中考300压轴题第7部分抛物线之相似.pdf

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1、抛物线之相似 1 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y=ax2+bx（a0），经过点 A 和 x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，AOB=120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标 3如图，已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（4，0）、B（1，0）、C（2，6）（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线解析式；（2）设直线 BC 交 y 轴于点 E，连接 AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与 y 轴交于点 D，连接 AD 交 BC 于点 F，试问以 A、B、F 为

2、顶点的三角形与ABC 相似吗？（4）若点 P 为直线 AE 上一动点，当 CP+DP 取最小值时，求 P 点的坐标 抛物线之相似 2 4如图，抛物线 y=ax2+b 与 x 轴交于点 A、B，且 A 点的坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（0，1）（1）求抛物线的解析式，并求出点 B 坐标；（2）过点 B 作 BDCA 交抛物线于点 D，连接 BC、CA、AD，求四边形 ABCD 的周长；（结果保留根号）（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 P，过点 P 作 PE 垂直于 x 轴，垂足为点 E，使以 B、P、E 为顶点的三角形与CBD 相似？若存在请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明

3、理由 5如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1），且与直线 y=x2 交于 B，C 两点（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）求证：ABC 是直角三角形；（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 抛物线之相似 3 6如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+x+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线 x=（1）求抛物线的解析式

4、；（2）M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点 M 作 MGx 轴于点 G，交 AC 于点 H，当线段 CM=CH时，求点 M 的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段 MG 绕点 G 顺时针旋转一个角 （0 90），在旋转过程中，设线段 MG与抛物线交于点 N，在线段 GA 上是否存在点 P，使得以 P、N、G 为顶点的三角形与ABC 相似？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 7如图，抛物线经过 A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点

5、的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标 抛物线之相似 4 8如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx28mx+4m+2（m0）与 y 轴的交点为 A，与 x 轴的交点分别为 B（x1，0），C（x2，0），且 x2x1=4，直线 ADx 轴，在 x 轴上有一动点 E（t，0）过点 E 作平行于 y轴的直线 l 与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P、Q（1）求抛物线的解析式；（2）当 0t8 时，求APC 面积的最大值；（3）当 t2 时，是否存在点 P，使

6、以 A、P、Q 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 9如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴是 x=且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B（1）直接写出点 B 的坐标；求抛物线解析式（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P的坐标（3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点 M 的坐标；若

7、不存在，请说明理由 抛物线之相似 5 10如图已知：直线 y=x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 的坐标为（1，0），在直线 y=x+3 上有一点 P，使ABO 与ADP 相似，求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由 11如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx（a0）经过 A（3，0）、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线

8、 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求 m 的值及点 D 的坐标；（3）如图 2，若点 N 在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点 P 坐标（点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应）抛物线之相似 6 12在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴的两个交点分别为 A（3，0）、B（1，0），过顶点 C作 CHx 轴于点 H（1）直接填写：a=，b=，顶点 C 的坐标为 ；（2）在 y 轴上是否存在点 D，使得ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；

9、（3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合），PQAC 于点 Q，当PCQ 与ACH相似时，求点 P 的坐标 13如图所示，直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B把AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、C 和 D（3，0）（1）求直线 BD 和抛物线的解析式（2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、D 为顶点的三角形与MCD 相似，求所有满足条件的点 N 的坐标（3）在抛物线上是否存在点 P，使 SPBD=6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 抛物线之相似 7 1

10、4如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过 A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）E 为抛物线上一动点，是否存在点 E，使以 A、B、E 为顶点的三角形与COB 相似？若存在，试求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线 BC 平移，使其经过点 A，且与抛物线相交于点 D，连接 BD，试求出BDA 的度数 15已知抛物线 y=x2+c 与 x 轴交于 A（1，0），B 两点，交 y 轴于点 C （1）求抛物线的解析式；（2）点 E（m，n）是第二象限内一点，过点 E 作 EFx 轴交抛物线于点 F，过点 F 作 FGy 轴于点 G

11、，连接 CE、CF，若CEF=CFG求 n 的值并直接写出 m 的取值范围（利用图 1 完成你的探究）（3）如图 2，点 P 是线段 OB 上一动点（不包括点 O、B），PMx 轴交抛物线于点 M，OBQ=OMP，BQ 交直线 PM 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，求PBQ 的周长 抛物线之相似 8 16如图，在平面直角坐标系中，顶点为 A（1，1）的抛物线经过点 B（5，3），且与 x 轴交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）求点 O 到直线 AB 的距离；（3）点 M 在第二象限内的抛物线上，点 N 在 x 轴上，且MND=OAB，当DMN 与OA

12、B 相似时，请你直接写出点 M 的坐标 17如图，已知抛物线 y=（x+2）（xm）（m0）与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，且点 A在点 B 的左侧（1）若抛物线过点 G（2，2），求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：求出ABC 的面积；在抛物线的对称轴上找一点 H，使 AH+CH 最小，并求出点 H 的坐标；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点 M，使得以点 A、B、M 为顶点的三角形与ACB 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 抛物线之相似 9 18已知抛物线 y=x22mx+m2+m1（m 是常数）的顶点为 P，直线 l：y=x1（

13、1）求证：点 P 在直线 l 上；（2）当 m=3 时，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，与直线 l 的另一个交点为 Q，M 是 x轴下方抛物线上的一点，ACM=PAQ（如图），求点 M 的坐标；（3）若以抛物线和直线 l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m 的值 19如图，已知抛物线 y=（x+2）（x4）与 x 轴交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，CDx 轴交抛物线于点 D，M 为抛物线的顶点（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）设动点 N（2，n），求使 MN+BN 的值最小时 n 的值；（

14、3）P 是抛物线上一点，请你探究：是否存在点 P，使以 P、A、B 为顶点的三角形与ABD 相似（PAB与ABD 不重合）？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 抛物线之相似 10 20设抛物线的解析式为 y=ax2，过点 B1（1，0）作 x 轴的垂线，交抛物线于点 A1（1，2）；过点 B2（，0）作 x 轴的垂线，交抛物线于点 A2；过点 Bn（）n1，0）（n 为正整数）作 x 轴的垂线，交抛物线于点 An，连接 AnBn+1，得 RtAnBnBn+1（1）求 a 的值；（2）直接写出线段 AnBn，BnBn+1的长（用含 n 的式子表示）；（3）在系列 RtAnBnBn+1

15、中，探究下列问题：当 n 为何值时，RtAnBnBn+1是等腰直角三角形？设 1kmn（k，m 均为正整数），问：是否存在 RtAkBkBk+1与 RtAmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由 21如图，直线 y=kx+b（b0）与抛物线相交于点 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与 x 轴正半轴相交于点 D，与 y 轴相交于点 C，设OCD 的面积为 S，且 kS+32=0（1）求 b 的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1 OB+y2 OA=0 抛物线之相似 11 22如图，在平面直角坐标中，点 O 为坐标原点，直线 y=x+4

16、 与 x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 y=ax2+bx与直线 y=x+4 交于另一点 B，且点 B 的横坐标为 1（1）求 a，b 的值；（2）点 P 是线段 AB 上一动点（点 P 不与点 A、B 重合），过点 P 作 PMOB 交第一象限内的抛物线于点 M，过点 M 作 MCx 轴于点 C，交 AB 于点 N，过点 P 作 PFMC 于点 F，设 PF 的长为 t，MN 的长为 d，求 d与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 SACN=SPMN时，连接 ON，点 Q 在线段 BP 上，过点 Q 作 QRMN 交 ON 于点 R，连接

17、 MQ、BR，当MQRBRN=45时，求点 R 的坐标 抛物线之相似 12 2.解：（1）过点 A 作 AEy 轴于点 E，AO=OB=2，AOB=120，AOE=30，OE=，AE=1，A 点坐标为：（1，），B 点坐标为：（2，0），将两点代入 y=ax2+bx 得：，解得：，抛物线的表达式为：y=x2x；（2）过点 M 作 MFOB 于点 F，y=x2x=（x22x）=（x22x+11）=（x1）2，M 点坐标为：（1，），tanFOM=，FOM=30，AOM=30+120=150；（3）当点 C 在 x 轴负半轴上时，则BAC=150，而ABC=30，此时C=0，故此种情况不存在；当点

18、 C 在 x 轴正半轴上时，AO=OB=2，AOB=120，ABO=OAB=30，AB=2EO=2，当ABC1AOM，=，MO=，=，解得：BC1=2，OC1=4，C1的坐标为：（4，0）；当C2BAAOM，=，=，解得：BC2=6，OC2=8，C2的坐标为：（8，0）综上所述，ABC 与AOM 相似时，点 C 的坐标为：（4，0）或（8，0）3.方法一：解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，由函数经过点 A（4，0）、B（1，0）、C（2，6），可得，解得：，故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为：y=x23x+4；（2）设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b，由题意得：，解

19、得：，即直线 BC 的解析式为 y=2x+2 故可得点 E 的坐标为（0，2），从而可得：AE=2，CE=2，故可得出 AE=CE；（3）相似理由如下：设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，则，解得：，即直线 AD 的解析式为 y=x+4 联立直线 AD 与直线 BC 的函数解析式可得：，抛物线之相似 13 解得：，即点 F 的坐标为（，），则 BF=，又AB=5，BC=3，=，=，=，又ABF=CBA，ABFCBA 故以 A、B、F 为顶点的三角形与ABC 相似 方法二：（1）略（2）略（3）若ABFABC，则，即 AB2=BFBC，A（4，0），D（0，4），lAD：y=x+4，lBC：

20、y=2x+2，lAD与 lBC的交点 F（，），AB=5，BF=，BC=3，AB2=25，BFBC=3=25，AB2=BFBC，又ABC=ABC，ABFABC（4）由（3）知：KAE=，KCE=2，KAEKCE=1，AECE，过 C 点作直线 AE 的对称点 C，点 E 为 CC 的中点，C（2，6），E（0，2），CX=2，CY=2，D（0，4），lC D：y=3x+4，lAE：y=x+2，lC D与 lAE的交点 P（，）抛物线之相似 14 4.方法一：解：（1）点 A（1，0）和点 C（0，1）在抛物线 y=ax2+b 上，解得：a=1，b=1，抛物线的解析式为：y=x2+1，抛物线的对

21、称轴为 y 轴，则点 B 与点 A（1，0）关于 y 轴对称，B（1，0）（2）设过点 A（1，0），C（0，1）的直线解析式为 y=kx+b，可得：，解得 k=1，b=1，y=x+1 BDCA，可设直线 BD 的解析式为 y=x+n，点 B（1，0）在直线 BD 上，0=1+n，得 n=1，直线 BD 的解析式为：y=x1 将 y=x1 代入抛物线的解析式，得：x1=x2+1，解得：x1=2，x2=1，B 点横坐标为1，则 D 点横坐标为 2，D 点纵坐标为 y=21=3，D 点坐标为（2，3）如答图 所示，过点 D 作 DNx 轴于点 N，则 DN=3，AN=1，BN=3，在 RtBDN

22、中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；在 RtADN 中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；又 OA=OB=OC=1，OCAB，由勾股定理得：AC=BC=；四边形 ABCD 的周长为：AC+BC+BD+AD=+=+（3）假设存在这样的点 P，则BPE 与CBD 相似有两种情形：（I）若EPBBDC，如答图 所示，则有，即，PE=3BE 设 OE=m（m0），则 E（m，0），BE=1m，PE=3BE=33m，点 P 的坐标为（m，33m）点 P 在抛物线 y=x2+1 上，33m=（m）2+1，解得 m=1 或 m=2，当 m=1 时，点 E 与点 B 重合，故舍去；当 m=2 时

23、，点 E 在 OB 左侧，点 P 在 x 轴下方，不符合题意，故舍去 因此，此种情况不存在；（II）若EBPBDC，如答图 所示，则有，即，BE=3PE 设 OE=m（m0），则 E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，点 P 的坐标为（m，+m）点 P 在抛物线 y=x2+1 上，+m=（m）2+1，解得 m=1 或 m=，m0，故 m=1 舍去，m=，点 P 的纵坐标为：+m=+=，点 P 的坐标为（，）综上所述，存在点 P，使以 B、P、E 为顶点的三角形与CBD 相似，点 P 的坐标为（，）方法二：（1）略（2）A（1，0），C（0，1），lAC：y=x+1，BDCA

24、，KBD=KAC=1，lBD：y=x1，抛物线之相似 15，x1=2，x2=1（舍），D（2，3），AC=，CB=，BD=3，DA=，四边形 ABCD 的周长为：5+（3）C（0，1），B（1，0），KBC=1，KBD=1，KBCKBD=1，BDBC，若EPBBDC，则或，设点 P（t，t2+1），E（t，0），B（1，0），PE=PY=t2+1，BE=EXBX=t+1，BD=3，CB=，t=2（此时点 P 位于 x 轴下方，故舍去），t=，P（，）抛物线之相似 16 5.解：（1）顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为 y=a（x1）2+1，又抛物线过原点，0=a（01）2+1，解得 a=1

25、，抛物线解析式为 y=（x1）2+1，即 y=x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，B（2，0），C（1，3）；（2）如图，分别过 A、C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 D、E 两点，则 AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45，即ABC=90，ABC 是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点 N，设 N（x，0），则 M（x，x2+2x），ON=|x|，MN=|x2+2x|，由（2）在 RtABD 和 RtCEB 中，可分别求得 AB=，BC=3，MNx 轴于点 N ABC=MNO=90，当ABC 和MNO 相似时有=或=，当=时，

26、则有=，即|x|x+2|=|x|，当 x=0 时 M、O、N 不能构成三角形，x0，|x+2|=，即x+2=，解得 x=或 x=，此时 N 点坐标为（，0）或（，0）；当=时，则有=，即|x|x+2|=3|x|，|x+2|=3，即x+2=3，解得 x=5 或 x=1，此时 N 点坐标为（1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（5，0）抛物线之相似 17 6.解：（1）x=，b=，a=，把 A（4，0），a=代入 y=ax2+x+c，可得（）42+4+c=0，解得 c=2，则抛物线解析式为 y=x2+x+2（2）如图 1，连接 CM，过 C

27、 点作 CEMH 于点 E，y=x2+x+2，当 x=0 时，y=2，C 点的坐标是（0，2），设直线 AC 解析式为 y=kx+b（k0），把 A（4，0）、C（0，2）代入 y=kx+b，可得，解得：，直线 AC 解析式为 y=x+2，点 M 在抛物线上，点 H 在 AC 上，MGx 轴，设点 M 的坐标为（m，m2+m+2），H（m，m+2），MH=m2+m+2（m+2）=m2+2m，CM=CH，OC=GE=2，MH=2EH=2 2（m+2）=m，又MH=m2+2m，m2+2m=m，即 m（m2）=0，解得 m=2 或 m=0（不符合题意，舍去），m=2，当 m=2 时，y=22+2+2

28、=3，点 M 的坐标为（2，3）（3）存在点 P，使以 P，N，G 为顶点的三角形与ABC 相似，理由为：抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，A（4，0），A、B 两点关于直线 x=成轴对称，B（1，0），AC=2，BC=，AB=5，AC2+BC2=+=25，AB2=52=25，AC2+BC2=AB2=25，ABC 为直角三角形，ACB=90，线段 MG 绕 G 点旋转过程中，与抛物线交于点 N，当 NPx 轴时，NPG=90，设 P 点坐标为（n，0），则 N 点坐标为（n，n2+n+2），如图 2，当=时，N1P1G=ACB=90，N1P1GACB，=，解得：n1=3，n2=4（不符合题意

29、，舍去），P 的坐标为（3，0）当=时，N2P2G=BCA=90，N2P2GBCA，解得：n1=1，n2=1（不符合题意，舍去），P 的坐标为（1+，0）存在点 P（3，0）或（1，0），使以 P，N，G 为顶点的三角形与ABC 相似 抛物线之相似 18 7.解：（1）该抛物线过点 C（0，2），设该抛物线的解析式为 y=ax2+bx2将 A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，此抛物线的解析式为 y=x2+x2（2）存在如图，设 P 点的横坐标为 m，则点 P 的纵坐标为，当 1m4 时，AM=4m，PM=，又COA=PMA=90，当=2 时，APMACO，=2，即|4m|=2（），4m=

30、m2+5m4，m26m+8=0，（m2）（m4）=0，解得：m1=2，m2=4（舍去）P（2，1）当，APMCAO，那么有：2|4m|=，2（4m）=m2+m2，m29m+20=0，（m4）（m5）=0，解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），当 1m4 时，P（2，1），类似地可求出当 m4 时，P（5，2），当 m1 时，P（3，14），当 P，C 重合时，APMACO，P（0，2）综上所述，符合条件的点 P 为（2，1）或（5，2）或（3，14）或（0，2）；（3）如图，设 D 点的横坐标为 t（0t4），则 D 点的纵坐标为t2+t2 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E 由题

31、意可求得直线 AC 的解析式为 y=x2E 点的坐标为（t，t2）DE=t2+t2（t2）=t2+2tSDAC=（t2+2t）4=t2+4t=（t2）2+4 当 t=2 时，DAC 面积最大D（2，1）抛物线之相似 19 8.解：（1）由题意知 x1、x2是方程 mx28mx+4m+2=0 的两根，x1+x2=8，由解得：B（2，0）、C（6，0）则 4m16m+4m+2=0，解得：m=，该抛物线解析式为：y=；（2）可求得 A（0，3）设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，直线 AC 的解析式为：y=x+3，要构成APC，显然 t6，分两种情况讨论：当 0t6 时，设直线 l 与 AC 交

32、点为 F，则：F（t，），P（t，），PF=，SAPC=SAPF+SCPF=，此时最大值为：，当 6t8 时，设直线 l 与 AC 交点为 M，则：M（t，），P（t，），PM=，SAPC=SAPMSCPM=，当 t=8 时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当 0t8 时，APC 面积的最大值为 12；（3）方法一：如图，连接 AB，则AOB 中，AOB=90，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），当 2t8 时，AQ=t，PQ=，若：AOBAQP，则：，即：，t=0（舍），或 t=，若AOBPQA，则：，即：，t=0（舍）或 t=2（舍），当 t8 时，AQ=t，PQ=，若：AO

33、BAQP，则：，即：，t=0（舍），或 t=，若AOBPQA，则：，即：，t=0（舍）或 t=14，方法二：若以 A、P、Q 为顶点的三角形与AOB 相似，则或，设 P（t，）（t2）Q（t，3）|=，|=，t1=2（舍），t2=14，|=，|=，t1=，t2=，抛物线之相似 20 9.解：（1）y=当 x=0 时，y=2，当 y=0 时，x=4，C（0，2），A（4，0），由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x=对称，点 B 的坐标为 1，0）抛物线 y=ax2+bx+c 过 A（4，0），B（1，0），可设抛物线解析式为 y=a（x+4）（x1），又抛物线过点 C（0，2），2=

34、4aa=y=x2x+2（2）设 P（m，m2m+2）过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q，Q（m，m+2），PQ=m2m+2（m+2）=m22m，SPAC=PQ4，=2PQ=m24m=（m+2）2+4，当 m=2 时，PAC 的面积有最大值是 4，此时 P（2，3）（3）方法一：在 RtAOC 中，tanCAO=在 RtBOC 中，tanBCO=，CAO=BCO，BCO+OBC=90，CAO+OBC=90，ACB=90，ABCACOCBO，如图：当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时，MANBAC；根据抛物线的对称性，当 M（3，2）时，MANABC；当点 M 在第四象限时，设 M

35、（n，n2n+2），则 N（n，0）MN=n2+n2，AN=n+4 当时，MN=AN，即n2+n2=（n+4）整理得：n2+2n8=0 解得：n1=4（舍），n2=2 M（2，3）；当时，MN=2AN，即n2+n2=2（n+4），整理得：n2n20=0 解得：n1=4（舍），n2=5，M（5，18）综上所述：存在 M1（0，2），M2（3，2），M3（2，3），M4（5，18），使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似 方法二：A（4，0），B（1，0），C（0，2），KACKBC=1，ACBC，MNx 轴，若以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似，则，设 M（2t，2t23

36、t+2），N（2t，0），|=，|=，2t1=0，2t2=2，抛物线之相似 21|=，|=2，2t1=5，2t2=3，综上所述：存在 M1（0，2），M2（3，2），M3（2，3），M4（5，18），使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似 10.解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）抛物线经过 A、B、C 三点，把 A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入 y=ax2+bx+c，得方程组解得：抛物线的解析式为 y=x24x+3 （2）由题意可得：ABO 为等腰三角形，如答图 1 所示，若ABOAP1D，则 DP1=AD=4，P1（1，4）若ABOADP2，过点

37、P2作 P2 Mx 轴于 M，AD=4，ABO 为等腰三角形，ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点 M 与点 C 重合，P2（1，2）综上所述，点 P 的坐标为 P1（1，4），P2（1，2）；（3）不存在理由：如答图 2，设点 E（x，y），则 SADE=当 P1（1，4）时，S四边形AP1CE=SACP1+SACE=4+|y|2|y|=4+|y|，|y|=4 点 E 在 x 轴下方，y=4，代入得：x24x+3=4，即 x24x+7=0，=（4）247=120此方程无解 当 P2（1，2）时，S四边形AP2CE=SACP2+SACE=2+|y|，2|y|=2+

38、|y|，|y|=2 点 E 在 x 轴下方，y=2，代入得：x24x+3=2，即 x24x+5=0，=（4）245=40此方程无解 综上所述，在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 E 抛物线之相似 22 11.解：（1）抛物线 y=ax2+bx（a0）经过 A（3，0）、B（4，4）将 A 与 B 两点坐标代入得：，解得：，抛物线的解析式是 y=x23x（2）设直线 OB 的解析式为 y=k1x，由点 B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1 直线 OB 的解析式为 y=x，直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为：y=xm，点 D 在抛物线 y=x23x 上，可设 D（x，x2

39、3x），又点 D 在直线 y=xm 上，x23x=xm，即 x24x+m=0，抛物线与直线只有一个公共点，=164m=0，解得：m=4，此时 x1=x2=2，y=x23x=2，D 点的坐标为（2，2）（3）直线 OB 的解析式为 y=x，且 A（3，0），点 A 关于直线 OB 的对称点 A 的坐标是（0，3），根据轴对称性质和三线合一性质得出A BO=ABO，设直线 A B 的解析式为 y=k2x+3，过点（4，4），4k2+3=4，解得：k2=，直线 A B 的解析式是 y=，NBO=ABO，A BO=ABO，BA 和 BN 重合，即点 N 在直线 A B 上，设点 N（n，），又点 N

40、在抛物线 y=x23x 上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合题意，舍去）N 点的坐标为（，）方法一：如图 1，将NOB 沿 x 轴翻折，得到N1OB1，则 N1（，），B1（4，4），O、D、B1都在直线 y=x 上 P1ODNOB，NOBN1OB1，P1ODN1OB1，点 P1的坐标为（，）将OP1D 沿直线 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2（，），方法二：如图 2，将NOB 绕原点顺时针旋转 90，得到N2OB2，则 N2（，），B2（4，4），O、D、B1都在直线 y=x 上 P1ODNOB，NOBN2OB2，P1ODN2OB2，点 P1的坐标为（，）将OP1D 沿直线

41、 y=x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2（，），方法三：直线 OB：y=x 是一三象限平分线，A（3，0）关于直线 OB 的对称点为 A（0，3），得：x1=4（舍），x2=，N（，），D（2，2），lOD：y=x，lOD：y=x，ODOB，PODNOB，N（，）旋转 90后 N1（，）或 N 关于 x 轴对称点 N2（，），OB=4，OD=2，P 为 ON1或 ON2中点，P1（，），P2（，）抛物线之相似 23 12.解：（1）a=1，b=2，顶点 C 的坐标为（1，4）；（2）假设在 y 轴上存在满足条件的点 D，过点 C 作 CEy 轴于点 E 由CDA=90得，1+2=90又2+

42、3=90，3=1又CED=DOA=90，CEDDOA，设 D（0，c），则变形得 c24c+3=0，解之得 c1=3，c2=1 综合上述：在 y 轴上存在点 D（0，3）或（0，1），使ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形 （3）若点 P 在对称轴右侧（如图），只能是PCQCAH，得QCP=CAH 延长 CP 交 x 轴于 M，AM=CM，AM2=CM2 设 M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，m=2，即 M（2，0）设直线 CM 的解析式为 y=k1x+b1，则，解之得，直线 CM 的解析式 联立，解之得或（舍去）若点 P 在对称轴左侧（如图），只能是PCQACH，得PCQ=

43、ACH 过 A 作 CA 的垂线交 PC 于点 F，作 FNx 轴于点 N 由CFACAH 得，由FNAAHC 得 AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则 AH=2，点 F 坐标为（5，1）设直线 CF 的解析式为 y=k2x+b2，则，解之得 直线 CF 的解析式联立，解之得或（舍去）满足条件的点 P 坐标为或 抛物线之相似 24 13.解：（1）直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，A（1，0），B（0，3）；把AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，C（1，0）设直线 BD 的解析式为：y=kx+b，点 B（0，3），D（3，0）在直线 BD 上，解

44、得 k=1，b=3，直线 BD 的解析式为：y=x+3 设抛物线的解析式为：y=a（x1）（x3），点 B（0，3）在抛物线上，3=a（1）（3），解得：a=1，抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3（2）抛物线的解析式为：y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，1）直线 BD：y=x+3 与抛物线的对称轴交于点 M，令 x=2，得 y=1，M（2，1）设对称轴与 x 轴交点为点 F，则 CF=FD=MF=1，MCD 为等腰直角三角形 以点 N、B、D 为顶点的三角形与MCD 相似，BND 为等腰直角三角形 如答图 1 所示：（I）若 BD

45、为斜边，则易知此时直角顶点为原点 O，N1（0，0）；（II）若 BD 为直角边，B 为直角顶点，则点 N 在 x 轴负半轴上，OB=OD=ON2=3，N2（3，0）；（III）若 BD 为直角边，D 为直角顶点，则点 N 在 y 轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N3（0，3）满足条件的点 N 坐标为：（0，0），（3，0）或（0，3）（3）方法一：假设存在点 P，使 SPBD=6，设点 P 坐标为（m，n）（I）当点 P 位于直线 BD 上方时，如答图 2 所示：过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=n，DE=m3 SPBD=S梯形PEOBSBODSPDE=（3+n）m33（m3）

46、n=6，化简得：m+n=7 ，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入 式整理得：m23m4=0，解得：m1=4，m2=1，n1=3，n2=8，P1（4，3），P2（1，8）；（II）当点 P 位于直线 BD 下方时，如答图 3 所示：过点 P 作 PEy 轴于点 E，则 PE=m，OE=n，BE=3n SPBD=S梯形PEOD+SBODSPBE=（3+m）（n）+33（3n）m=6，化简得：m+n=1 ，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入 式整理得：m23m+4=0，=70，此方程无解故此时点 P 不存在 综上所述，在抛物线上存在点 P，使 SPBD=6，点 P 的坐标为（

47、4，3）或（1，8）方法二：假设存在点 P，使 SPBD=6，过点 P 作直线 l 平行 BD，则 l 与 BD 的距离为 d，抛物线之相似 25 BD=3，SPBD=BDd，d=2，BD 与 y 轴夹角为 45，BB=4，将 BD 上移或下移 4 个单位，上移 4 个单位，l 解析式为：y=x+7，y=x24x+3，x23x4=0，x1=4，x2=1，下移 4 个单位，l 解析式为 y=x1，y=x24x+3，x23x+4=0，0，此方程无解，综上所述，点 P 的坐标为（4，3）或（1，8）14.方法一：解：（1）该抛物线过点 C（0，2），可设该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2 将

48、A（1，0），B（4，0）代入，得，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）存在 由图象可知，以 A、B 为直角顶点的ABE 不存在，所以ABE 只可能是以点 E 为直角顶点的三角形 在 RtBOC 中，OC=2，OB=4，BC=在 RtBOC 中，设 BC 边上的高为 h，则h=24，h=BEACOB，设 E 点坐标为（x，y），=，y=2 将 y=2 代入抛物线 y=x2+x+2，得 x1=0，x2=3 当 y=2 时，不合题意舍去E 点坐标为（0，2），（3，2）（3）如图 2，连结 AC，作 DEx 轴于点 E，作 BFAD 于点 F，BED=BFD=AFB=90 抛物线之相似

49、26 设 BC 的解析式为 y=kx+b，由图象，得，yBC=x+2 由 BCAD，设 AD 的解析式为 y=x+n，由图象，得 0=（1）+n n=，yAD=xx2+x+2=x，解得：x1=1，x2=5 D（1，0）与 A 重合，舍去；D（5，3）DEx 轴，DE=3，OE=5 由勾股定理，得 BD=A（1，0），B（4，0），C（0，2），OA=1，OB=4，OC=2 AB=5 在 RtAOC 中，RtBOC 中，由勾股定理，得 AC=，BC=2，AC2=5，BC2=20，AB2=25，AC2+BC2=AB2 ACB 是直角三角形，ACB=90 BCAD，CAF+ACB=180，CAF=9

50、0CAF=ACB=AFB=90，四边形 ACBF 是矩形，AC=BF=，在 RtBFD 中，由勾股定理，得 DF=，DF=BF，ADB=45 方法二：（1）略（2）以 A、B、E 为顶点的三角形与COB 相似，AEBE 且或，E 为抛物线上一动点，设 E（t，），A（1，0），B（4，0），t23t=0，解得：t1=0，t2=3，E1（0，2），E2（3，2），当 E1（0，2）时，AE=，BE=，ABECOB，当 E2（3，2）时，同理ABECOB，E1（0，2），E2（3，2）（3）过 B 点作 AD 的垂线，垂足为 H，B（4，0），C（0，2），KBC=，BCAD，KAD=，lAD：y