交且不过圆心选 D。2若直线yxa与圆x2y21 相切，则a的值为(）A2 B错误!C1 D1 B 由题意得错误!1,所以a错误!，故选 B。3求过点（1，7)且与圆x2y225 相切的直线方程 解 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k,则切线方程为y7k（x1),即kxyk70。错误!5，解得k错误!或k错误!。所求切线方程为y7错误!（x1）或y7错误!（x1)，学必求其心得，业必贵于专精 -12-即 4x3y250 或 3x4y250.