2020高中数学第章不等式的基本性质和证明的基本方法.5.比较法讲义4-.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.5.1 比较法 学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据。2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3。通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用 教材整理 1 比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种(1)作差比较法 要证明ab，只要证明ab 0；要证明ab，只要证明ab0,要证明ab,只要证明ab1；要证明ba，只要证明错误!1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法 教材整理 2 比较法证明不等式的步骤 比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先求差(商)，然后变形，最终通过比较作判断 1设ta2b，sab21，则下

2、列t与s的大小关系中正确学必求其心得，业必贵于专精 -2-的是(）Ats Bts Cts Dts 解析 st（ab21）（a2b)（b1)20，st.答案 D 2已知P错误!，Qa2a1，那么P，Q的大小关系是(）AP0 BPQ CPQ DPQ 解析 QP(a2a1)（a2a1）(a21）2a2a42a21a2a4a211.PQ.答案 D 作差比较法证明不等式【例 1】已知a，bR，求证：a2b21abab。精彩点拨 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配学必求其心得，业必贵于专精 -3-成平方和的形式,也可根据二次三项式的判别式确定符号 自主解答 法一：化成几个平方和 a2b2abab

3、1 错误!(ab）2（a1）2（b1)20，a2b21abab.法二：a2b2abab1 a2（b1)ab2b1。对于a的二次三项式,（b1)24（b2b1）3（b1）20，a2(b1）ab2b10，故a2b21abab。1作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少 2 因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数,或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“”判定符号 学必求其心得，业必贵于专精 -4-1已知a，b为正数，证明：a2b2错误!（ab)证明 a2b2错误!(ab）a2a错误!

4、b2b错误!a a(ab）b错误!（错误!错误!）(a错误!）(a错误!b错误!）（错误!错误!)(错误!错误!）（a错误!b)（错误!错误!）2（a错误!b）0，a2b2错误!(ab）。求商比较法证明不等式【例 2】已知a2,求证：loga（a1）log（a1）a.精彩点拨 错误!错误!与 1 比较大小错误!自主解答 a2,则a11,loga（a1)0，log(a1）a0，由于错误!loga（a1)loga（a1)错误!错误!错误!错误!。a2，0loga（a21)logaa22，错误!错误!错误!错误!1,学必求其心得，业必贵于专精 -5-因此错误!1。log(a1)a0，loga（a1）

5、log(a1)a.1当不等式的两端为对数式时,可作商证明不等式 2运用ab错误!1，证明不等式时，一定注意b0 是前提条件若符号不能确定，应注意分类讨论 2已知abc0，求证:a2ab2bc2cabcbcacab.证明 由abc0，得acbbcacab0,a2ab2bc2c0。所证不等式左边除以右边,得 错误!错误!aabaacbbcbbaccaccb 学必求其心得，业必贵于专精 -6-比较法的实际应用【例 3】甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走如果mn,问甲、乙二人谁先到达指定地点?精彩点拨

6、 设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2,要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了 自主解答 设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2,依题意有：错误!m错误!ns,错误!错误!t2，t1错误!，t2错误!，t1t2错误!错误!错误!错误!。其中s，m，n都是正数，且mn,t1t20,即t1t2，从而知甲比乙先到达指定地点 学必求其心得，业必贵于专精 -7-1应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键 2在实际应用题中解决不

7、等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断 3通过水管放水，当流速相同时,如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面是圆的水管流量大还是截面是正方形的水管流量大？解 设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为 错误!错误!,截面是正方形的水管的截面面积为错误!错误!.错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!。由于l0,04，错误!0，（）l2错误!错误!错误!.因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大。学必求其心得，业必贵于专精 -8-用比较法证明不等式 探究问题 1作差比较法的

8、主要适用类型是什么?实质是什么？提示 作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子）与 0 的大小关系 2作商比较法主要适用类型是什么？其证明的一般步骤是什么？提示 作商比较法主要用于积(商）、幂（根式）、指数形式的不等式证明其证明的一般步骤:作商变形（化简)判断商值与 1的大小关系结论【例 4】求证：（1)当xR 时,12x42x3x2；(2）当a,b(0，）时，aabb(ab)错误!.精彩点拨（1）利用作差比较法，注意变形分解;（2）利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小 自主解答(1)法一：(12x4）(2x3x2）2x3(

9、x1）（x1）（x1)(x1)(2x3x1）学必求其心得，业必贵于专精 -9-（x1）（2x32xx1）(x1)2x(x21)(x1)(x1）2（2x22x1)(x1）2错误!0，12x42x3x2。法二：(12x4)（2x3x2)x42x3x2x42x21（x1)2x2(x21)20，12x42x3x2。(2）错误!a错误!b错误!错误!错误!，当ab时,错误!错误!1；当ab0 时，ab1，错误!0,则错误!错误!1；当ba0 时，0错误!1,错误!0，则错误!错误!1.综上可知，当a，b(0，)时，aabb（ab)错误!成立 4已知a,b均为正数,nN，求证：错误!错误!错误!错误!。证

10、明 设P错误!错误!错误!错误!错误!(an1bn1）错误!学必求其心得，业必贵于专精 -10-错误!。若ab0，则an1bn1,anbn，所以an1bn10，anbn0，且anbn0,因此P0.若ba0，则an1bn1，anbn，所以an1bn10，anbn0，且anbn0，故P0；若ab0,则P0。综上所述，P0，故原式成立 1已知a2,b2，则(）Aabab Babab Cabab Dabab 解析 a2，b2,错误!10，错误!10，则ab（ab)a错误!b错误!0.abab.学必求其心得，业必贵于专精 -11-答案 C 2已知ab1，则错误!与错误!的大小关系为()A。错误!错误!B

11、。错误!错误!C.错误!错误!D。错误!错误!解析 ab1,a10，b10,ab0，则错误!错误!错误!0，错误!错误!.答案 B 3下列命题：当b0 时，ab错误!1；当b0 时，ab错误!1；当a0，b0 时，ab1ab；当ab0 时，错误!1ab。其中真命题是()A B C D 解析 由不等式的性质，正确当ab0 时,(若b学必求其心得，业必贵于专精 -12-0，a0)，错误!1 与ab不等价，错 答案 A 4设a,b，m均为正数，且错误!错误!,则a与b的大小关系是_ 解析 错误!错误!错误!0。又a,b，m为正数，a（am）0，m0，因此ab0，即ab。答案 ab 5已知x1，求证：错误!1错误!。证明 x1，1x0，错误!0。又错误!错误!错误!（x1）2错误!1错误!0，故不等式错误!1错误!成立