2020高中数学第章集合与函数概念.2.2函数的表示法(第2课时)分段函数与映射学案.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 2 课时 分段函数与映射 学 习 目 标 核 心 素 养 1了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象(重点，难点)2能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题(重点、难点）3通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力（重点)1通过分段函数求值问题培养数学运算素养 2利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养 1分段函数 如果函数yf(x），xA,根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数 思考:分段函数是一个函数还是几个函数？提示 分段函数是一个函数，而不是几个

2、函数 学必求其心得，业必贵于专精 -2-2映射 设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射 1已知集合Aa,b，集合B0，1，下列对应不是A到B的映射的是（)A B C D C 选项 C 中不但b元素没有对应的元素，而且元素a所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义,故选 C。2下列给出的式子是分段函数的是(）f(x)错误!f（x）错误!f（x)错误!f（x)错误!A B C D B 结合分段函数的定义可知是分段函数，中不同对应关系的定义域有重叠部分,故选 B。

3、学必求其心得，业必贵于专精 -3-3函数f（x)错误!则f(f（4)）_ 0 f(4）431，f（1）110，f（f(4）)f（1)0。分段函数的求值问题【例 1】已知函数f（x）错误!(1）求f（5），f（错误!）,f错误!的值；(2)若f（a）3，求实数a的值 解(1)由5(，2,错误!(2，2），错误!（，2，知f(5)514，f(错误!）(错误!）22（错误!)32错误!。f错误!错误!1错误!，而2错误!2,f错误!f错误!错误!错误!2错误!错误!3错误!。(2）当a2 时，a13，即a22,不合题意，舍去 当2a2 时，a22a3，即a22a30。(a1）(a3）0,解得a1 或

4、a3.学必求其心得，业必贵于专精 -4-1（2，2），3(2，2）,a1 符合题意 当a2 时,2a13，即a2 符合题意 综上可得，当f（a）3 时，a1 或a2.1分段函数求函数值的方法：（1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f（x0）的形式时，应从内到外依次求值 2。已知函数值求字母取值的步骤：(1）先对字母的取值范围分类讨论(2）然后代入不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4）检验所求的值是否在所讨论的区间内 提醒：求某条件下自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验 1.函数

5、f(x)错误!则f(7）_ 8 函数f(x)错误!学必求其心得，业必贵于专精 -5-f(7）f(f（12)f(9）f（f(14）)f（11)8。分段函数的解析式【例 2】如图所示，已知底角为 45的等腰梯形ABCD，底边BC长为 7 cm，腰长为 2错误!cm，当垂直于底边BC（垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象 思路点拨:可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解 解 过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H。因为四边形ABCD是等腰梯

6、形,底角为 45,AB2错误!cm，所以BGAGDHHC2 cm，又BC7 cm，所以ADGH3 cm.(1)当点F在BG上，即x0，2时,y错误!x2；(2）当点F在GH上，即x(2，5时,yxx2222x2;学必求其心得，业必贵于专精 -6-（3)当点F在HC上,即x（5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF错误!(73)2错误!(7x)2 错误!（x7)210。综合（1)（2)(3）,得函数的解析式为 y错误!图象如图所示 1当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画 2通过本例让学生初步尝试用分段函

7、数解决实际问题的意识,培养学生的建模素养 2某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1）5 公里以内（含 5 公里),票价 2 元；学必求其心得，业必贵于专精 -7-(2)5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元(不足 5 公里按照5 公里计算)如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象 解 设票价为y元,里程为x公里,定义域为(0，20 由题意得函数的解析式如下:y错误!函数图象如图所示：分段函数的图象及应用 探究问题 1函数f(x)|x2能用分段函数的形式表示吗?能否作出其图象?提示：能f（x)错误!函数f（x)的图象如

8、图所示 学必求其心得，业必贵于专精 -8-2结合探究点 1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗?提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象【例 3】已知函数f(x)1错误!(2x2)(1)用分段函数的形式表示f（x）;(2)画出f（x)的图象；（3）写出函数f(x）的值域 思路点拨：（1）分2x0 和 0 x2 两种情况讨论，去掉绝对值可把f（x)写成分段函数的形式;(2）利用（1）的结论可画出图象;（3)由（2）中得到的图象,找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域 解(1)当 0 x2 时,f(x）1错误!1

9、，当2x0 时，学必求其心得，业必贵于专精 -9-f(x)1错误!1x，f(x）错误!(2）函数f(x）的图象如图所示 （3）由(2)知，f（x）在(2，2上的值域为1，3)分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象,在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏 1在本例条件不变的情况下，试讨论直线ya与函数yf（x)图象的交点个数 解 当a3 或a1 时,ya与yf(x)的图象无交点；当 10，f：xyx，其对应是从A到B的映射(）答案（1)(2)（3)(4)2设函数f(x）错误!则f(f（3)()A错误!B3 C错误!D错误!D f(3)错误!1，f(f（3）错误!错误!1错误!。3函数yf(x)的图象如图所示，则其解析式为_ f(x）错误!当 0 x1 时,设f(x）kx，又过点（1，2），故k学必求其心得，业必贵于专精 -13-2，f（x)2x；当 1x1 或x1 时,f（x）1，所以f（x）的值域为0，1