新高考初高中衔接第7讲二次函数的图象和性质(解析版).pdf

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1、【第 7 讲】二次函数的图象和性质 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【基础知识回顾】知识点 1 二次函数的图象与解析式 二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中顶点坐标是(h，k)3 交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 知识点 2 二次函数的最值 二次函数2(0)yaxbxc a是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础 在初中阶段大

2、家已经知道：当0a 时，函数在2bxa 处取得最小值244acba，无最大值；当0a 时，函数在2bxa 处取得最大值244acba，无最小值 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题 【合作探究】探究一 求二次函数解析式【例 1-1】已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式【解析】二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为 2 又顶点在直线 yx1 上，所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为2(2)1(0)ya xa，二次函数的图像经过点（3，1）

3、，21(32)1a，解得 a2 二次函数的解析式为22(2)1yx，即 y2x28x7 归纳总结：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题 因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题【例 1-2】已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式【解法一】：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为 y

4、a(x3)(x1)(a0)，展开，得 yax22ax3a，顶点的纵坐标为 2212444aaaa，由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2，|4a|2，即 a12 所以，二次函数的表达式为 y21322xx，或 y21322xx【分析二】：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线 x1，又由顶点到 x 轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为 2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式【解法二】：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线 x1 又顶点到 x 轴的距离为 2，顶点的纵

5、坐标为 2，或2 于是可设二次函数为 ya(x1)22，或 ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或 0a(11)22 a12，或 a12 所以，所求的二次函数为 y12(x1)22，或 y12(x1)22 归纳总结：上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题【例 1-3】已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式【解析】设该二次函数为 yax2bxc(a0)由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得

6、a2，b12，c8 所以，所求的二次函数为 y2x212x8 探究二 二次函数的最值【例 2-1】当22x 时，求函数223yxx的最大值和最小值【分析】：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值 【解析】：方法一：作出函数的图象当1x 时，min4y，当2x 时，max5y 方法二：配方法 2223(1)4yxxx 当1x 时，min4y，当2x 时，max5y【例 2-2】当12x时，求函数21yxx 的最大值和最小值【解析】方法一：作出函数的图象当1x 时，max1y，当2x 时，min5y 方法二：配方

7、法，215()24yx，当1x 时，max1y，当2x 时，min5y 归纳总结：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即22,8,842,abccabc 为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：【例 2-3】当0 x 时，求函数(2)yxx 的取值范围【解析】方法一：作出函数2(2)2yxxxx 在0 x 内的图象 可以看出：当1x 时，min1y，无最大值 所以，当0 x 时，函数的取值范围是1y 方法二：22(2)2(1)1yxxxxx，当1x 时，min1

8、y，无最大值所以，当0 x 时，函数的取值范围是1y 【例 2-4】当1txt 时，求函数225yxx的最小值(其中t为常数)【分析】由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置 【解析】函数225yxx的对称轴为1x 画出其草图(1)当对称轴在所给范围左侧即1t 时：当xt时，2min25ytt；(2)当对称轴在所给范围之间即1101ttt 时：当1x 时，2min12 1 56y ；(3)当对称轴在所给范围右侧即110tt 时：当1xt 时，22min(1)2(1)56yttt 综上所述：2min26,06,0125,1ttytttt 【例 2-5】当02x时，

9、求函数21yxtx的最小值(其中t为常数)【分析】由于对称轴随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置【解析】函数21yxtx的对称轴为2tx (1)当对称轴在所给范围左侧即0t 时：当0 x 时，min1y；(2)当对称轴在所给范围之间 即022t，即04t 时，当2tx，2min14ty ；(3)当对称轴在所给范围右侧即4t 时，当2x 时，min32yt 综上所述：2min1,01,04432,4ttytt t 【课后作业 1】1选择题：把函数 y(x1)24 的图象的顶点坐标是 （）（A）（1，4）（B）（1，4）（C）（1，4）（D）（1，4）2填空：（1）已知某二次函

10、数的图象与 x 轴交于 A(2，0)，B(1，0)，且过点 C（2，4），则该二次函数的表达式为 （2）已知某二次函数的图象过点（1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 3根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点 A（0，1），B（1，0），C（1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，3），且与 y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（3，0），（5，0），且与 y 轴交于点（0，3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，2），且与 x 轴两交点间的距离为 4 4如图，某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱

11、笆的矩形地供他圈养小鸡已知墙的长度为 6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5如图所示，在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P，从点 A 出发沿折线 ABCD移动一周后，回到 A 点设点 A 移动的路程为 x，PAC 的面积为 y（1）求函数 y 的解析式；（2）画出函数 y 的图像；（3）求函数 y 的取值范围【参考答案 1】1（1）D 2（1）yx2x2 （2）yx22x3 3（1）（2）（3）（4）22115323222yxxx 4当长为 6m，宽为 3m 时，矩形的面积最大 1222xxy1843)1(422xxxy35251)5)(3(512xxxxyA C B D

12、P 图 2.210 5（1）函数 f（x）的解析式为,02,4,24,4,46,8,68.xxxxyxxxx （2）函数 y 的图像如图所示（3）由函数图像可知，函数 y 的取值范围是 0y2 【课后作业 2】1 抛物线2(4)23yxmxm，当m=_ 时，图象的顶点在y轴上；当m=_ 时，图象的顶点在x轴上；当m=_ 时，图象过原点 2 用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3求下列二次函数的最值：(1)2245yxx；(2)(1)(2)yx x 4求二次函数2235yxx在22x 上的最大值和最小值，并求对应的x的值 5对于函数2243yxx，当0 x 时

13、，求y的取值范围 6求函数23532yxx的最大值和最小值 7已知关于x的函数22(21)1yxtxt，当t取何值时，y的最小值为 0？8已知关于x的函数222yxax在55x 上 (1)当1a 时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最大值 9函数223yxx在0mx上的最大值为 3，最小值为 2，求m的取值范围 10设0a，当11x 时，函数21yxaxb 的最小值是4，最大值是 0，求,a b 11已知函数221yxax在12x 上的最大值为 4，求a的值 12求关于x的二次函数221yxtx在11x 上的最大值(t为常数)【参考答案 2】14 14 或 2，32 22216lm 3(1)有最小值 3，无最大值；(2)有最大值94，无最小值 4当34x 时，min318y；当2x 时，max19y 55y 6当56x 时，min336y；当23x 或 1 时，max3y 7当54t 时，min0y 8(1)当1x 时，min1y；当5x 时，max37y (2)当0a 时，max2710ya；当0a 时，max2710ya 921m 102,2ab 1114a 或1a 12当0t 时，max22yt，此时1x；当0t 时，max22yt，此时1x