2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标A.pdf

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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学文科 课标 I 一选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合12|,31|xxBxxM，则MB A.)1,2(B.)1,1(C.)3,1(D.)3,2(（2）假设0tan，则 A.0sin B.0cos C.02sin D.02cos（3）设iiz11，则|z A.21 B.22 C.23 D.2 4已知双曲线)0(13222ayax的离心率为 2，则a A.2 B.26 C.25 D.1（5）设函数)(),(xgxf的定义域为R，且)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，则以下

2、结论中正确的选项是 A.)()(xgxf是偶函数 B.)(|)(|xgxf 是奇函数 C.|)(|)(xgxf 是奇函数 D.|)()(|xgxf是奇函数（6）设FED,分别为ABC的三边ABCABC,的中点，则 FCEB A.AD B.AD21 C.BC21 D.BC（7）在函数|2|cosxy，|cos|xy ，)62cos(xy,)42tan(xy中，最小正周期为的所有函数为 A.B.C.D.8如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 9执行右面的程序框图，假设输入的,a b k分别为 1,2,3，则

3、输出的M()A.203 B.72 C.165 D.158 （10）已知抛物线 C：xy 2的焦点为F,yxA00,是 C 上一点，xFA045，则x0 A.1 B.2 C.4 D.8（11）设x，y满足约束条件,1,xyaxy 且zxay的最小值为 7，则a A-5 B.3 C-5 或 3 D.5 或-3（12）已知函数32()31f xaxx，假设()f x存在唯一的零点0 x，且00 x，则a的取值范围是 A.2,B.1,C.,2 D.,1 第 II 卷 二、填空题：本大题共4 小题，每题 5 分 13 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率

4、为_.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_.15设函数 113,1,1,xexf xxx则使得 2f x 成立的x的取值范围是_.16如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得 M点的仰角60MAN，C点的仰角45CAB以及75MAC；从C点测得60MCA.已知山高100BCm，则山高MN _m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题总分值 12 分 已知 na是递增的等差数列，2a，4a是方程2

5、560 xx的根。I求 na的通项公式；II求数列2nna的前n项和.（18）本小题总分值 12 分 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数 6 26 38 22 8 I在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：II 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；III根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？(19)(此题总分值12分)如图，

6、三棱柱111CBAABC 中，侧面CCBB11为菱形，CB1的中点为O，且AO平面CCBB11.（1）证明：;1ABCB（2）假设1ABAC,1,601BCCBB求三棱柱111CBAABC 的高.（20）本小题总分值 12 分 已知点)2,2(P，圆C:0822yyx，过点P的动直线l与圆C交于BA,两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；（2）当OMOP 时，求l的方程及POM的面积 21 本小题总分值 12 分 设函数 21ln12af xaxxbx a，曲线 11yf xf在点，处的切线斜率为 0（1）求 b;（2）假设存在01,x 使得 01af xa，求 a 的

7、取值范围。请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22）本小题总分值 10 分选修 4-1，几何证明选讲 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.I证明：DE；II 设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ABC为等边三角形.（23）本小题总分值 10 分选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线194:22yxC，直线tytxl222:t为参数（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值.

8、（24）本小题总分值 10 分选修 4-5；不等式选讲 假设,0,0ba且abba11 I求33ba 的最小值；II是否存在ba,，使得632 ba？并说明理由.参考答案 一、选择题 1-5.BABDA 6-10.CCBDC 11-12.BA 二、填空题 13.23 14.A 15.(,8 16.150 三、解答题 17.解：1方程2560 xx的两个根为 2，3，由题意得因为242,3aa 设数列na的公差为 d，则422aad，故12d，从而132a 所以na的通项公式为112nan 2设2nna的前n项和为nS，由1知1222nnnan，则 2313412.2222nnnnnS 3412

9、13412.22222nnnnnS -得 3412131112.242222nnnnnS 123112(1)4422nnn 所以，1422nnnS 18.解：1 4 分 2质量指标值的样本平均数为80 690 26 100 38 11022 120 8100100 x 质量指标值的样本方差为 所以，这种产品质量指标的平均数估计值为 100，方差的估计值为 104.10 分 3依题意38228100=68 80 所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80”的规定。12 分 19.1证明：连接1BC，则O为1BC与1BC的交点，因为侧面11BBC C为菱

10、形，所以11BCBC 又AO 平面11BB C C，所以1BCAO，故1BCABO 平面 由于ABABO 平面，故1BCAB6 分 2解：做ODBC，垂足为 D，连接 AD，做OHAD，垂足为 H。由于,BCAO BCOD，故BCAOD 平面，所以OHBC 又OHAD，所以OHABC 平面 因为160CBB，所以1CBB为等边三角形，又1BC，可得34OD 由于1ACAB，所以11122AOBC 由OH ADOD OA，且2274ADODOA，得2114OH 又O为1BC的中点，所以点1B到平面ABC的距离为217，故三棱柱111ABCABC的高为21712 分 20解：1方法一：圆C的方程可

11、化为22(4)16xy，所以，圆心为(0,4)C，半径为 4，设(,)M x y，则(,4),(2,2)CMx yMPxy，由题设知0CM MP，故(2)(4)(2)0 xxyy，即22(1)(3)2xy 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是22(1)(3)2xy6 分 方法二：圆C的方程可化为22(4)16xy，所以，圆心为(0,4)C，半径为 4，设(,)M x y，设24,2ABCMyykkxx，则24,2ABCMyykkxx 所以2412ABCMyykkxx 化简得，222680 xyxy，即22(1)(3)2xy 所以M的轨迹方程是22(1)(3)2xy 2方法一：由1可知M的轨

12、迹是以点(1,3)N为圆心，2为半径的圆 由于|OPOM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM 因为ON的斜率为 3，所以l的斜率为13，所以l的方程为1833yx 又|2 2OMOP，O到l的距离为4 104 10,|55PM，所以POM的面积为165 方法二：依题意，|2 2OP，因为|2 2OMOP 所以，M 也在228xy上 所以222282680 xyxyxy 两式相减，得26160 xy，即1833yx，此方程也就是l的方程 由1知，M的轨迹方程是22(1)(3)2xy，设此方程的圆心为N，则(1,3)N 所以|1 98|10d 又22|(12)(32)2NP

13、所以24 10|2 255MP O到l的距离810h 所以，184 101625510POMS 综上所述，l的方程为1833yx，POM的面积为165 21.1解：()(1)afxa xbx 由题设知(1)(1)0faab 解得1b 4 分 2解：()f x的定义域为(0,)，由1知，21()ln2af xaxxx，1()(1)1()(1)1aaafxa xxxxxa 假设12a，则11aa，故当(1,)x时，()0,()fxf x在(1,)单调递增，所以，存在01x，使得0()1af xa的充要条件为(1)1afa，即1121aaa，解得2121a 假设112a，则11aa，故当(1,)1a

14、xa时，()0fx；当(,)1axa时，()0fx；所以()f x在(1,)1aa单调递减，在(,)1aa单调递增，所以，存在01x，使得0()1af xa的充要条件为()11aafaa 而21()ln112(1)11aaaafaaaaaa，所以不合题意 假设1a，则11(1)1221aaafa 综上所述，a的取值范围是(21,21)(1,)12 分 22.本小题总分值 10 分 1证明：由题设得，A，B，C，D 四点共圆，所以，DCBE 又CBCE，CBEE 所以DE 5 分 2证明：设BC的中点为N，连结MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上 又AD不是O的直径，M为AD的中点，故

15、OMAD，即MNAD 所以/ADBC，故ACBE 又CBEE，故AE，由1知，DE，所以ADE为等边三角形。10 分 23.解：1曲线C的参数方程为2cos3sinxy为参数 直线l的普通方程为260 xy 2曲线C上任意一点(2cos,3sin)P到l的距离为 5|4cos3sin6|5d 则2 5|5sin()6|sin305dPA，其中为锐角，且4tan3 当sin()1 时，|PA取得最大值，最大值为22 55 当sin()1时，|PA取得最小值，最小值为2 5510 分 24.解：1由112ababab，得2ab，且当2ab时等号成立 故333324 2aba b，且当2ab时等号成立 所以33ab的最小值为4 25 分 2由1知，232 64 3abab 由于4 36，从而不存在,a b，使得236ab10 分