小学奥数-几何五大模型.pdf

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1、 小 学 奥 数-几 何 五 大 模 型(等 高 模型)(总 3 6 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-1 模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的13，则三角形面积与

2、原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12:SSa b baS2S1 DCBA 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS；反之，如果ACDBCDSS，则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形

3、面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 三角形等高模型与鸟头模型 2【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：3 个面积相等的三角形；4个面积相等的三角形；6个面积相等的三角形。【解析】如下图，D、E 是 BC 的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBA FCDBA GDCBA 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】如图，BD长 12 厘米，DC 长 4 厘米，B、C 和 D在同一条直线上。求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD面积的多少倍？求三角形 ABD 的面积

4、是三角形 ADC 面积的多少倍？【解析】因为三角形 ABD、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD、BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 A点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形 ABD的面积12高26 高 三角形 ABC 的面积124（）高28 高 三角形 ADC 的面积4 高22 高 所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD面积的43倍；三角形 ABD的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍。【例 3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。ABCDEF【解析】图中阴影部分的面积

5、等于长方形ABCD面积的一半，即4326(平方厘米)。【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米。CDBA3 【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米。【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是 20，宽是 12，则它内部阴影部分的面积是 。FEDCBA【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120 121202。【例 4】如图，长方形ABCD的面积是5

6、6平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。HGFEDCBA HGFEDCBA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。连接BH、CH。AEEB，AEHBEHSS 同理，BFHCFHSS，S=SCGHDGH，11562822ABCDSS阴影长方形(平方厘米)【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 。EDGCFBA 654321HABFCGDE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割

7、成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了34 个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等。因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。【例 5】长方形ABCD的面积为 362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少 HGFEDCBA【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、H

8、C，如下图：HGFEDCBA 可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS 即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC。所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影 解法二：特殊点法。找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：GABCDEF(H)这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCDAEDBE

9、FCFDSSSSS阴影。【例 6】长方形ABCD的面积为 36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少5 HGFEDCBA(H)GFEDCBA HGFEDCBA【解析】（法 1）特殊点法。由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的113848，为33613.58。（法 2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图。可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABC

10、DAHBCHBCHDSSSS，即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC。所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影。【巩固】在边长为 6 厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积。PDCBA ABCD(P)PDCBA【解析】（法 1）特殊点法。由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的

11、14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米。（法 2）连接PA、PC。由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的146，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米。【例 7】如右图，E在 AD 上，AD垂直 BC，12AD 厘米，3DE 厘米求三角形ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？【例 8】【例 9】EDCBA【解析】因为 AD垂直于 BC，所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时，AD是三角形ABC

12、的高，ED是三角形 EBC 的高，于是：三角形 ABC 的面积1226BCBC 三角形 EBC 的面积321.5BCBC 所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍 【例 10】如图，在平行四边形 ABCD 中，EF平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？【例 11】【例 12】FDECBA【解析】AEC、AFC、ABF 【巩固】如图，在 ABC 中，D是 BC 中点，E是 AD中点，连结 BE、CE，那么与 ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？EDCBA【解析】3个，AEC、BED、DEC 【巩固】如图，在梯形 ABCD中，共

13、有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？7 ODCBA【解析】ABD与 ACD，ABC 与 DBC，ABO与 DCO 7【例 13】(第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为 1，其中3AEAB，2BDBC，三角形BDE 的面积是多少？【例 14】【例 15】ABECDDCEBA【解析】连接CE，3AEAB，2BEAB，2BCEACBSS 又2BDBC，244BDEBCEABCSSS 【例 16】(2008 年四中考题)如右图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为 5平方厘米，ABC的面积是 平方厘米 FEDCBA FEDCBA【解析】连接CD根据题意可知，DEF的面积为D

14、AC面积的13，DAC的面积为ABC面积的12，所以DEF的面积为ABC面积的111236而DEF的面积为 5平方厘米，所以ABC的面积为15306(平方厘米)【巩固】图中三角形ABC的面积是 180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的 3倍，EF的长是BF 长的 3 倍那么三角形AEF的面积是多少平方厘米 FEDCBA【解析】ABD，ABC等高，所以面积的比为底的比，有12ABDABCSBDSBC,所以ABDS=111809022ABCS(平方厘米)同理有190303ABEABDAESSAD(平方厘米)，34AFEABEFESSBE3022.5(平方厘米)即三角形AEF的面积是平方厘

15、米 【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果24AB 厘米，8BC 厘米，求三角形ZCY的面积8 ABCDZY【解析】Y是BD的中点，Z是DY的中点，1122ZYDB，14ZCYDCBSS，又ABCD是长方形，11124442ZCYDCBABCDSSS(平方厘米)【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E和 F分别是 BC、AC 和 AD 的中点求三角形DEF 的面积 FEDCBA【解析】三角形 ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半24212，三角形 ADE又是三角形 ADC 面积的一半1226 三角形 FED的面积是三角形 ADE面积的一半，所以

16、三角形 FED 的面积623 【巩固】如图，在三角形 ABC 中，8BC 厘米，高是 6 厘米，E、F分别为 AB和 AC 的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？FECBA【解析】F是AC的中点 2ABCABFSS 同理2ABFBEFSS 486246BEFABCSS(平方厘米)【例 17】如图 ABCD 是一个长方形，点 E、F 和 G分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是 36个平方单位，求三角形 EFG的面积是多少个平方单位 FEGDCBA FEGDCBA【解析】如右图分割后可得，243649EFGDEFCABCDSSS矩形矩形（平方单位）【巩固】(97 迎春杯决赛)如图，

17、长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.那么，阴影部分的面积是多少？9 ANBMDCCDMBNA【解析】连接BM，因为M是中点所以ABM的面积为14又因为2ANBN，所以BDC的面积为1114312，又因为BDC面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212.【例 18】如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积 48cm224cm236cm212cm2 MNDCBA12cm236cm224cm248cm2【解析】如图，将大长方形的长的长度设为 1，则12112364AB，2

18、4124483CD，所以1113412MN，阴影部分面积为211(12243648)5(cm)212 【例 19】如图，三角形ABC中，2DCBD，3CEAE，三角形 ADE的面积是 20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？【例 20】【例 21】EDCBA【解析】3CEAE，4ACAE，4ADCADESS；又2DCBD，1.5BCDC，1.56120ABCADCADESSS(平方厘米)【例 22】(2009 年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89，28，26那么三角形DBE的面积是 10 EDCBA10【解析】根据题

19、意可知，8928117ADCADEDCESSS，所以:26:1172:9BDCADCBD ADSS，那么:2:9DBEADESSBD AD，故222789(901)20199999DBES 【例 23】(第四届小数报数学竞赛)如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD分成了两部分三角形 BDC 的面积比三角形 ABD的面积大 10平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是 15分米，它们的差是 5 分米求梯形 ABCD的面积 DCBA EhABCD【解析】如右图，作 AB的平行线 DE三角形 BDE 的面积与三角形 ABD的面积相等，三角形DEC 的面积就是三角形 BDC 与三角形 ABD 的

20、面积差(10 平方分米)从而，可求出梯形高(三角形 DEC 的高)是：2 1054(分米)，梯形面积是：154230(平方分米)【例 24】图中 AOB的面积为215cm，线段 OB 的长度为 OD的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积 OCBDA【解析】在ABD中，因为215cmAOBS，且3OBOD，所以有235cmAODAOBSS 因为ABD和ACD等底等高，所以有ABDACDSS 从而215cmOCDS，在BCD中，2345cmBOCOCDSS，所以梯形面积：2155154580 cm（）【例 25】如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形 DCBA AABCD【解析】本题有两点要

21、求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点 A移到 CB的延长线上的A处，ABD与 ABD面积相等，从而ADC 面积与原四边形 ABCD面积也相等这样就把四边形 ABCD等积地改成了三角形 ADC问题是 A位置的选择是依据三角形等积变形原则过 A作一条和 DB平行的直线与 CB的延长线交于 A点 具体做法：连接 BD；过 A作 BD的平行线，与 CB的延长线交于 A 连接 AD，则 ACD 与四边形 ABCD等积 11【例 26】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的1

22、5%，黄色三角形面积是221cm问：长方形的面积是多少平方厘米？【例 27】【例 28】红绿黄红【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%已知黄色三角形面积是221cm，所以长方形面积等于2135%60（2cm）【例 29】O是长方形ABCD内一点，已知OBC的面积是25cm，OAB的面积是22cm，求OBD的面积是多少？【例 30】【例 31】PODCBA【解析】由于ABCD是长方形，所以12AODBOCABCDSS

23、S，而12ABDABCDSS，所以AODBOCABDSSS，则BOCOABOBDSSS，所以2523cmOBDBOCOABSSS 【例 32】如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为 8 平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米 ABCDEFGHP ABCDEFGHP【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差 如右上图，连接CP、AP 由于12BCPADPABPBDPADPABCDSSSSSS，所以BCPABPBDPSSS

24、 12 而12BCPBCFESS，12ABPABHGSS，所以2216BCFEABHGBCPABPBDPSSSSS(平方分米)【例 33】如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形BPC的面积是15，求阴影BPD的面积12 PDCBA OABCDP【解析】连接AC交BD于O点，并连接PO如下图所示，可得/PODC，所以DPO与CPO面积相等(同底等高)，所以有：BPOCPOBPOPDOBPDSSSSS，因为1120544BOCABCDSS，所以15510BPDS 【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12，正三角形BPC的面积是5，求阴影BPD的面积 PDCBA OABCDP【解析】连接AC

25、交BD于O点，并连接PO如右上图所示，可得/PODC，所以DPO与CPO面积相等(同底等高)，所以有:BPOCPOBPOPDOBPDSSSSS，因为134BOCABCDSS，所以532BPDS 【例 34】在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰AOB的面积为 16，等腰DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC的面积是多少？【例 35】【例 36】ODCBA【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去DOC的面积(长方形面积的18%)，再减去AOD的面积，即可求出AOC的面积 根据模型可知12CODAOBABCDSSS，所以11618%502ABCDS（），又AOD与BOC的面积相等，它们的

26、面积和等于长方形面积的一半，所以AOD的面积等于长方形面积的14，所以125%18%2AOCACDAODCODABCDABCDABCDSSSSSSS2512.593.5 【例 37】（2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中，13 E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知ADG 的面积为215cm，而BCG13 的面积恰好是梯形ABCD面积的720，则梯形ABCD的面积是 2cm ABCDEFG ABCDEFG【解析】如果可以求出ABG与CDG的面积之和与梯形ABCD面积的比，那么就可以知道ADG的面积占梯形ABCD面积的多少，从而

27、可以求出梯形ABCD的面积 如图，连接CE、DE则AEGDEGSS，BEGCEGSS，于是ABGCDGCDESSS 要求CDE与梯形ABCD的面积之比，可以把梯形ABCD绕F点旋转180，变成一个平行四边形如下图所示：从中容易看出CDE的面积为梯形ABCD的面积的一半(也可以根据12BECABCSS，12AEDAFDADCSSS，111222BECAEDABCADCABCDSSSSS得来)那么，根据题意可知ADG的面积占梯形ABCD面积的173122020，所以梯形ABCD的面积是2315100cm20 小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是

28、一个很有用的结论本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G与E重合，则CDE的面积占梯形面积的一半，那么ADG与BCG合起来占一半 【例 38】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等 GFEDCBA GFEDCBA【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接BE(我们通过ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起)在平行四边形ABCD中，12ABESABAB边上的高，12ABEABCDSS 同理，12ABEAEGFSS，平行四边形ABCD与AEGF面积相等 【巩 固

29、】如 图 所 示，正 方 形ABCD的 边 长 为8厘 米，长 方 形EBGF的 长BG为1014 厘米，那么长方形的宽为几厘米？ABGCEFD ABGCEFD【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接AG(我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)在正方形ABCD中，G12ABSABAB边上的高，12ABGABCDSS(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGBSS 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等 长方形的宽88106.4(厘

30、米)【例 39】如图，正方形 ABCD 的边长为 6，AE，CF 2长方形EFGH 的面积为 HGFEDCBA ABCDEFGH【解析】连接 DE，DF，则长方形 EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍 三角形 DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，661.5622624.54216.5DEFS,所以长方形 EFGH 面积为 33 【例 40】如图，ABCD 为平行四边形，EF平行 AC，如果 ADE的面积为 4平方厘米求三角形 CDF的面积 AEBFCD DCFBEA【解析】连结 AF、CE ADEACESS；CDFACFSS；又AC 与 EF平行，ACEACFSS 4ADEC

31、DFSS(平方厘米)15【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若1ADES，求BEF 的面积15 ABCDEF ABCDEF【解析】本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组平行线之间的三角形面积相等)和等量代换的思想连接AC ABCD，ADEACESS 同理ADBC，ACFABFSS 又ACFACEAEFSSS，ABFBEFAEFSSS，ACEBEFSS，即1BEFADESS 【例 41】图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米 【解析】4428 【例 42】如图，有三个正方形的顶

32、点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为 10 厘米，求阴影部分的面积 KOQPHGFEDCBAKOQPHGFEDCBA【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化 如右图所示，连接FK、GE、BD，则/BDGEFK，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGEBGESS，KGEFGESS，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB的面积，即为210100平方厘米 【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积 G4ABCDEF G4AB

33、CDEF【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系连接AD(见右上图)，可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等因为三角形AGD是三角形ABD与16 三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形16 GCD面积仍然相等根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4428 【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为 6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ABCDEFGH ABCD

34、EFGH【解析】如图，连接AF，比较ABF与ADF，由于ABAD，FGFE，即ABF与ADF的底与高分别相等，所以ABF与ADF的面积相等，那么阴影部分面积与ABH的面积相等，为 6 平方厘米 【巩固】正方形 ABCD和正方形 CEFG，且正方形 ABCD边长为 10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？DGFHECBA ABCEHFGD【解析】方法一：三角形 BEF 的面积2BEEF，梯形 EFDC 的面积22EFCDCEBEEF（）三角形 BEF的面积，而四边形 CEFH是它们的公共部分，所以，三角形 DHF 的面积三角形BCH 的面积，进而可得，阴影面积三角形 BDF 的面积三角形 BCD

35、 的面积10 10250(平方厘米)方法二：连接 CF，那么 CF平行 BD，所以，阴影面积三角形 BDF的面积三角形 BCD 的面积50(平方厘米)【巩固】(人大附中考题)已知正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积 JIHGABCDEF JIHGABCDEF【解析】如果注意到DF为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到DF与CI是平行的所以可以连接CI、CF，如上图 17 由于DF与CI平行，所以DFI的面积与DFC的面积相等而DFC的面积为1104202，所以DFI的面积也为 2017 【例 43】(2008 年”华杯赛”决赛)右图中

36、，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积 HGFEDCBA HGFEDCBA【解析】连接AC、GF，由于AC与GF平行，可知四边形ACGF构成一个梯形 由于HCG面积为 6 平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG的面积为 12平方厘米，AHF的面积为 6平方厘米，AHC的面积为 3平方厘米 那么正方形CGEF的面积为612236平方厘米，所以其边长为 6 厘米 又AFC的面积为639平方厘米，所以9263AD(厘米)，即正方形AB

37、CD的边长为 3厘米那么，五边形ABGEF的面积为：21369349.52(平方厘米)【例 44】(第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DFFC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等已知梯形ABCD的面积是32平方厘米求图中阴影部分的面积 ABCDEF甲乙丙【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底DFFC所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE与CD平行，四边形ADCE是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形ADCE的面积的12，所以阴影部分的面积乙的面积2设甲、乙、丙的面积分别为1份，则阴影面积为2份，梯形的面积为5份，从而阴影部分的面积3

38、25212.8(平方厘米)【例 45】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？【例 46】【例 47】18 FEDCBA FEDCBA FEDCBA【解析】方法一：连接对角线AE18 ADEF是长方形 12ADEAEFADEFSSS 38ADBADESDBDES，12ACFAEFSFCEFS 58BEDEDBDEDE，12CEFECFEFEF 1515162822BECS 132ABCADEFADBACFCBESSSSS 方法二：连接BF，由图知1628ABFS，所以16835BEFS，又由4ACFS，恰好是AEF面积的

39、一半，所以C是EF的中点，因此522.5BCEBCFSS，所以16342.56.5ABCS 【例 48】如图，在平行四边形ABCD中，BEEC，2CFFD求阴影面积与空白面积的比 HABCDEFG【解析】方法一：因为BEEC，2CFFD，所以14ABEABCDSS四边形，16ADFABCDSS四边形 因为2ADBE，所以2AGGE，所以11312BGEABEABCDSSS四边形，2136ABGABEABCDSSS四边形 同理可得，18ADHABCDSS四边形，124DHFABCDSS四边形 因为12BCDABCDSS四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCDABCDSS

40、四边形四边形，所以阴影部分的面积是13ABCDS四边形 1 2:1:23 3，所以阴影面积与空白面积的比是1:2 【例 49】(第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且3AEEC，O为DC与BE的交点若CEO的面积为a平方厘米，BDO的面积为b平方厘米且ba是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是 平方厘米 EbaODCBA【解析】12ABCBCDBCOSSbS，14ABCBCEBCOSSaS，所以112.524ABCABCSSba(平方厘米)所以2.5410ABCS(平方厘米)19【例 50】如图，在梯形ABCD中，:4:3A

41、D BE，:2:3BE EC，且BOE的面积比AOD的面积小1019 平方厘米梯形ABCD的面积是 平方厘米 OABCDE【解析】根据题意可知:8:6:9AD BE EC，则86ABDABESS，34ABEABDSS，而10ABDABEAODBOESSSS平方厘米，所以 1104ABDS，则40ABDS平方厘米 又961588BCDABDSS，所以1540758BCDS平方厘米 所以4075115ABDBCDABCDSSS梯形(平方厘米)【巩固】(第五届小数报数学竞赛初赛)如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE 与BD相交于O点已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积

42、大4平方米，并且25ECBC求梯形ABCD的面积 OABCDE OABCDE【解析】连接AC根据差不变原理可知三角形ABE的面积比三角形ABD大 4平方米，而三角形ABD与三角形ACD面积相等，因此也与三角形ACE面积相等，从而三角形ABE的面积比三角形ACE的大 4 平方米 但25ECBC，所以三角形ACE的面积是三角形ABE的22523，从而三角形ABE的面积是241123(平方米)，梯形ABCD的面积为：21212283(平方米)【例 51】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？【例 52】【例 53】ABCDE4935

43、13【解析】三角形ABC的面积三角形CDE的面积(133549)长方形面积阴影部分面积；又因为三角形ABC的面积三角形CDE的面积12长方形面积，所以可得：阴影部分面积1335499720 【例 54】图中是一个各条边分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【例 55】【例 56】【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母 855AEDCB 有ABC为直角，而CEDABC，所以CED也为直角.而5CECB.ADE与CED同高，所以面积比为底的比，及ADECEDSS=AEEC=1

44、3-55=85，设ADE的面积为“8”，则CED的面积为“5”CED是由CDB折叠而成，所以有CED、CDB面积相等，ABC是由ADE、CED、CDB组成，所以ABCS=“8”+“5”+“5”=“18”对应为15 12302，所以“1”份对应为53，那么ADE 的面积为583=1133平方厘米即阴影部分的面积为1133平方厘米 【例 57】如图，长方形ABCD的面积是 2 平方厘米，2ECDE，F是DG的中点阴影部分的面积是多少平方厘米？【例 58】【例 59】GFEDCBA【解析】如下图，连接FC，DBF、BFG的面积相等，设为x平方厘米;FGC、DFC的面积相等，设为y平方厘米，那么DEF

45、的面积为13y平方厘米 xyyxGFEDCBA 21 221BCDSxy，BDE111S=x+y=l333所以有0.531xyxy比较、式，式左边比式左边多2x，式右边比式右边大，有20.5x，即0.25x,0.25y 而阴影部分面积为2550.253312yy平方厘米21 【例 60】(2007 年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DFDC,且2ADDE则两块地ACF和CFB的面积比是_ FEDCBAFEDCBAGFEDCBA【解析】方法一：连接BD 设CED的面积为1，BED的面积x，则根据题上说给出的条件，由DFDC得B

46、DCBDFSS，即BDF的面积为1x、ADCADFSS;又有2ADDE，22ADCADFCDESSS、22ABDBDESSx，而122ABDSxx；得3x，所以:(22):(134)1:2ACFCFBSS 方法二：连接BD，设1CEDS(份)，则2ACDADFSS,设BEDSxBFDSy则有122xyxy，解得34xy，所以:(22):(431)1:2ACFCFBSS 方法三：过F点作FGBC交AE于G点，由相似得:1:1CD DFED DG,又因为2ADDE，所以:1:2AG GEAF FB，所以两块田地ACF和 CFB 的面积比:1:2AF FB 【例 61】(2008年第一届”学而思杯”

47、综合素质测评六年级2试)如图，45BC，21AC，ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DIFK KJIHGFEDCBA【解析】由题意可知，:2:9BADABCBD BCSS，所以2109BDBC，35CDBCBD；又:2:5DIFDFCDI DCSS，所以2145DIDC，同样分析可得10FK，所以141024DIFK 【巩固】（2009 年清华附中入学测试题）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且OAB、ABC、BCD、CDE、DEF的面积都等于 1，则DCF的面积等于 ECAOBDFMN【解析】根据题意可知，:4:1OEDDEFOD DFSS，所以14DFOD

48、，1133444DCFOCDSS 22【例 62】E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若5AD，7BC，5AE，3EB 求阴影部分的面积 QPMABCED QPMABCED【解析】连接CE、DE 由于DQ、CP、ME彼此平行，所以四边形CDQP是梯形，且ME与该梯形的两个底平行，那么三角形QME与DEM、三角形PME与CEM的面积分别相等，所以三角形PQM的面积与三角形CDE的面积相等而三角形CDE的面积根据已知条件很容易求出来 由于ABCD为直角梯形，且5AD，7BC，5AE，3EB，所以三角形CDE的面积的面积为：11157535 53 725222 所以三

49、角形PQM的面积为 25 【例 63】(2007 年人大附中分班考试题)已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积(丙是三角形HBC)丙乙甲HNMJIFEDCBA【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200 根据图形的容斥关系，有ABCABNAMCAMHNSSSSS丙，即400 200200AMHNSS丙，所以AMHNSS丙 又ADFAMHNSSSSS乙甲阴影，所以1143400

50、434ADFSSSSS乙甲丙阴影 【例 64】(2009 年四中入学测试题)如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形ADG的面积是 23 GFEDCBA ABCDEFG【解析】连接AF，BD 根据题意可知，571527CF；715628DG；所以，1527BECBFFSS，1227BECBFCSS，2128AEGADGSS，728AEDADGSS，于是：2115652827ADGCBFSS；712382827ADGCBFSS；可得40ADGS故三角形ADG的面积是40 【巩固】(第四届希望杯)如图，点D、E、F