二项分布及其应用.pdf

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1、.二项分布及其应用 条件概率 一、条件概率的定义与性质 如果事件 A 发生与否，会影响到事件 B 的发生，在知道事件 A 发生的条件下去研究事件 B 时，基本事件空间发生了 变化，从而 B 发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。1.定义：一般地，设 A、B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件 概率，一般把 (|)读作 A 发生的条件下 B 的概率 P B A 2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 （2）如果 B 和 C是两个互斥事件，则 P(BC|A)二、典型例题 1、利用定义求

2、条件概率 例 1：抛掷两颗均匀的骰子，问 （1）至少有一颗是 6 点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是 6 点的概率是多少？例 2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”。（1）求 P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点数之和大于 8 的概率。2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率 例 1：一个口袋内装有 4 个白球和 2 个黑球，若不放回地抽取 3 次，每次抽一个小球，求 （1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。（

3、2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。.例 2：设 10 件产品中有 4 件次品，从中任取 2 件，那么 （1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。3、条件概率的性质及应用 例 1：在某次考试中，要从 20 道中随机地抽出 6 道题，若考试至少答对其中 4 道即可通过；若至少答对其中 5 道就获 得优秀，已知某生能答对其中 10 道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。例 2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A=赵家得到 6 张梅花 ，

4、B=孙家得到 3 张梅花 （1）求 P(B|A)(2)求 P(AB)三、课堂练习 1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有 6 件合格产品和 4 件次品，不放回地任取两次，每次取一件。若已知第一件是合格品的情况下，求 第二件也是合格品的概率。.事件的相互独立性 一、相互独立事件的定义 如果事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，或事件 B 的发生不会影响事件 A 发生的概率，那么事件 A 与事件 B 相互独立。设 A，B 为两个事件，如果，则称事件 A与事件 B 相互独立；如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A

5、与 B，A与B，A 与 B 注意区分互斥事件与相互独立事件 二、典型例题 1.相互独立事件的判断 例 1：判断下列各对事件是否是相互独立事件：（1）甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生、3 名女生，今从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”；（2）容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中 任意取出 1 个，取出的还是白球”；（3）一筐内有 6 个苹果和 3 个梨，“从中任意取出 1 个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回到筐内，再从筐内任意取出

6、1 个，取出的是梨”。例 2：下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗？抛掷一枚骰子，事件 A=“出现 1 点”，事件 B=“出现 2 点”；先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A=“第一枚出现正面”，事件 B=“第二枚出现反面”；在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A=“第一次取到绿球”，B“第二次取到绿球”。2.求相互独立事件的概率 例 1：设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发生的概率与 B 发生的概率都是 1，求 P（A），P（B）。4 例 2：某同学参加科普知识竞赛，需回答 3 个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问

7、题分别得 100 分、100 分、200 分，答错或不答得 0 分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相 互之间没有影响。（1）求这名同学得 300 分的概率；（2）求这名同学至少得 300 分的概率；例 3：甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约 定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 0.5，且面试是否合格互不影响，求：（1）至少有 1 人面试合格的概率；（2）签约人数 X 的分布列.例 4：某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率 4，乙当

8、选的概率为 3，丙当选的概率为 7.5 5 10（1）求恰有一名同学当选的概率；（2）求至多有两人当选的概率.3.综合题型 例 1：甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 1 和 1，求：（1）两个人都译出密码的概率；3 4 （2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有一个人译出密码的概率；（4）至多有一个人译出密码的概率；（5）至少有一个人译出密码的概率 .例 2：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率为 0.6，计算：（1）两人都投中的概率；（2）至少有一人投中的概率.4.多个事件的相互独立性 例 1：甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分

9、别为 0.4、0.5、0.8，如果只有一人击中，则飞机被 击落的概率是 0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是 0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击 落的概率。（三）课堂练习 1、两人打靶，甲击中的概率为 0.8。，乙击中的概率为 0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是（）A.0.56 B.0.48 C.0.75 D.0.6 2、若 P(A B)=0，则事件 A 与 B 的关系是（）A.互斥事件 B.A、B 中至少有一个为不可能事件 C.互斥事件或至少有一个是不可能事件 D.以上都不对 3、国庆节放假，甲、乙、丙外出旅游的概率分别是 1、1、1，假设三人的行动

10、互不影响，那么这段时间至少有 1 3 4 5 人外出旅游的概率为（）A.59 B.3 C.1 D.1 60 5 2 60 4、将一个硬币连掷 5 次，5 次出现正面的概率是;5、已知 A、B 是相互独立事件，且 P（A）=1，P(B)=2，则 P(A B)_;P(A B)_ 2 3 6、分别掷甲、乙两枚均匀的硬币，令 A=硬币甲出现正面 ，B=硬币乙出现正面.验证事件 A、B 是相互独立的。.独立重复试验与二项分布 一、独立重复试验与二项分布的定义 1.独立重复试验：在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，即若用 A(i 1,2，n)表示第 i 次试验 i 的结果，则 P(A

11、1A2 An)2.二项分布：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为()(k 0,1,2，n)P X k 此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 ，并称 p 为成功概率 二、典型例题 1、独立重复试验概率的求法 例 1:某人连续射击 5 次，每次中靶的概率均是 0.9，求他至少两次中靶的概率。例 2：病人服用某药品被治愈的概率为 0.9 求服用这种药的 10 位患有这种病的患者中至少有 7 人被治愈的概率。例 3：某人参加一次考试，若 5 道题中解对 4 道则为及格，已

12、知他解对每道题的正确率为 0.6，求他及格的概率 2、求随机变量的二项分布列 例 1：一名学生骑车上学，从家到学校途中有 6 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率都是 1，设 X 为该生在 3 途中遇到的红灯次数，求 X 的分布列。.3、利用二项分布求概率 例 1：有 10 台都为 7.5 千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动 12 分钟，问 全部机床用电超过 48 千瓦的可能性有多大？（三）课堂练习 1.已知一个射手每次击中目标的概率为 3，求他在 4 次射击中下列事件发生的概率。5 （1）恰命中一次；（2）恰只在第三次命中目标 （3）刚好在第二、第三两次击中目标 2.甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是 1,2,1。3 5 2（1）现 3 人各投一次，求 3 人都没有投进的概率。（2）用 X 表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量 X 的分布列。.