中考数学几何模型09有60°和90°角的旋转.pdf

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1、 专题 09 有 60和 90角的旋转 一、单选题 1如图，在ABC 中，ACB90，A30，AB8，点 P 是 AC 上的动点，连接 BP，以 BP 为边作等边BPQ，连接 CQ，则点 P在运动过程中，线段 CQ长度的最小值是（）A2 B4 C12 D32【答案】A【分析】如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，PE由QBCPBE（SAS），推出 QCPE，推出当 EPAC 时，QC的值最小；【详解】如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，PE，则 AEBE4 ACB90，A30，CBE60，BEAE，CEBEAE，BCE是等边三角形，BCBE，PBQCBE60，QBCPBE，QBPB，CB

2、EB，QBCPBE（SAS），QCPE，当 EPAC时，QC的值最小，在 RtAEP 中，AE4，A30，PE12AE2，CQ 的最小值为 2，故选：A 【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形 30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题 2如图，在四边形 ABCD 中，AD=5，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则 BD 的长为（）A34 B41 C43 D59【答案】D【详解】作 ADAD，AD=AD，连接 CD，DD，如图：BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在B

3、AD与CAD中，BACABADCADADAD ，BADCAD（SAS），BD=CD DAD=90 由勾股定理得 DD=225 2ADAD，DDA+ADC=90 由勾股定理得 CD=22235059DCDD，故选 D 3 如图，ABCADEDFG、均为等边三角形，CEF、三点共线，且E是CF的中点，下列结论：ADGEDF；AEC为等腰三角形；DFADGE；BAGBCE60GEB，其中正确的个数为（）A2 B3 C4 D5【答案】B【分析】根据等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质证明ADGEDF，ABGBCE，然后一一判断即可.【详解】解：ADE、DFG，ABC 为等边三角形，DA=D

4、E，DF=DG，ADE=FDG=AED=ACB=DAE=BAC=60，ADG=EDF，DAB=CAE，ADGEDF，故正确，AG=EF,AG=EC,如下图，当 D、G、E共线时，显然 AGAE，AGAB，ECAE，ECAC，AEC不是等腰三角形,故错误，AD+EG=DE+GEDG，DG=DF AD+EGDF，故错误 ADGEDF，DEF=DAG，DEF+AED=EAC+ACE=EAC+ACB-BCE，EAC-DEF=BCE，BAG=DAB-DAG=EAC-DEF，BAG=BCE，故正确，ADGEDF，AG=EF=EC,BAG=BCE，AB=BC ABGBCE，ABG=EBC，BG=BE,EBG

5、=ABC=60，BEG为等边三角形,BEG=60，故正确，故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 4 如图，在四边形 ABCD中，AB=AD，BAD=60，BCD=120，AC=2，则四边形 ABCD 的面积为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】将ABC 绕点 A逆时针旋转 60到ADE，有ABC与ADE全等，证明 C、D、E三点共线，再根据ACE为等边三角形即可求解；【详解】解：如图，将ABC绕点 A逆时针旋转 60到ADE，则有ABC与ADE全等 AC=AE，ABC=ADE BAD=60

6、，BCD=120 ADC+ADE=ADC+ABC=180 C、D、E三点共线 BC+CD=DE+DC=CE 又CAE 等于旋转角，即CAE=60，ACE为等边三角形 ACE的面积为22332344AC 由旋转可知四边形 ABCD的面积等于ACE 的面积 故选：C【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，关键是将ABC 绕点 A逆时针旋转 60到ADE 5如图，在等边ABC中，D 是边 AC 上一点，连接 BD，将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAE，连接 ED，下列结论正确的有（）个 BED 是等边三角形；AEBC；ADE的周长等于 BD+BC；ADEDBC A1 B2

7、C3 D4【答案】D【分析】根据旋转的性质得 BE=BD，AE=CD，DBE=60，于是可判断BDE 为等边三角形，则有 DE=BD，所以AED的周长=BD+AC，且C=BAE=ABC=60得正确；根据三角形内角和定理得ADE=ABE，结合ABE+ABD=DBC+ABD=60，可得正确.【详解】在等边ABC 中，BCD绕点 B逆时针旋转 60得到BAE，BE=BD，AE=CD，DBE=60，C=BAE=60 BDE为等边三角形，ABC=BAE=60 DE=BD，AEBC；AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC=BD+BC 故正确 ABC，BDE 为等边三角形，BED=BA

8、C=60 又对顶角相等 ADE=ABE ABE+ABD=DBC+ABD=60 ADEDBC 故正确 故选：D【点睛】题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等边三角形的判定与性质 二、解答题 6（探索发现）如图，已知在ABC中，BAC=45，ADBC，垂足为 D，BEAC，垂足为 E，AD与 BE 相交于 F （1）线段 AF与 BC的数量关系是：AF BC，（用，=填空）；（2）若ABC=67.5，试猜想线段 AF与 BD有何数量关系，并说明理由（拓展应用）（3）如图，在ABC中，ADBC，垂足为 D，已知BAC=

9、45，C=22.5，AD=2 2，求ABC的 面积【答案】（1）=；（2）AF=2BD，见解析；（3）8【分析】（1）证出ABE 是等腰直角三角形，得出 BE=AE，证明CBEFAE（ASA），即可得出结论；（2）结论：AF=2BD只要证明ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质以及（1）得到的结论即可解决问题；（3）如图中，作 CHAB交 AB的延长线于 H，延长 CH 交 AD的延长线于 G只要证明 BC=2AD，利用三角形面积公式12BCAD，即可解决问题【详解】（1）BAC=45，BEAC，ABE是等腰直角三角形，BE=AE，ADBC，C+CBE=C+FAE=90，CBE=

10、FAE，在CBE 和FAE 中，90 CEBFEABEAECBEFAE ，CBEFAE（ASA），AF=BC；（2）结论 AF=2BD 理由：BAC=45，ABC=67.5，C=180-BAC-ABC=67.5，C=ABC，ABC是等腰三角形，且 AB=AC，ADBC，BD=CD=12BC，由（1）得：AF=BC=2BD；（3）如图，作 CHAB交 AB的延长线于 H，延长 CH交 AD的延长线于 G AHC=90，HAC=HCA=45，AH=HC，ADCD，ADB=BHC=90，ABD=CBH，GAH=BCH，AHG=CHB=90，AHGCHB，BC=AG，ACB=22.5，HCA=45，A

11、CD=GCD=22.5，又CDAG，AGC是等腰三角形，且 GC=AC，AD=GD=22，BC=AG=2AD=42，ABC的面积为：114 22 2822BCAD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 7在ABC 中90AOB，AO=BO，直线 MN经过点 O，且 ACMN 于 C，BDMN 于 D (1)当直线 MN 绕点 O旋转到图的位置时，求证：CD=AC+BD；(2)当直线 MN 绕点 O旋转到图的位置时，求证：CD=AC-BD；(3)当直线 MN 绕点 O旋转到图的位置时，试

12、问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.【分析】（1）通过证明ACOODB 得到 OC=BD，AC=OD，则 CD=AC+BD；（2）通过证明ACOODB 得到 OC=BD，AC=OD，则 CD=AC-BD；（3）通过证明ACOODB 得到 OC=BD，AC=OD，则 CD=BD-AC【详解】解：（1）如图 1，AOB中，AOB=90，AOC+BOD=90，直线 MN经过点 O，且 ACMN于 C，BDMN于 D，ACO=BDO=90 AOC+OAC=90，OAC=BOD，在ACO和O

13、DB中，90ACOODBOACBODAOOB ACOODB（AAS），OC=BD，AC=OD，CD=AC+BD；（2）如图 2，AOB中，AOB=90，AOC+BOD=90，直线 MN经过点 O，且 ACMN于 C，BDMN于 D，ACO=BDO=90 AOC+OAC=90，OAC=BOD，在ACO和ODB中，90ACOODBOACBODAOOB ,ACOODB（AAS），OC=BD，AC=OD，CD=ODOC=ACBD，即 CD=ACBD（3）如图 3，AOB中，AOB=90，AOC+BOD=90，直线 MN经过点 O，且 ACMN于 C，BDMN于 D，ACO=BDO=90 AOC+OAC

14、=90，OAC=BOD，在ACO和ODB中，90ACOODBOACBODAOOB ,ACOODB（AAS），OC=BD，AC=OD，CD=OCOD=BDAC，即 CD=BDAC【点睛】此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.8（1）（方法探索）如图1，在等边ABC中，点P在ABC内，且6PA，8PC，120APB，求PB的长 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP，分别证明AP P和BP P是特殊三角形，从而得解请在此思路提示下，求出 PB的长 解：把APC

15、绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP，请接着写下去：（2）（方法应用）请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题 如图2，点P在等边ABC外，且4PA，3PB，120APB，若2 10AB，求APB度数；如图3，在ABC中，90BAC，10AB AC，P是ABC外一点，连接PA、PB、PC已知45APB，2PB 请直接写出PC的长 【答案】（1）10，过程见解析；（2）30；2 10【分析】（1）如图 1 中，把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP，证明PP B是直角三角形即可解解决问题（2）如图 2 中，把APB绕着点B顺时针旋转60得到BCD，连接PD，证明PD，C共

16、线，利用勾股定理的逆定理证明90PBC即可解决问题 如图 3 中，过点A作ADAP，使得ADAP，连接PD，BD证明()DABPAC SAS，推出DBPC，求出BD即可解决问题【详解】解：（1）如图 1 中，把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP，由旋转不变性可知，6APAP，8BPPC，150APCAP B，P ABPAC ，60P APBAC ，AP P为等边三角形，6P PPA，60AP P，1506090PP B 在BP P中，6P P，8BP，22226810PBPPP B （2）如图 2 中，把APB绕着点B顺时针旋转60得到BCD，连接PD，ABC是等边三角形，2

17、10ABBC，60ABC，由旋转不变性可知，4APCD，3BPBD，120APBBDC，PBADBC，60PBDABC，PBD为等边三角形，60BDP，180BDPBDC，P，D，C共线，2 10ABBC，3PB，347PC，222PBBCPC，90PBC，60ABC，906030ABP 如图 3 中，过点A作ADAP，使得ADAP，连接PD，BD PAD，ABC都是等腰直角三角形，ADAP，ABAC，PADBAC，()DABPAC SAS，DBPC，45APDAPB，90DPB，过点B作BHPA于H，2PB，45BPH，2BHPH，在Rt ABH中，90AHB，10AB，2BH，221022

18、 2AHABBH，3 2APAD，26PDPA，在Rt DPB中，2222622 10BDPDPB，2 10PCBD【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 9在ABC中，ABAC，点P在平面内，连接AP，并将线段AP绕A顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ（1）如图，如果点P是BC边上任意一点则线段BQ和线段PC的数量关系是_ （2）如图，如果点P为平面内任意一点 前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由请仅以图所示的位置关系加

19、以证明（或说明）；（3）如图，在DEF中，8DE，60EDF，75DEF，P是线段EF上的任意一点，连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转 60，得到线段DQ，连接EQ请直接写出线段EQ长度的最小值 【答案】（1）相等；（2）成立，证明见解析；（3）2 62 2【分析】（1）先判断出BAQ=CAP，进而用 SAS判断出BAQCAP，即可得出结论；（2）结论 BQ=PC仍然成立，理由同（1）的方法；（3）先构造出DEQDHP，得出 EQ=HP，进而判断出要使 EQ 最小，当 HPEF（点 P 和点 M重合）时，EQ 最小，最后用解直角三角形即可得出结论【详解】解：（1）由旋转知：AQ=AP，P

20、AQBAC，PAQBAPBACBAP，BAQCAP，ABAC，BAQCAP SAS，BQCP 故答案为：相等（2）BQPC仍成立，理由如下：证明：由旋转知：AQ=AP，PAQBAC，PAQBAPBACBAP，BAQCAP，ABAC，BAQCAP SAS，BQC（3）如图：在 DF上取一点 H，使8DHDE，连接，过点作HMEF于，由旋转知，DQDP，60PDQ，60EDF，PDQEDF，EDQHDP，DEQDHP SAS，EQHP，要使 EQ 最小，则有 HP 最小，而点 H是定点，点 P是 EF上的动点，当HMEF（点 P 和点 M重合）时，HP 最小，即：点 P 与点 M重合，EQ最小，最

21、小值为 HM，过点 E作EGDF于 G，在Rt DEG中，8DE，60EDF，30DEG，142DGDE，34 3EGDG，在Rt EGF中，753045FEGDEFDEG，9045FFEGFEG，4 3FGEG，44 3DFDGFG，44 384 34FHDFDH，在Rt HMF中，45F，224 342 62 222HMFH，即：EQ 的最小值为2 62 2【点睛】本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点到直线的距离等知识为解题关键 10已知在Rt ABC中，90ACB，ACBC，CDAB于D （1）如图 1，将线段CD绕点C顺时针旋转90得到CF，连

22、接AF交CD于点G 求证：AGGF；（2）如图 2，点E是线段CB上一点（12CECB），连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90得到EF，连接AF交CD于点G 求证：AGGF；若7ACBC，2CE，求DG的长【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解，324【分析】（1）由旋转的性质得出90FCD，CFCD，证得CFAD，可证明()ADGFCG AAS，则可得结论；（2）过点E作EMCB交CD于点M，连接MF，证明()CEDMEF SAS，由全等三角形的性质得出CDMF，45MEFECD，证明()ADGFMG AAS，则可得结论；由勾股定理求出AB，CD，CM，则可求出答案【详解】（1）证明

23、：将线段CD绕点C顺时针旋转90得到CF，90FCD，CFCD，90ACB，ACBC，CDAB于D，ADBD，CF/AD，CDADBD，CFAD，又AGDCGF，()ADGFCG AAS，AGGF；（2）证明：过点E作EMCB交CD于点M，连接MF，由（1）知D为AB的中点，45DCB，CDAD，CEM为等腰直角三角形，CEME，又90CEMDEF，DEEF，CEDMEF，()CEDMEF SAS，CDMF，45MEFECD，ADMF，90CMF，又90ADG，ADGFMG，MGFAGD，()ADGFMG AAS，AGGF；解：90ACB，7ACBC，227 2ABACBC，17 222CDA

24、B，2CE，CE ME=，2222222 2CMCEME，7 23 22 222DMCDCM，又ADGFMG，13224DGMGDM 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键 11如图，BC 为等边ABM 的高，AB5 2，点 P 为射线 BC上的动点（不与点 B，C 重合），连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 60，得到线段 PD，连接 MD，BD（1）如图，当点 P 在线段 BC上时，求证：BPMD；（2）如图，当点 P 在线段 BC的延长线上时，求

25、证：BPMD；（3）若点 P 在线段 BC的延长线上，且BDM30时，请直接写出线段 AP的长度 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP52【分析】（1）由旋转定理，可得 APDP，结合APD60，可推导出APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出BAPMAD，结合等边ABM的性质，可证明BAPMAD，即完成 BPMD证明；（2）由旋转定理，可得 APDP，结合APD60，可推导出APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出BAPMAD，结合等边ABM的性质，可证明BAPMAD，即完成 BPMD证明；（3）由BAPMAD和 BC 为等边ABM的高，计算得DBM60

26、，从而证明点 D 在 BA 的延长线上，再利用 RtBMD 和特殊角度三角函数，计算得到答案【详解】（1）如图，连接 AD ABM 是等边三角形 ABAM，BAM60 由旋转的性质可得：APDP，APD60 APD是等边三角形 PAPDAD，PADBAM60 BAPBACCAP，MADPADCAP BAPMAD ABAMBAPMADAPAD BAPMAD（SAS）BPMD；（2）如图，连接 AD AMB 是等边三角形 ABAM，BAMAMB60 由旋转的性质可得：APDP，APD60 APD是等边三角形 PAPDAD，PADBAM60 BAPBAC+CAP，MADPAD+CAP BAPMAD

27、在BAP 与MAD中 ABAMBAPMADAPAD BAPMAD（SAS）BPMD；（3）BC 为等边ABM的高 ABC30 BAPMAD ABPAMD30 BMDAMB+AMD90 BMD90 BDM30 DBM60 点 D 在 BA的延长线上 如图 BDM30,BMD90 BD2BM102 ADBDAB52 PAPDAD APAD52【点睛】本题考察了全等三角形、旋转、特殊角度三角函数等知识点；求解的关键在于结合图形，熟练掌握运用等边三角形、旋转的性质，推导证明全等三角形和直角三角形，并运用特殊角度三角函数计算得到答案 12如图，在等腰ABC中，ACAB，CAB90，E是 BC 上一点，将

28、 E点绕 A点逆时针旋转 90到AD，连接 DE、CD（1）求证：ABEACD；（2）当 BC6，CE2 时，求 DE 的长 【答案】（1）见解析；（2）25【分析】（1）根据 E点绕 A点逆时针旋转 90到 AD，可得 ADAE，DAE90，进而可以证明ABEACD；（2）结合（1）ABEACD，和等腰三角形的性质，可得DCE90，再根据勾股定理即可求出 DE的长【详解】（1）证明：E 点绕 A点逆时针旋转 90到 AD，ADAE，DAE90，CAB90，DACEAB，ACAB，ABEACD（SAS）；（2）等腰ABC 中，ACAB，CAB90，ACBABC45，ABEACD，BECD，DC

29、AABE45，DCE90，BC6，CE2，BE4CD，DE224225【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识 13综合与实践 如图 1，在等边三角形ABC中，点P在ABC内部，且150,APB猜想,PA PB PC三条线段之间有何数量关系，并说明理由 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：（1）想法一：在图 1 中，将APB绕点A按逆时针方向旋转60,得到,AP C连接,PP寻找,PA PB PC三条线段之间的数量关系；（2）想法二：在图 2 中，将APC绕点A按顺时针方向旋转90,得到AP B，连接,PP

30、寻找,PA PB PC三条线段之间的数量关系【答案】（1）222PAPBPC；（2）2222PAPBPC【分析】（1）将APB绕点A按逆时针方向旋转60,得到,AP C可证明APP是等边三角形和PCP是直角三角形，依据勾股定理可得结论；（2）将BPC绕点B逆时针旋转90,得到,BP A连接PP，可证明ABPCBP，进一步证明PBP是等腰直角三角形和APP是直角三角形，运用勾股定理可得结论【详解】解：（1）222PAPBPC 证明：如答图 1，将APB绕点A按逆时针方向旋转60,得到,AP C 则,APBAP C APAP，60,150PAPP CPBAP CAPB，APP是等边三角形，,60,

31、PPAPAP P 1506090,PP CAP CAP P PCP是直角三角形，在Rt PCP中，222,P PP CPC,PPAP P CPB 222PAPBPC 22222PAPBPC 证明：如答图 2，将BPC绕点B逆时针旋转90,得到,BP A连接PP ,90,ABPCBPPBPBPBP APCP，在Rt PBP中，,BPBP 45,BPP 根据勾股定理得，2,PPBP 135,APB 1354590,APP APP是直角三角形，222,PAPPAP 2,PPBP APPC 2222PAPBPC【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解

32、题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题 14如图，D 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AD绕点 A顺时针旋转 60，得到线段 AE，连接 CD，BE （1）求证：EB=DC；（2）连接 DE，若BED=50，求ADC 的度数 【答案】（1）证明见解析；（2）110【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BAC60，ABAC，由旋转的性质可得DAE60，AEAD，利用SAS 即可证出EABDAC，从而证出结论；（2）根据等边三角形的判定定理可得EAD为等边三角形，从而得出AED=60，由（1）中全等可得AEBADC，求出AEB即可求出结论【详解】解：（1）ABC是等边三角

33、形，BAC60，ABAC 线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60，得到线段 AE，DAE60，AEAD BAD+EABBAD+DAC EABDAC 在EAB和DAC中，ABACEABDACAEAD，EABDAC EBDC （2）如图，由（1）得DAE60，AEAD，EAD为等边三角形 AED60，由（1）得EABDAC，AEBADC BED50，AEB=AED+BED=110，ADC=110 【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键 15如图 1和图 2，四边形 ABCD 中，

34、已知 AB=AD，BAD=90，点 E、F分别在 BC、CD上，EAF=45（1）如图 1，若B、ADC 都是直角，把ABE绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，使 AB 与 AD重合，直接写出线段 BE、DF和 EF之间的数量关系；如图 2，若B、D都不是直角，则当B+D=180，重复的操作，线段 BE、DF和 EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由（2）如图 3，在ABC中，BAC=90，AB=AC=22，点 D、E均在边 BC上，且DAE=45，若 BD=1，求 DE的长 【答案】（1）EF=BE+DF，成立，见解析；（2）53【分析】（1）根据旋转的性质

35、得出 AE=AG，BAE=DAG，BE=DG，求出EAF=GAF=45，根据 SAS 推出EAFGAF，根据全等三角形的性质得出 EF=GF，即可求出答案；根据旋转的性质作辅助线，得出 AE=AG，B=ADG，BAE=DAG，求出 C、D、G在一条直线上，根据 SAS推出EAFGAF，根据全等三角形的性质得出 EF=GF，即可求出答案；（2）如图 3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出ABC=C=45，BC=4，根据旋转的性质得出 AF=AE，FBA=C=45，BAF=CAE，求出FAD=DAE=45，证FADEAD，根据全等得出 DF=DE，设 DE=x，则 DF=x，B

36、F=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出 x 即可【详解】（1）如图 1，把ABE 绕点 A逆时针旋转 90至ADG，使 AB与 AD 重合，AE=AG，BAE=DAG，BE=DG，B=ADG=90，ADC=90，ADC+ADG=180，C、D、G共线，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，DAG+DAF=45，即EAF=GAF=45，在EAF和GAF中，AFAFEAFGAFAEAG，EAFGAF（SAS），EF=GF，BE=DG，EF=GF=DF+DG=BE+DF，故答案为：EF=BE+DF；成立，理由：如图 2，把ABE绕 A 点旋转到ADG，使 AB和 AD重合，则 AE

37、=AG，B=ADG，BAE=DAG，B+ADC=180，ADC+ADG=180，C、D、G在一条直线上，与同理得，EAF=GAF=45，在EAF和GAF中，AFAFEAFGAFAEAG，EAFGAF（SAS），EF=GF，BE=DG，EF=GF=BE+DF；（2）解：ABC 中，AB=AC=2 2，BAC=90，ABC=C=45，由勾股定理得：BC=22222 22 24ABAC，如图 3，把AEC 绕 A点旋转到AFB，使 AB和 AC重合，连接 DF 则 AF=AE，FBA=C=45，BAF=CAE，DAE=45，FAD=FAB+BAD=CAE+BAD=BAC-DAE=90-45=45，F

38、AD=DAE=45，在FAD和EAD中，ADADFADEADAFAE，FADEAD（SAS），DF=DE，设 DE=x，则 DF=x，BC=4，BF=CE=4 13xx ，FBA=45，ABC=45，FBD=90，由勾股定理得：222DFBFBD，即22231xx，解得：53x，即 DE=53【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高 16如图 1，已知ABC是边长为 8的等边三角形，EBD30，BEDE，连接 AD，点 F为 AD的中点，连接 EF将BDE绕点 B顺时针旋转

39、 （1）如图 2，当点 E位于 BC 边上时，延长 DE 交 AB于点 G 求证：BGDE；若 EF3，求 BE 的长；（2）如图 3，连接 CF，在旋转过程中试探究线段 CF与 EF之间满足的数量关系，并说明理由 【答案】（1）见解析；2；（2）EC3EF，ECEF，见解析【分析】（1）想办法证明BEG是等边三角形即可解决问题；利用三角形的中位线定理求出 AG，再求出 BG即可解决问题（2）结论：EC3EF，ECEF延长 DF交 CA的延长线于 M，延长 FE 到 K，使得 EKEF，连接 AK，CK，CF，在 FM 上截取 FNDF，连接 BN证明图中，红色三角形全等，推出CFK是等边三角

40、形即可解决问题【详解】（1）证明：如图 2中，ABC是等边三角形，ABC60，EBED，EBDEDB30，GBDABC+EBD90，BGD60，BEG 是等边三角形，BGBE，BGED 解：由可知，BGGEBEDE，又AFDF，AG2EF6，AB8，BGABAG862，BEBG2（2）结论：EC3EF，ECEF 理由：如图 2中，延长 DF交 CA 的延长线于 M，延长 FE 到 K，使得 EKEF，连接 AK，CK，CF，在 FM上截取 FNDF，连接 BN FBFDFN，DBN90，DBF30，FBN60，FBN是等边三角形，BNBF，ABCNBF60，ABNCBF，ABBC，ABNCBF

41、（SAS），ANCF，FNDF，AEED，EFAN，AN2EF，2EFFK，ANFK，ANFK，四边形 ANFK是平行四边形，AKDM，AKFNBN，CAKM，AOMBON，OAMBNO120，MOBN，ABNCAK，ABAC，ABNCAK（SAS），ANCK，CFCKFK，CFK是等边三角形，CFE60 2EFFK，CEFK，EFC60，tanCFEECEF3，EC3EF，ECEF【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，准确应用等边三角形的性质进行分析是关键 17如图，在等边ABC中，BDCE，连接 AD、BE 交于点 F（1）求AFE 的度数；（2）求证：ACDFBDBF；（3）连接 FC

42、，若 CFAD时，求证：BD12DC 【答案】（1）60；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）证明ABDBCE（SAS），得出BADCBE，则BFDAFEABC60；（2）证明ADBBDF，得出=ABBDBFDF，由 ABAC可得出结论；（3）延长 BE至 H，使 FHAF，连接 AH，CH，证明BAFCAH（SAS），得出ABFACH，CHBF，可证明 AFCH，得出1=2BFBDFHCD，进而即可得出答案【详解】解：（1）ABC是等边三角形，ABACBC，ABDBCE60，在ABD和BCE 中，ABDBCABBCBDCEE，ABDBCE（SAS），BADCBE，ADCCBE+B

43、FDBAD+ABC，BFDAFEABC60；（2）证明：由（1）知BADDBF，又ADBBDF，ADBBDF，=ABBDBFDF，又 ABAC，=ACBDBFDF，ACDFBDBF；（3）证明：延长 BE至 H，使 FHAF，连接 AH，CH，由（1）知AFE60，BADCBE，AFH 是等边三角形，FAH60，AFAH，BACFAH60，BACCADFAHCAD，即BAFCAH，在BAF和CAH 中，BAFCAABACAFAHH,BAFCAH（SAS），ABFACH，CHBF，又ABCBAC，BADCBE，ABCCBEBACBAD，即ABFCAF，ACHCAF，AFCH，AFC90，AFE6

44、0，CFCH，CFH30，FH2CH，FH2BF，FDCH，1=2BFBDFHCD，BD12DC【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法 18以四边形 ABCD的边 AB，AD 为边分别向外侧作等边ABF和等边ADE，连接 EB，FD，交点为 G.(1)当四边形 ABCD为正方形时(如图 1)，EB和 FD 的数量关系是 ；(2)当四边形 ABCD为矩形时(如图 2)，EB 和 FD 具有怎样的数量关系？请加以证明；(3)四边形 ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，EGD

45、 是否发生变化？如果改变，请说明理由 【答案】（1）EB=FD；（2）EB=FD，证明见解析；（3）EGD不发生变化【分析】（1）利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明FADBAE，由全等三角形的性质即可得到 EB=FD；（2）利用长方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明FADBAE，由全等三角形的性质即可得到 EB=FD；（3）四边形 ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，EGD 不会发生变化，是一个定值，为 60【详解】解：（1）EBFD，理由如下：四边形 ABCD为正方形，ABAD，以四边形 ABCD 的边 AB、AD 为边分别向外

46、侧作等边三角形 ABF和 ADE，AFAE，FABEAD60，FADBAD+FAB90+60150，BAEBAD+EAD90+60150，FADBAE，在AFD 和ABE中，AFAEFADBAEADAB，AFDABE，EBFD；（2）EBFD 证：AFB 为等边三角形 AFAB，FAB60 ADE为等边三角形，ADAE，EAD60 FAB+BADEAD+BAD，即FADBAE FADBAE EBFD；（3）解：不会发生改变；同（2）易证：FADBAE，AEBADF，设AEB为 x，则ADF也为 x 于是有BED 为（60 x），EDF 为（60+x），EGD180BEDEDF 180（60 x

47、）（60+x）60 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握 三、填空题 19已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是边AD、CD上的点，若4AEcm，3CFcm，且OEOF，则EF的长为_cm 【答案】5【分析】连接 EF，根据条件可以证明OEDOFC，则 OE=OF，CF=DE=3Ccm，则 AE=DF=4，根据勾股定理得到EF=222234CECF=5cm【详解】解：连接 EF，OD=OC，OEOF EOD+FOD=90 正方形 ABCD

48、COF+DOF=90 EOD=FOC 而ODE=OCF=45 OFCOED，OE=OF，CF=DE=3cm，则 AE=DF=4，根据勾股定理得到 EF=222234CECF=5cm 故答案为：5【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解题关键 20如图，边长为 5 的正方形 ABCD与直角三角板如图放置，延长 CB 与三角板的直角边相交于点 E，则四边形 AECF的面积为_ 【答案】25【分析】由题意可证ADFABE，即可得 SABE=SADF，即 S四边形AECF=S正方形ABCD=AB2=25【详解】解：正方形 ABCD 与直角三角板放置

49、如图，BADEAF90，即EAB+BAFDAF+BAF，EABFAD，四边形 ABCD 是正方形，DABE90，ADAB，在ABE 和ADF中，EABFADABADABED ，ABEADF（ASA），四边形 AECF的面积正方形 ABCD 的面积5225 故答案为：25【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键 21如图，在ABC中，BAC90，ABAC，P是ABC内一点若 PA1，PC2，APC135，则PB 的长为_ 【答案】6【分析】把APC绕点 C 逆时针旋转 90得到BDC，根据旋转的性质可得PCD是等腰直角三角形，BD=

50、AP，APC=BDC，根据等腰直角三角形的性质求出 PD，PDC=45，然后利用勾股定理逆定理判断出PBD是直角三角形，PDB=90，再求出BDC即可得解【详解】解：如图，把APC绕点 A顺时针旋转 90得到ADP，由旋转的性质得，ADP是等腰直角三角形，AD=AP=1，BD=PC=2，ADB=APC=135，所以22PDAP，45ADP 1354590PDBADBADP 22222(2)26PBPDBD，6PB 故答案为：6【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键 22如图，点 P 是正方形 A