小学数学难题选解(全).pdf

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1、小学数学难题选解(全)第一章牛顿问题 解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量-生长的草量=消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数。1、牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青草供给 10 头牛可以吃 20 天，供给 15 头牛吃，可以吃 10 天。供给 25 头牛吃，可以吃多少天？分析：如果草的总量一定，那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等。现在够 10 头牛吃 20 天，够 15 头牛吃 10 天，1020 和 1510 两个积不相等，

2、这是因为 10 头牛吃的时间长，长出的草多，所以，用这两个积的差，除以吃草的天数差，可求出每天的长草量。、求每天的长草量 (10201510)(2010)5(单位量)说明牧场每天长出的草够 5 头牛吃一天的草量。、求牧场原有草量 因为牧场每天长出的草量够 5 头牛吃一天，那么，10 头牛去吃，每天只有 1055(头)牛吃原有草量，20 天吃完，原有草量应是：(105)20100(单位量)或：10 头牛吃 20 天，一共吃草量是 1020200(单位量)一共吃的草量 20 天共生长的草量原有草量 200 100 100(单位量)、求 25 头牛吃每天实际消耗原有草量 因为牧场每天长出的草量够 5

3、 头牛吃一天，25 头牛去吃，(吃的 长的 消耗原草量)即：25 5 20(单位量)、25 头牛去吃，可吃天数 牧场原有草量 25 头牛每天实际消耗原有草量 可吃天数 100 20 5(天)解：(10201510)(2010)5010 5(单位量)-每天长草量 (105)20 520 100(单位量)-原有草量 100(255)10020 5(天)答：可供给 25 头牛吃 5 天。=2、牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给 20 头牛吃，可以吃 20 天；供给 100 头羊吃，可以吃 12 天。如果每头牛每天的吃草量相当于 4 只羊一天的吃草量，那么 20 头牛，100 只羊同

4、时吃这片草，可以吃几天？分析：1 头牛每天相当于 4 只羊一天的吃草量，那么 20 头牛就相当于 42080(只)羊吃草量。每天长草量：(8020 10012)(2012)4008 50(单位量)原有草量：(8050)20 3020 600(单位量)20 头牛和 100 只羊同时吃的天数：600(8010050)600130 4(天)答：20 头牛，100 只羊同时吃这片草，可以吃 4 天。=3、有三片牧场，牧场上的草长得一样密，一样快。它的面积分别是 3.3 公顷、2.8 公顷和4 公顷。22 头牛 54 天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草；17 头牛 84 天能吃完第二片牧场原有的草和

5、新长出的草。问，多少头牛经过 24 天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草？分析：、第一片牧场 22 头牛 54 天吃完 3.3 公顷所有的草，那么，每公顷草量是(包括生长的)：22543.3 360(单位量)、第二片牧场：17 头牛 84 天吃完 2.8 公顷所有的草，那么，每公顷草量是：17842.8 510(单位量)、每公顷每天的长草量是：(510360)(8454)5(单位量)、每公顷原有草量是：36055490(单位量)、第三片 4 公顷 24 天共有草量是：9045244840(单位量)、可供多少头牛吃 24 天：8402435(头)解：(17842.822543.3)(8454)

6、15030 5(单位量)-每公顷每天长草量 22543.3554 360270 90(单位量)-每公顷原有草量 9045424 360480 840(单位量)-4 公顷 24 天共有草量 8402435(头)答：35 头牛经过 24 天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。4、用 3 台同样的水泵抽干一个井里的泉水要 40 分钟；用 6 台这样的水泵抽干它只要 16分钟。问，用 9 台这样的水泵，多少分钟可以抽干这井里的水？分析：用水泵抽井里的泉水，泉水总是按一定大小不断往上涌，这就跟牧场的草一样均匀地生长，因此，把它当作牛吃草问题同解。每分钟泉水涌出量：(340616)(4016)2424

7、1(单位量)井里原有水量：(31)40 240 80(单位量)9 台几分钟可以抽干：80(91)808 10(分钟)答：用 9 台这样的水泵，10 分钟可以抽干这井里的水。=5、火车站的售票窗口 8 点开始售票，但 8 点以前早就有人来排队，假如每分钟来排队的人一样多，开始售票后，如果开 3 个窗口售票，30 分钟后，不再有人排队；如果开 5 个窗口售票，15 分钟后，不再有人排队。求第一个来排队的人是几点钟到的？分析：到窗口排队售票的人，包括两部分，一部分是 8 点以前已等候的人(相似于牛吃草问题中的原有草量)，另一部分是开始售票时，逐步来的人(相似于每天长草量)，开售票窗口多少，相似于“吃

8、草的牛”多少，售票时间相似于“牛吃草”天数。因此，按“牛吃草问题”来解答。每分钟来排队的人：(330515)(3015)1515 1(人)售票前已到的人数：330130 9030 60(人)售票前已到的人共用的时间：60160(分钟)60 分钟是 1 小时，即第一个来排队的人是售票前 1 小时到达的，817 答：第一个来排队的人是 7 点钟到达的。第二章鸡兔问题 解题关健：鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个(42)只脚，就说明有 1 只兔，将所差的脚数除以(42)，就可求

9、出兔的只数。同理，假设全部是兔，可求出鸡。1、鸡兔同笼共 80 头，208 只脚，鸡和兔各有几只？分析：假设这 80 头全是鸡，那么，脚应是 280160(只)，比实际少 20816048(只)脚，这是因为 1 只兔有 4 只脚，把它看成是 2 只脚的鸡了，每只兔少算了 2 只脚，共少算了 48只脚，48 里面有几个 2，就是几只兔。解：(208280)(42)482 24(只)-兔 802456(只)答：鸡有 56 只，兔有 24 只。也可以假设 80 只全是兔，解答如下：解：(480208)(42)1122 56(只)-鸡 805624(只)=2、小明参加一次数学竞赛，试题共有 10 道，

10、每做对一题得 10 分，错一题扣 5 分，小明共得了 70 分，他做对了几道题？分析：假设他做对了 10 道题，那么应得 1010100(分)，而实际只得 70 分，少 30 分，这是因为每做错一题，不但得不到 10 分，反而倒扣 5 分，这样做错一题就会少 10515(分)，看 30 分里面有几个 15 分，就错了几题。解：(101070)(105)3015 2(道)-错题 1028(道)答：他做对了 8 道题。=3、有面值 5 元和 10 元的钞票共 100 张，总值为 800 元。5 元和 10 元的钞票各是多少张？分析：假设 100 张钞票全是 5 元的，那么总值就是 5100500(

11、元)，与实际相差 800500300 元 差的 300 元，是因为将 10 元 1 张的算作了 5 元的，每张少计算 1055(元)，差的 300元里面有多少个 5 元，就是多少张 10 元的钞票。解：(800510)(105)3005 60(张)-10 元面值 1006040(张)答：有 10 元的钞票 60 张，5 元的钞票 40 张。=4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共 21 只，共 140 条腿和 23 对翅膀，三种动物各多少只？(蜘蛛 8 条腿，蜻蜓 6 条腿 2 对翅膀，蝉 6 条腿 1 对翅膀)分析：假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是 6 条腿，那么总腿数是 621126(条)，比实际少 140

12、12614(条)，这是因为一只蜘蛛是 8 条腿，把它算作 6 条腿，每只蜘蛛少计算了 862(条)，少算的 14 条里面有几个 2 条，就是几只蜘蛛，即 1427(只)。从总只数里减 7 只蜘蛛，就得 21714(只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这 14 只全是蜻蜓，那么翅膀应是 21428(对)比实际多 28235(对)，这是因为蝉是 1 对翅膀，把它算成 2 对了，每只蝉多算了 1对翅膀多出的这 5 对翅膀里面有几个 1 对，就是几只蝉。求出了蝉，蜻蜓可求。解：(140621)(86)142 7(只)-蜘蛛 21714(只)(21423)(21)51 5(只)-蝉 1459(只)-蜻蜓 答：蜘蛛

13、 7 只，蜻蜓 9 只，蝉 5 只。第三章年龄问题 解题关键：“年龄问题”的基本规律是：不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。1、爸爸今年 42 岁，女儿今年 10 岁，几年前爸爸的年龄是女儿的 5 倍？分析：要求几年前爸爸的年龄是女儿的 5 倍，首先应求出那时女儿的年龄是多少？爸爸的年龄是女儿的 5倍，女儿的年龄是 1 倍，爸爸比女儿多514(倍)，年龄多 421032(岁)，对应，可求出 1 倍是多少，即女儿当时的年龄。解：(4210)(51)324 8(岁)1082(年)答：

14、2 年前爸爸的年龄是女儿的 5 倍。=2、父亲今年比儿子大 36 岁，5 年后父亲的年龄是儿子的 4 倍，今年儿子几岁？分析：父亲今年比儿子大 36 岁，5 年后仍然大 36 岁。父亲年龄是儿子的 4 倍，说明儿子的年龄是 1 倍，父亲比儿子大 413(倍)，可求出 1 倍是多少岁，即 5 年后儿子的年龄，那么，现在几岁可求出。解：36(41)363 12(岁)1257(岁)答：今年儿子 7 岁。=3、今年母女年龄和是 45 岁，5 年后母亲的年龄正好是女儿的 4 倍，今年妈妈和女儿各多少岁？分析：今年母女年龄和是 45 岁，五年后母女年龄和是 455255(岁)，母亲年龄是女儿的 4 倍，女

15、儿年龄是 1 倍，母女年龄和的倍数是 415(倍)，对应，可求出 5 年后女儿的年龄，今年她们的年龄可求。解：(4552)(41)555 11(岁)1156(岁)45639(岁)答：妈妈今年 39 岁，女儿 6 岁。=4、今年甲、乙、丙三人的年龄和为 60 岁，3 年后甲比乙大 6 岁，丙比乙小 3 岁，三年后甲、乙、丙三人各几岁？分析：如图：甲|-|乙|-|6 岁 丙|-|3 岁 三年后，三人年龄和是 603369(岁)，但三人的年龄差不变。从图中可以看出，从三人年龄和中减 6 加 3，刚好等于 3 个乙的年龄。解：(6033 63)3 663 22(岁)22628(岁)22319(岁)答：

16、三年后甲 28 岁，乙 22 岁，丙 19 岁。第四章植树问题 解题关键：1、要注意总距离、棵距及棵数三个量之间的关系。2、要分清图形是否封闭，然后确定是沿线段栽，还是沿周长栽。3、关系式为：沿线段植树 棵数总距离棵距1 沿周长植树 棵数总距离棵距 1、在一段 4 0 米长的人行道一侧栽树，每隔 5 米栽一棵樟树，共需要栽樟树多少棵？分析：如图：5 米 从图上可以看出，“每隔 5 米栽一棵”就是将 4058，平均分成 8 段，因两端都有一棵树，所以，沿人行道一侧栽树，属沿线段植树。解：4 051 81 9（棵）答：需要栽樟树 9 棵。=想一想：如果这条人行道两侧都这样栽，需要栽多少棵？应怎样算

17、？2、沿一段公路两旁种杨树，每隔 3 米种一棵，一共种了 502 棵。这段公路长多少米？分析：沿公路两旁共种 502 棵，将 5022251（棵），就得到公路一旁种树棵数（注意将两旁总棵数除以 2），它属于沿线段植树问题，根据关系式，将棵数减 1，乘棵距，可求出总距离。解：5022251（棵）3（2511）3250 750（米）答：这段公路长 750 米。=3、把一根 4 8 厘米的铁棒锯成 8 厘米长的短铁棒，如果锯一段需要 4 分钟，锯完这根铁棒需要多少分钟？分析：如图 将 4 8 厘米长铁棒锯成 8 厘米长的短铁棒，就是求 48 厘米里面有几个 8 厘米，就可锯成几段，从图上可以看出“锯

18、的次数比段数要少 1”，锯一段需要 4 分钟，实际是锯一次要 4 分钟，求锯完这根铁棒需要多少分钟，先要求出共锯多少次。解：48815（次）4520（分钟）答：锯完这根铁棒需要 20 分钟。=4、在一个人工湖周围每隔 6 米种一棵柳树，一共种了 180 棵。再在相邻的两棵柳树间每隔2 米种一株月季，问，一共需要多少株月季？分析：在人工湖周围种树，属于在封闭图形上栽树问题，即沿周长植树，根据关系式：总距离棵距棵数，人工湖周长为 61801080（米）如果湖的周围没有柳树，全是每隔 2 米种的月季，月季共 1080254 0（株），而实际其中种有柳树 180 棵，那么，月季株数应为 5401803

19、60（株）。解：61802180 540180 360（株）答：一共需要 360 株月季。=解法二：人工湖周围每隔 6 米种一棵柳树，共种 180 棵，就是将湖的周长平均分成 180 段，每段长6 米，因为这 6 米的两头已种柳树，所以这中间只能种 6212（株）月季，共需月季列式为：（621）180 2180 360（株）第五章盈亏问题 解答公式：两次分配的结果差两次分配数差人数 或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据 第一种分法的人数第二种分法的人数 第一种分法物品总数第二种分法物品总数，列出方程来解。1、一批树苗，如果每人种树苗 8 棵，则缺少 3 棵；如果每

20、人种 7 棵，则有 4 棵没人种。求参加种树的人数是多少？这批树苗共有多少棵？=分析：每人种 8 棵，则缺少 3 棵，也就是少 3 棵。每人种 7 棵，则有 4 棵没人种，也就是多4 棵。那么两次分配的结果差是 347，两次分配的数差是 871 种树人数是：717（人）树苗总数是：87353（人）解法一：（34）（87）71 7（人）87353（棵）答：参加种树的人数是 7 人，这批树苗共有 53 棵。=解法二：这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为 X 人，根据第一种分法的树苗总棵数第二种分法的树苗总棵数，列方程解。解：设种树人数为 X 人，列方程得 8X37X4 8X7X43

21、X7 87353（棵）答：（略）=2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分 6 个，则少 10 个，每人分 4 个，还少2 个。有多少小朋友？有多少个苹果？分析：两次分配都不足，则两次不足数量差就是两次分配的结果差，结果差分配差人数 解：（102）（64）82 4（人）641014（个）答：有 4 个小朋友，有 14 个苹果。=3、学校安排新生住宿，若每间宿舍住 6 人，则多出 34 人；若每间宿舍住 7 人，则多出 4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？分析：每间住 6 人，多出 34 人，就是不足 34 张床位；每间住 7 人，多出 4 间宿舍，就是多出 7428 张床位。两次分配的

22、结果差就是（3428），结果差分配差宿舍 解：（3428）（76）621 62（间）66234406（人）答：住宿的学生共 406 人，宿舍有 62 间。=4、学生分练习本，其中两个人每人分 6 本，其余每人分 4 本，则多 2 本；如果有一个学生分 8 本，其余每人分 6 本，则不足 18 本。学生有多少人？练习本有多少本？分析：1、有两人分 6 本，其余每人分 4 本，余 2 本，若将分 6 本的这两人也分 4 本，那么这两人又每人余 2 本，共余 2226（本）。2、一个学生分 8 本，其余分 6 本，不足 18 本。若将分 8 本这个学生也同样分 6 本，则不足应是 18216（本）。

23、那么，两次分配的结果差是 16622（本），分配差是 642（本）结果差分配差人数 解：642（本）2226（本）862（本）18216（本）（166）（64）222 11（人）411650（本）答：学生有 11 人，练习本有 50 本。=5、一工人加工一批机器零件，限期完成，他计划每小时做 10 个，还差 3 个零件完成任务，每小时做 11 个，恰好限期内完成了任务。他加工的零件是多少个？限几小时完成？分析：每小时做 10 个，差 3 个，每小时做 11 个，恰好完成，那么，两次分配的结果差是 3个，两次分配的数差是 11101（个）。根据，结果差分配差限时数 解：3（1110）31 3（小

24、时）103333（个）答：他加工的零件是 33 个，限 3 小时完成。解法二：设限 X 小时完成，根据第一种分法和第二种分法零件个数相等，列方程得 11X10X3 11X10X3 X3 11333（个）=答：（略）第六章流水问题 解题关键：船速：船在静水中航行速度；水速：水流动的速度；顺水速度：顺水而下的速度船速水速；逆水速度：逆流而上的速度船速水速。流水问题具有行程问题的一般性质，即 速度、时间、路程。可参照行程问题解法。1、一只油轮，逆流而行，每小时行 12 千米，7 小时可以到达乙港。从乙港返航需要 6 小时，求船在静水中的速度和水流速度？分析：逆流而行每小时行 12 千米，7 小时时到

25、达乙港，可求出甲乙两港路程：12784（千米），返航是顺水，要 6 小时，可求出顺水速度是：84614（千米），顺速逆速2个水速，可求出水流速度（1412）21（千米），因而可求出船的静水速度。解：（127612）2 22 1（千米）12113（千米）答：船在静水中的速度是每小时 13 千米，水流速度是每小时 1 千米。=2、某船在静水中的速度是每小时 15 千米，河水流速为每小时 5 千米。这只船在甲、乙两港之间往返一次，共用去 6 小时。求甲、乙两港之间的航程是多少千米？分析：1、知道船在静水中速度和水流速度，可求船逆水速度 15510（千米），顺水速度15520（千米）。2、甲、乙两港路

26、程一定，往返的时间比与速度成反比。即速度比 是 10201：2，那么所用时间比为 2：1。3、根据往返共用 6 小时，按比例分配可求往返各用的时间，逆水时间为 6（21）24（小时），再根据速度乘以时间求出路程。解：（155）：（155）1：2 6（21）2 632 4（小时）（155）4 104 40（千米）答：甲、乙两港之间的航程是 40 千米。=3、一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行 24 千米，到达乙地后，又从乙地返回甲地，比逆水航行提前 2.5 小时到达。已知水流速度是每小时 3 千米，甲、乙两地间的距离是多少千米？分析：逆水每小时行 24 千米，水速每小时 3 千米，那么顺水

27、速度是每小时 243230（千米），比逆水提前 2.5 小时，若行逆水那么多时间，就可多行 302.575（千米），因每小时多行 326（千米），几小时才多行 75 千米，这就是逆水时间。解：243230（千米）24 302.5（32）24 302.56 2412.5 300（千米）答：甲、乙两地间的距离是 300 千米。=4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行要 8 小时行完全程，逆水航行要 10 小时行完全程。已知水流速度是每小时 3 千米，求甲、乙两码头之间的距离？分析：顺水航行 8 小时，比逆水航行 8 小时可多行 6848（千米），而这 48 千米正好是逆水（108）小时所行的

28、路程，可求出逆水速度 4 8224（千米），进而可求出距离。解：328（108）3282 24（千米）2410240（千米）答：甲、乙两码头之间的距离是 240 千米。解法二：设两码头的距离为“1”，顺水每小时行 1/8，逆水每小时行 1/10，顺水比逆水每小时快1/81/10，快 6 千米，对应。32（1/81/10）61/40 24 0（千米）答：（略）5、某河有相距 12 0 千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂浮而下，5 分钟后，与甲船相距 2 千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相遇？分析：从甲

29、船落下的漂浮物，顺水而下，速度是“水速”，甲顺水而下，速度是“船速水速”，船每分钟与物相距：（船速水速）水速船速。所以 5 分钟相距 2 千米是甲的船速 5601/12（小时），21/1224（千米）。因为，乙船速与甲船速相等，乙船逆流而行，速度为 24水速，乙船与漂浮物相遇，求相遇时间，是相遇路程 120 千米，除以它们的速度和（24水速）水速24（千米）。解：120 2（560）12024 5（小时）答：乙船出发 5 小时后，可与漂浮物相遇。第七章、平均问题 解题关键：根据已知条件确定“总数量”和“总份数”而且必须使“总数量”和“总份数”相对应。然后用 总数量总份数平均数 1、小明从甲地到

30、乙地办事，去时由于上山，每小时走 3 千米，回来时下山，每小时走 5 千米，他往返甲乙两地的平均速度是多少千米？分析：求平均速度应是“总路程总时间平均速度”。这道题没有告诉甲乙两地路程，我们假设它“1”，那么，去时走的时间应为 13 1/3，回来时用的时间应为 151/5，往返甲乙两地的总路程应为 12，总时间为(1/3+1/5)。解：设甲乙两地的路程为“1”2(1/3+1/5)2 8/15 3.75(千米)答：他往返甲乙两地的平均速度是 3.75 千米。2、某班有 40 名学生，一次数学考试，有 2 名同学因故缺考，这时班级平均分数是 88 分，缺考的两名同学补考各得 98 分，这个班这次考

31、试平均分数是多少？分析：求这个班这次考试平均分数，就是求全班 40 名同学的平均分。根据题意，考试时 40名同学，有 2 个缺考，就是 38 名同学的平均分 88 分，他们的总分是 88(402)，缺考的 2 名同学补考各得 98 分，他俩的总分是 982，那么全班 40 名同学的总分应是 88(402)982，根据 总数量总份数平均数 解：88(402)98240 3344916 40 354040 88.5(分)答：这个班这次考试平均分数是 88.5 分。3、有六个数，其平均数是 8.5，前四个数的平均数是 9.25，后三个数的平均数是 10，第四个数是多少？分析：六个数的平均数是 8.5

32、，那么，六个数的总和是 8.5651 前四个数的平均数 9.25，那么，前四个数的总和是 9.25437 后三个数的平均数是 10，那么后三个数的总和是 10330 如果将前四个数的总和后三个数的总和，恰 好重叠了第四个数，比六个数的总和多第四个数。解：(9.254103 )8.56 6751 16 答：第四个数是 16。4、有红、黄、白三种 颜色的乒乓球，已知红、黄两种球平均 11 个；黄、白两种球平均 8个；红、白两种球平均 9 个。三种球各多少个？分析：由红、黄两种球平均 11 个，得红、黄两种球和为 11222(个)由黄、白两种球平均 8 个，得黄、白两种球和为 8216(个)由红、白

33、两种球平均 9 个，得红、白两种球和为 9218(个)那么，22161856 (个)是三种球总和的 2 倍，将 56228(个)就得到红、黄、白三种球的和，再将这三种球的和减去任意两种球的和，可得得到第三种球的个数。解：(1128292)2 562 28(个)白球：281126(个)红球：288212(个)黄球：289210(个)答：红球 12 个，黄球 10 个，白球 6 个。第八章、相遇问题 解题指导：“相遇问题”(或相背问题)是两个物体以不同的速度从两地同时出发，(或从一地同时相背而行)，经若干小时上遇(或相离)。我们若把两物体速度之和称之为“速度和”，从同时出发到相遇(或相距)时止，这

34、段时间叫“相遇时间”；两物体同时走的这段路程 叫“相遇路程”，那么，它们的关系式是：速度和相遇时间相遇路程 相遇路程速度和相遇时间 相遇路程相遇时间速度和 1、甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两地相对开出，甲车每小时行 42.5 千米，乙车每小时行38 千米，4 小时后，两车还相距 35.5 千米，求 A、B 两地的距离？分析：从题中已知甲乙两车的速度，它们速度和是 42.53880.5(千米)相遇时间是 4 小时，相遇路程可。A、B 两地的距离是：相遇路程 还相距的 35.5 千米 解：(42.538)435.5 80.5435.5 32235.5 357.5(千米)答：A、B 两地的距离是

35、357.5 千米。2、一辆货车和一辆客车同时从相距 299 千米的两地相向而行，货车每小时行 40 千米，客车每小时行 52 千米，问：几小时后两车第一次相距 69 千米？再过多少时间两车再次相距69 千米？分析：从题意可知，第一次相距 69 千米，就是两车还没有相遇，还差 69 千米，相遇路程应是 29969，根据相遇路程速度和相遇时间，即 230(4052)2.5(小时)。第二次相距 69 千米，是在行完第一次相距的 69 千米相遇后，到再相离 69 千米，实际共行2 个 69 千米。根据：路程速度和时间 可解。解：(29969)(4052)23092 2.5(小时)(692)(4052)

36、13892 1.5(小时)答：2.5 小时后两车第一次相距 69 千米，再过 1.5 小时两车再次相距 69 千米。第九章、追及问题 解题关键：追及问题是两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”。关系式是：追及的路程速度差追及时间 1、A、B 两地相距 28 千米，甲乙两车同时分别从 A、B 两地同一方向开出，甲车每小时行32 千米，乙车每小时行 25 千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？分析：根据题意可知要追及的路程是 28 千米，每行 1 小时，甲车可追上 32257

37、千米 即速度差。看 28 千里面有几个 7 千米，就要几小时追上。也就是：追及的路程速度差追及时间 解：28(3225)287 4(小时)答：4 小时后甲车能追上乙车。2、两辆汽车都从甲地开往乙地，第一辆车以每小时 30 千米的速度从甲地开出，第二辆车晚开 12 分钟，以每小时 40 千米的速度从甲地开出，结果两车同时到达乙地。求甲乙两地的路程？分析：从题意可知两车从同一地出发，第二辆车晚开 12 分钟，也就是第一辆车出发 12 分钟后，第二辆车才出发，那么，追及的路程是第一辆 12 分钟所行的路程，即 30 6(千米)。两车同时到达乙地，也就是第二辆车刚好追上第一辆车，追及的时间就是第二辆车

38、从甲地到乙地行驶的时间。即 6(4030)0.6(小时)，已知速度和时间，甲乙两地的距离可求。解：3012/60 6(千米)6(40 30)0.6(小时)400.624(千米)答：甲乙两地的路程是 24 千米。3、甲乙二人在周长 600 米的水池边上玩，两人从一点出发，同向而行 30 分钟后又走到一起，背向而行 4 分钟相遇。求两人每分钟各行多少米？分析：两人从一点出发同向而行，速度有快、有慢，形成前后，从出发到再次走到一起，看作追及问题，追及的路程是 600 米，追及的时间 30 分钟，根据“追及的路程追及的时间速度差”，可求出速度差是 6003020(米)。又背向而行 4 分钟相遇，属相遇

39、问题，相遇的路程是 600 米，相遇时间是 4 分分钟，根据“相遇路程相遇时间速度和”，可求出速度和是 6004150(米)。然后根据“和差问题”(和差)2大数，(和差)2小数，可求出两人的速度。解：6003020(米)6004150 (米)(20150)285(米)(15020)265(米)答：甲每分钟行 85 米，乙每分钟行 65 米。4、甲骑自行车行 12 分钟后，乙骑摩托车去追他，在距出发点 9 千米处追上了甲。乙立即返回出发点拿东西，后又立即返回去追甲，再追上甲时恰好离出发点 18 千米。求甲、乙的速度？分析：甲行 9 千米，乙则行了 91827(千米)，即 乙的速度是甲的 2793

40、(倍)那么，从乙出发到第一次追上甲时，乙行 9 千米，甲应只行 933(千米)，可求出甲先行 12 分钟的路程应是 936(千米)，从而可求出甲速度是 6120.5(千米)，由此可求出乙速度。解：(918)93(倍)933(千米)936(千米)6120.5(千米)甲每分钟行的路程 0.531.5(千米)乙每分钟行的路程 答：甲每分钟行 0.5 千米，乙每分钟行 1.5 千米。第十章、时钟问题 解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为 12 大格，按“分”分为 60 小格。每小时，时针走 1 大格合 5 小格，分针走 12 大格合 60 小格，时针的转速是分针的 1/12，

41、两针速度差是分针的速度的 11/12，分针每小时可追及 11/12。1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向 12，时针指向 2，分针在时针后 5210（小格）。而分针每分钟可追及 11/1211/12（小格），要两针重合，分针必须追上 10 小格，这样所需要时间应为（1011/12）分钟。解：（52）（11/12）1011/1210+10/11（分）答：2 点 10+10/11 分时，两针重合。2、在 4 点钟至 5 点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差 30 小格。在 4 点钟的时候，分针指向 12，时针

42、指向 4，分针在时针后 5420（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20 小格）并超过时针（30 小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（2030）小格。解：（5430）（11/12）5011/1254+4/11（分）答：在 4 点 54+4/11 分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差 15 小格（或在前或在后），一点时分针在时针后 515小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5115）小格或追及（5145）小格。解：（5115）（11/12）2011/1221+9/

43、11（分）或（5145）（11/12）5011/1254+6/11（分）答：在 1 点 21+9/11 分和 1 点 54+6/11 分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午 12 点以后。12 点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（030）（11/12）3011/1232+8/11（

44、分）即 12点 32+8/11 分。第二次成一条直线时刻是：（5130）（11/12）3511/1238+2/11（分）即 1点 38+2/11 分。第三次成一条直线的时刻是：（5230）（11/12）4011/1243+7/11（分）即2 点 43+7/11 分。如果从 12 点 32+8/11 分开始，到 1 点 38+2/11 分，只敲 2 下，到 2 点 43+7/11 分，就共敲 5 下（不合题意）如果从 1 点 38+2/11 分开始到 2 点 43+7/11 分，共敲 3 下。因此，小明应从 1 点 38+2/11分开始看书，到 2 点 43+7/11 分时结束的。5、一只挂钟，

45、每小时慢 5 分钟，标准时间中午 12 点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午 5 点 30 分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到 5 点 30 分？分析：1、这钟每小时慢 5 分钟，也就是当标准钟走 60 分时，这挂钟只能走 60555（分），即速度是标准钟速度的 55/6011/12。2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5（17+1/212）27+1/2（分），也就是此挂钟要差 27+1/2 分才到 5 点 30 分。3、此挂钟走到 5 点 30 分，按标准时间还要走 27+1/2 分，因它的速度是标准时钟速度的 1/12，实际走完这 27+1/

46、2 分所要时间应是（27+1/2）11/12。解：5（17+1/212）27+1/2（分）（27+1/2）11/1230（分）答：再经过 30 分钟，该挂钟才能走到 5 点 30 分。第十一章、工程问题 解题指导：“工程问题”指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等。解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。工程问题睥关系式是：工作总量工作效率工作时间 或：工作总量工作效率和合作的时间 1、加工 360 个零件，单独完成这批任务，甲需要 20 天，乙需要 30 天，两人共同工

47、作，需要多少天能完成任务？分析：加工 360 个零件，单独完成，甲需 20 天，甲的工作效率是 3602018(个)，乙需要 30 天，乙的工作效率是 3603012(个)，两人合作，那么工作效率和是 181230(个)。根据：工作总量工作效率和合做的工作时间，即 3603012(天)解：360(3602036030)36030 12(天)答：需要 12 天能完成任务。或：如果把工作总量 360 个看作单位“1”，那么，甲的工作效率是 1/20，乙的工作效率是 1/30 他们的工作效率和是 1/201/30，根据：工作总量工作效率和合做的工作时间 1(1/201/30)11/12 12(天)2

48、、一项工程，由甲队单独工作需要 15 天完成，由乙队单独工作需要 12 天完成，由丙队单独工作需要 10 天完成。现在由甲乙两个工程共同工作了 3 天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？分析：这一项工程看作单位“1”，甲队单独工作需 15 天完成，工效应是 1/15，乙队单独工作需要 12 天完成，乙工效应是 1/12，丙队单独工作需 10 天完成，丙队工效应是 1/10，现由甲乙两队先共同工作 3 天，可完成这项工程的(1/151/12)39/20，还剩下 19/2011/20，剩下的由丙队去完成，需要的天数是 11/201/10 解：1（1/151/12）3 1/

49、10 19/201/10 11/201/10 5.5（天）答：丙队还需要工作 5.5（天）3、一个水池安装甲、乙两个进水管和丙放水管，单开甲管 4 小时能把空池注满水，单开乙管 5 小时能把空池注满水，单开丙管 3 小时能把满池水放完。现在三管同时打开，几小时能把空池注满？分析：把一池水看作单位“1”，单开甲管 4 小时能注满，甲效是 1/4，单开乙管 5 小时能注满，乙效是 1/5，单开丙管 3 小时能放完，丙效是 1/3。三管同时打开，因甲、乙是进水管，使水增加，丙是放水管，使水减少，那么，三管齐开的工作效率和是 1/41/51/3，工作时间可求。解：1(1/41/51/3)17/608+

50、4/7(小时)答：三管同时打开 8+4/7 小时能注满水池。4、一项工程，甲单独干需要 20 天，乙单独干需要 30 天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了 3 天事假，后因公事出差 2 天。求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？分析：甲单独干需要 20 天，甲的工作效率是 1/20，乙单独干需要 30 天，乙的工作效率1/30。又甲工作途中请了 3 天事假，出差 2 天，而乙从开工到完工一直在干，那么，甲走5 天时，乙是单独干了 5 天，其余天数是甲乙合干的。即从工程总量中减去乙独干的 5 天工作量，余下的合干的。合干的天数乙单独干的 5 天完成工程共花的天数。解：(11/3