数学中的恒成立与有解问题.pdf

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1、 数学中的恒成立与有解问题 一、恒成立问题 若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB 常用方法 1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围 例题 1.若关于x的不等式2220axx在R上恒成立,求实数a的取值范围.解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当0a 时,不等式220 x解集不为R,故0a 不满足题意;当0a 时,要使原不等式解集为R,只需2024 20aa,解得12a 综上,所求实数a的取值范围为1(,)2 2、转化为二次函

2、数的最值求参数的取值范围 例题 2：已知二次函数满足(0)1f，而且(1)()2f xf xx，请解决下列问题（1）求二次函数的解析式。（2）若()2f xxm在区间 1,1上恒成立，求m的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设2()(0)f xaxbxc a.由(0)1f得1c,故2()1f xaxbx.(1)()2f xf xx 22(1)(1)1(1)2a xb xaxbxx 即22axabx,所以22,0aab,解得1,1ab 2()1f xxx(2)由(1)知212xxxm 在 1,1恒成立,即231mxx在 1,1恒成立.令2235()31()

3、24g xxxx,则()g x在 1,1上单调递减.所以()g x在 1,1上的最小值为(1)1g.所以m的取值范围是(,1).规律总结：()mf x对一切xR恒成立,则min()mf x;()mf x对一切xR恒成立,则max()mf x；注意参数的端点值能否取到需检验。二、有解问题 3、方程的有解问题 例题 3：题干与例题 2 相同（1）同例题 2.（2）若()2f xxm在区间 1,1上恒成立，求m的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围.解析：(1)解法同例题 2(2)由(1)知212xxxm 在 1,1恒成立,即231mxx在 1,1恒成立.令2235()31(

4、)24g xxxx,则()g x在 1,1上单调递减.所以()g x在 1,1上的最大值为(1)5g，最小值为(1)1g，所以m的取值范围是1,5。规律总结：若方程()mf x在某个区间上有解只需求出()f x在区间上的值域 A 使mA。4、不等式的有解问题 例题 4 题干与例题 2 相同（1）同例题 2.（2）若()2f xxm在区间 1,1上有解，求m的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)解法同例题 2(2)由(1)知212xxxm 在 1,1有解,即231mxx在 1,1有解 令2235()31()24g xxxx,则()g x在 1,1上单调递减.

5、所以()g x在 1,1上的最大值为(1)5g.所以m的取值范围是(,5)。.规律总结：()mf x在区间,a b内有解,则max()mf x;()mf x在区间,a b内有解,则min()mf x；注意参数的端点值能否取到需检验。一、确定“主元”思想 常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量 例 1.对于满足 04 p的一切实数p，不等式 x2+px4x+p-3 恒成立，求 x 的取值范围 分析：习惯上把 x 当作自变量，记函数 y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当 p 4,0时 y0 恒成立，求 x 的范围解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程

6、实根分布原理，这是相当复杂的若把 x 与 p两个量互换一下角色，即 p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在0,4内关于 p 的一次函数大于 0恒成立的问题 解：设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当 x=1 时显然不满足题意 由题设知当 04 p时 f(p)0 恒成立，f(0)0,f(4)0 即 x2-4x+30 且 x2-10，解得 x3 或 x3 或 x-1 二、分离变量 对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。三、数形

7、结合 对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的 例 3设04，x，若不等式axxx134)4(恒成立，求 a 的取值范围 分析与解：若设函数)4(1xxy，则)0(4)2(1212yyx，其图象为上半圆 设函数axy1342，其图象为直线 在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心)0,2(到直线03334ayx的距离25|338|ad且01 a时成立，即 a 的取值范围为5a 例 5、不等式(x-1)2logax 在 x(1,2)上恒成立，求 a 的取值范围。分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很

8、困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。解：设 y1=(x-1)2,y2=logax,如右图所示 要使对一切 x(1,2),y11,且 loga21。y y2 y1 4 O x x y o 1 2 y1=(x-1)y2=logax 1a2 四、分类讨论 当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。例 4当8,2x时，不等式1log122xa恒成立，求 a 的取值范围 解：（1）当1122a时，由题设知xa1212恒成立，即min2121xa，而8,2x21212a 解得),1()1,(a（2）

9、当11202 a时，由题设知xa1212恒成立，即max2121xa，而8,2x81212a 解得)43,22()22,43(aa 的取值范围是),1()43,22()22,43()1,(a 已知函数的单调性求参数范围问题 方法：转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则0)(xf;若函数单调递减,则 0)(xf”来求解.例：若函数1)(23axxxf在2,1 上单调递减,求实数a的取值范围.思路点拨:先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解.)23(23)(2axxaxxxf 解析：方法一：由)(xf在2,1 上单调递减知0)(xf，即0232 axx在2,1 上恒

10、成立,即xa23在2,1 上恒成立.故只需max)23(xa,故3a.综上可知，a的取值范围是3,+).方法二：当0a时，0)(xf,故)(xfy 在),(上单调递增，与)(xfy 在 2,1 上单调递减不符，舍去.当0a时，由0)(xf得a32x0，即)(xf的单调递减区间为0,32a，与 )(xf在2,1 上单调递减不符，舍去.当0a时，由0)(xf得 0 xa32，即)(xf的减区间为32,0a，由)(xf在 2,1 上单调递减得232a,得 a3.综上可知，a的取值范围是3,+).练习 3(2012许昌模拟)若不等式ax2bx20 的解集为412|xx，则ab（）A28 B26 C28

11、 D26 解析 x2，14是方程ax2bx20 的两根，2a21412，ba74，a4，b7.ab28.答案 C 7.若不等式4|3|bx的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则b的取值范围是 .)7,5(8.设函数|1|4|)(xxxf，则)(xf的最小值是 3 ，若5)(xf，则x的取值范围 是 .5,0 9.不等式aaxx3|1|3|2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（B ）A.),52,(B.),4 1,(C.2,1 D.),2 1,(10不等式ax22ax10 对一切xR 恒成立，则实数a的取值范围为_ 解析 当a0 时，不等式为 10 恒成立；当a0 时，须 a0，0，即 a

12、0，4a24a0.0a1，综上 0a1.答案 0,1 12.已知关于x的不等式11axx0 的解集是1(,1)(,)2.则a .【解析】由不等式判断可得 a0 且不等式等价于1(1)()0a xxa 由解集特点可得11022aaa 且 答案：-2 14.已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 审题视点 化为标准形式ax2bxc0 后分a0 与a0 讨论当a0 时，有 a0，b24ac0.解 原不等式等价于(a2)x24xa10 对一切实数恒成立，显然a2 时，解集不是 R，因此a2，从而有 a20，424a2a10，整理，得 a2，a2a30，所以 a2，a3或a

13、2，所以a2.故a的取值范围是(2，)不等式ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0 时，b0，c0；当a0 时，a0，0；不等式ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0 时，b0，c0；当a0时，a0，0.【训练 2】当x(1,2)时，不等式x2mx40 恒成立，则m的取值范围是_ 解析 法一 当x(1,2)时，不等式x2mx40 可化为：m5，则m5.法二 设g(x)x2mx4 当m232，即m3 时，g(x)g(2)82m，当m232，即m3 时，g(x)g(1)5m 由已知条件可得：m3，82m0，或 m3，5m0.解得m5 答案(，5 15.若 a1,

14、3时,不等式 ax2+(a-2)x-20 恒成立，求实数 x 的取值范围.15.【解析】设 f(a)=a(x2+x)-2x-2，则当 a1,3时 f(a)0 恒成立.22(1)20,(3)32021,213fxxfxxxxxx 或或 得 x2 或 x2 或 x-1.1.（不等式选做题）若关于x的不等式|1|2|axx存在实数解，则实数a的取值范围是 【分析】先确定|1|2|xx的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可【解】当1x时，|1|2|12213xxxxx ；当12x 时，|1|2|123xxxx；当2x 时，|1|2|12213xxxxx ；综上可得|1|2|3xx，所以只要|3a，

15、解得3a或3a，即实数a的取值范围是(,33,)【答案】(,33,).1 不等式22214xaxax对一切xR 恒成立，则实数a的取值范围是_ 解析：不等式22214xaxax对一切xR 恒成立,即 014)2(2axxa 对一切xR 恒成立 若2a=0,显然不成立 若2a0，则002a 2a 2.若不等式x2ax10 对于一切x（0，12）成立，则a的取值范围是（）A0 B 2 C-52 D-3 解析：设f（x）x2ax1，则对称轴为xa2,若a212，即 a1 时，则f（x）在0，12上是减函数，应有f（12）052x1 若a20，即a0时，则f（x）在0，12上是增函数，应有f（0）10

16、恒成立，故 a0 若0a212，即1a0，则应有f（a2）222aaa110424 恒成立，故1a0 综上，有52a,故选 C 4、已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围_（答：1a）3、若 不 等 式)1(122xmx对 满 足2m的 所 有m都 成 立，则x的 取 值 范 围 _（答：（712,312）；5、若不等式22210 xmxm 对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答：12m ）1已知y13x3bx2(b2)x3 是 R 上的单调增函数，则b的取值范围是()Ab1 或b2 Bb2 或b2 C1b2 D1b2 解析 D 由题意，得yx22bxb2

17、0 在 R 上恒成立，4b24(b2)0，解得1b2.2函数f(x)13x312(2a)x22ax5 在区间1,1上不单调，则a的取值范围是_ 解析 f(x)x2(2a)x2a(x2)(xa)0 的两根为x12，x2a.若f(x)在1,1 上不单调，则1a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_ 解析 由题意知，f(x)3x2a在1，)上有 3x2a0 恒成立，a(3x2)min，而 (3x2)min3，a3.4已知f(x)exax1.若f(x)在定义域 R 内单调递增，求a的取值范围 解析 f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在 R 上单调递增，f(x)exa

18、0 恒成立，即aex，xR 恒成立 xR 时，ex(0，)，a0.即a的取值范围为(，0 5函数 f(x)24xmx5 在区间2，)上是增函数，则 f(1)的取值范围是_ 解析 由题意知m82，m16，f(1)9m25.6.已知函数13)(23xxaxxf在 R 上是减函数，求实数 a 的取值范围 解 由题意得f(x)3ax26x1.若f(x)在 R 上是减函数，则0)(xf(xR)恒成立，a0，3612a0，解得a3.故实数a的取值范围是(，3 7.已知函数1)(23xaxxxf在(，1上是增函数，试求实数 a 的取值范围 解析 f(x)3x22ax1，由于函数f(x)在(，1上是增函数，当

19、x(，1时，0)(xf(在个别点f(x)可以为 0)恒成立，即 3x22ax10 在x1 时恒成立令g(x)3x22ax1，4a2120 或16200)1(ag，即a23 或 a2，a23，a3.a23，即 3a 3.故a的取值范围是 3，3 1 已知函数),0(2Raxxaxxf若 xf在区间,2是增函数，求实数a的取值范围。解：22xaxxf，要使 xf在区间,2是增函数，只需当2x时，0 xf恒成立，即022xax，则,1623xa恒成立，故当16a时，xf在区间,2是增函数。3.（2009 江西卷文）设函数329()62f xxxxa（1）对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值

20、；（2）若方程()0f x 有且仅有一个实根，求a的取值范围 解析：(1)2()3963(1)(2)fxxxxx,因为(,)x ,()fxm,即 239(6)0 xxm恒成立,所以 81 12(6)0m,得34m ，即m的最大值为34 (2)因为 当1x 时,()0fx;当12x时,()0fx;当2x 时,()0fx;所以 当1x 时,()f x取极大值 5(1)2fa;当2x 时,()f x取极小值(2)2fa;故当(2)0f 或(1)0f时,方程()0f x 仅有一个实根.解得 2a 或52a.5.若21()ln(2)2f xxbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是（）A.1,)B.(1,)C.(,1 D.(,1)解析：题意可知()02bfxxx ，在(1,)x 上恒成立，即(2)bx x在(1,)x 上恒成立，由于1x ，所以1b ，故为正确答案