2020高中数学第2章平面向量.1数乘向量学案.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-3。1 数乘向量 学 习 目 标 核 心 素 养 1。理解向量的数乘运算及其几何意义(重点)2.理解向量共线定理，并应用其解决相关问题（难点）3。会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行（易混点)1.通过学习数乘运算及其几何意义，体会数学抽象素养 2.通过运用向量共线定理解决相关问题，培养数学运算素养.1数乘向量及运算律（1）向量数乘的定义 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a。它的长度和方向规定如下：|a|a|；当0 时，a与a的方向相同;当0 时，a与a的方向相反;当0 时,a0.学必求其心得，业必贵于专精 -2-（2)向量数乘的运算律 设a，b为向

2、量，,为实数，则数乘向量满足：结合律：（a）(）a；分配律:()aaa；(ab）ab.思考 1：向量 3a，3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?提示 3a的长度是a的长度的 3 倍,它的方向与向量a的方向相同 3a的长度是a的长度的 3 倍，它的方向与向量a的方向相反 2共线向量定理(1)判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数,使得ba，则向量b与非零向量a共线(2）性质定理 若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba。思考 2：若b2a,b与a共线吗？提示 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线 如果有一个实数，使ba（a0），那么b与a是共线向 学必求其心得，业必贵

3、于专精 -3-量；反之,如果b与a(a0)共线向量，那么有且只有一个实数，使得ba。1 在四边形ABCD中，若错误!错误!错误!，则此四边形是（）A平行四边形 B菱形 C梯形 D矩形 C 因为错误!错误!错误!，所以ABCD，且AB错误!CD，所以四边形ABCD为梯形 2下列各式计算正确的有(）(7）6a42a；7（ab)8b7a15b；a2ba2b2a;4(2ab)8a4b。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 C 正确 3已知向量a与b不共线，向量c3ab,d6a2b,则向量c与d的关系是_(填“共线”或“不共线”）共线 d6a2b2（3ab）2c，所以向量c与d共线 学必求其心得，业必

4、贵于专精 -4-4.错误!错误!_.2ba 错误!错误!错误!(2a8b)错误!(4a2b）错误!a错误!b错误!a错误!b2ba。向量数乘的定义【例 1】已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由(1)2a的方向与a的方向相同，且 2a的模是a的模的 2 倍；（2)2a的方向与 3a的方向相反,且2a的模是 3a模的错误!倍;（3）2a与 2a是一对相反向量；（4）ab与(ba）是一对相反向量 解（1）真命题2aaa与a方向相同，且2aaaaa|2|a.（2）真命题2a（a)(a)与a同方向，3aaaa与a同方向，由于a与a反方向,故2a与 3a反方向,又|2a2a|，3a3|

5、a|，所以2a的模是3a模的错误!学必求其心得，业必贵于专精 -5-倍（3)真命题2a2a（22）a0，故2a与 2a是一对相反向量，（4）假命题(ba）与ba是一对相反向量，ab与ba是一对相反向量，（ba）与ab是相等的 对数乘向量的四点说明(1）a的实数叫作向量a的系数（2）向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小（3）当0 或a0 时，a0.注意是 0，而不是 0。（4）向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量 1已知，R，则在下列各命题中，正确的命题有(）0，a0 时，a与a的方向一定相反；0，a0 时,a与a的方向一定相同；0，a0 时，a与a的方向一定相同;

6、0，a0 时，a与a的方向一定相反 学必求其心得，业必贵于专精 -6-A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 D 由与向量a的积a的方向规定，易知正确，对于命题，当0 时，同正或同负，a与a或者都与a同向，或者都与a反向，a与a同向,当0 时,则与异号，a与a中，一个与a同向，一个与a反向，a与a反向,故也正确 向量的线性运算【例 2】(1）计算下列各式：3(a2bc）(2cba）；错误!（ab）错误!（2a4b）错误!(2a13b）（2)设x,y是未知向量 解方程 5(xa）3(xb)0;解方程组错误!解（1)原式3a6b3c2cba4a7bc.原式错误!a错误!b错误!a错误!b错误!a错

7、误!b 错误!a错误!b 学必求其心得，业必贵于专精 -7-0a0b0.（2)原方程可变为 5x5a3x3b0，即 8x5a3b,所以x错误!a错误!b。把第一个方程的左、右两边同乘2,然后与第二个方程相加，得错误!y2ab,从而y错误!a错误!b。代入原来第二个方程得x错误!a错误!b.所以错误!1向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项“公因式”指向量，实数看成向量的系数 2向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解 2（1）化简 4(ab）3（ab)_.（2）若 2错误!错误!（cb3y）b0，其中a,c，b为

8、已知向量，则未知向量y_.（1)a7b（2)错误!a错误!b错误!c(1）4(ab）3(ab)4a学必求其心得，业必贵于专精 -8-3a4b3ba7b。(2)由 2错误!错误!(cb3y）b0，得 2y错误!a错误!c错误!b错误!yb0,即错误!y错误!a错误!c错误!b0，所以y错误!a错误!b错误!c.向量线性运算的综合应用 探究问题 1若存在实数，使错误!错误!，则A，B，C三点的位置关系如何?提示 A，B，C三点共线 2向量共线定理有哪两个方面的应用？提示（1)判断两个向量共线，若存在一个实数，使ba（a0)，则a与b共线(2）表示两个共线向量之间的关系若a与b共线(a0)，则必存在

9、一个实数。使ba。3向量共线定理应注意什么？提示 向量共线定理不包含 0 与 0 共线的情况，因为a0。定理中a0 不能漏掉若ab0，实数仍然存在，但是学必求其心得，业必贵于专精 -9-任意实数，不唯一；若a0,b0，则不存在实数，使ba。【例 3】已知非零向量e1,e2不共线(1）如果ABe1e2，错误!2e18e2，错误!3(e1e2)，求证：A，B,D三点共线;（2）欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值 思路探究 解答本题对于(1)，欲证A，B,D共线,只需证存在实数，使BD，AB，即可；对于(2)，若ke1e2与e1ke2共线，则一定存在,使ke1e2（e1ke2）解（1)

10、证明：错误!e1e2，错误!错误!错误!2e18e23e13e25(e1e2）5错误!.错误!，错误!共线，且有公共点B，A、B、D三点共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2（e1ke2）,则(k)e1（k1)e2，由于e1与e2不共线,只能有错误!k1。学必求其心得，业必贵于专精 -10-1（变条件）将例 3 中的条件变为“a，b是不共线的两非零向量，错误!2ab，错误!3ab，错误!a3b”，试证明：A、B、C三点共线 证明 错误!错误!错误!(3ab）(2ab）a2b，而错误!错误!错误!（a3b)(3ab)2(a2b）2错误!,错误!与错误!共线，且有公共点B，A，B

11、，C三点共线 2若将例 3 中的条件改为“若a、b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同”，问当实数t为何值时a，tb，错误!(ab)三向量的终点在同一直线上?解 由题设易知，存在唯一实数，使atb错误!，化简，得错误!a错误!b.a与b不共线,错误!解得错误!故当t错误!时,三向量的终点共线 1证明或判断三点共线的方法（1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得错误!错误!(或错误!错误!等)即可 学必求其心得，业必贵于专精 -11-(2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使错误!x错误!y错误!且xy1.2利用向量共线求参数的方法 判

12、断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数,使得ab(b0）而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得的值 1实数与向量a可作数乘，但实数不能与向量a进行加、减运算,如a,a都是无意义的还必须明确a是一个向量,的符号与a的方向相关，的大小与a的模长有关 2 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理,一定要注意,向量的共线(平行）与直线共线(或平行）的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题。1判断（正确的打“，错误的打“”）（1）实数与向量a的

13、积还是向量()（2)对于非零向量a，向量6a与向量 2a方向相反()学必求其心得，业必贵于专精 -12-(3）向量8a的模是向量 4a的模的 2 倍（）(4)若ba（a0)，则a与b方向相同或相反（)（5）若ab，则存在R，使得ba.()答案(1）（2）（3）（4）（5)2已知向量a，b，且错误!a2b，错误!5a6b，错误!7a2b,则一定共线的三点是(）AA,B，D BA，B,C CB，C，D DA，C，D A 错误!错误!错误!a2b（5a6b)（7a2b)3a6b3（a2b)错误!3错误!.所以A，B，D三点共线 3 若|a5,b与a的方向相反，且b|7，则a_b。错误!因为a|5，b|7，所以错误!错误!.又因为b与a的方向相反,所以a错误!b.4如图所示，已知错误!错误!错误!，用错误!，错误!表示错误!.解 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!（错误!错误!）错误!错误!错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -13-