流体静力学基本方程式.pdf

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1、第一节 流体静力学基本方程式 流体静力学是研究流体在外力作用下达到平衡的规律。在工程实际中，流体的平衡规律应用很广，如流体在设备或管道内压强的变化与测量、液体在贮罐内液位的测量、设备的液封等均以这一规律为依据。1-1-1 流体的密度 一、密度 单位体积流体所具有的质量，称为流体的密度，其表达式为：Vm （1-1）式中 流体的密度，kg/m3；m流体的质量，kg；V流体的体积，m3。不同的流体密度不同。对于一定的流体，密度是压力 P 和温度 T 的函数。液体的密度随压力和温度变化很小，在研究流体的流动时，若压力和温度变化不大，可以认为液体的密度为常数。密度为常数的流体称为不可压缩流体。流体的密度

2、一般可在物理化学手册或有关资料中查得，本教材附录中也列出某些常见气体和液体的密度值，可供查用。二、气体的密度 气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。因此气体的密度必须标明其状态，从手册中查得的气体密度往往是某一指定条件下的数值，这就涉及到如何将查得的密度换算为操作条件下的密度。但是在压强和温度变化很小的情况下，也可以将气体当作不可压缩流体来处理。对于一定质量的理想气体，其体积、压强和温度之间的变化关系为 TVpTpV 将密度的定义式代入并整理得 TppT （1-2）式中 p气体的密度压强，Pa；V气体的体积，m3；T气体的绝对温度，K；上标“”表示手册中指定的条件。一般当压强不太高，温

3、度不太低时，可近似按下式来计算密度。RTpM （1-3a）或 000004.22TppTTppTM （1-3b）式中 p气体的绝对压强，kPa 或 kN/m2；M气体的摩尔质量，kg/kmol；T气体的绝对温度，K；R气体常数，8.314kJ/（kmolK）下标“0”表示标准状态（T0=273K，p0=101.3kPa）。三、混合物的密度 化工生产中所遇到的流体往往是含有几个组分的混合物。通常手册中所列的为纯物质的密度，所以混合物的平均密度m需通过计算求得。1液体混合物 各组分的浓度常用质量分率来表示。若混合前后各组分体积不变，则1kg 混合液的体积等于各组分单独存在时的体积之和。混合液体的平

4、均密度m为：nwnBwBAwAmxxx1 （1-4）式中 A、Bn液体混合物中各纯组分的密度，kg/m3；xwA、xwBxwn液体混合物中各组分的质量分率。2气体混合物 各组分的浓度常用体积分率来表示。若混合前后各组分的质量不变，则 1m3混合气体的质量等于各组分质量之和，即：m=AxVA+BxVB+nxVn （1-5）式中 xVA、xVBxVn气体混合物中各组分的体积分率。气体混合物的平均密度m也可按式 1-3a 计算，此时应以气体混合物的平均摩尔质量Mm代替式中的气体摩尔质量 M。气体混合物的平均分子量 Mm可按下式求算：Mm=MAyA+MByB+Mnyn （1-6）式中 MA、MBMn为

5、气体混合物中各组分的摩尔质量；yA、yByn气体混合物中各组分的摩尔分率。【例 1-1】已知硫酸与水的密度分别为 1830kg/m3与 998kg/m3，试求含硫酸为 60%（质量）的硫酸水溶液的密度为若干。解：根据式 1-4 9984.018306.01m =（3.28+4.01）10-4=7.2910-4 m=1372kg/m3【例 1-2】已知干空气的组成为：O221%、N278%和 Ar1%（均为体积%），试求干空气在压力为 9.81104Pa 及温度为 100时的密度。解：首先将摄氏度换算成开尔文 100=273+100=373K 再求干空气的平均摩尔质量 Mm=320.21+280

6、.78+39.90.01 =28.96 根据式 1-3a 气体的平均密度为：3kg/m916.0373314.896.281081.9m 1-1-2 流体的静压强 一、静压强 流体垂直作用于单位面积上的力，称为压强，或称为静压强。其表达式为 AFvp （1-7）式中 p流体的静压强，Pa；Fv垂直作用于流体表面上的力，N；A作用面的面积，m2。二、静压强的单位 在法定单位中，压强的单位是 Pa，称为帕斯卡。但习惯上还采用其它单位，如 atm（标准大气压）、某流体柱高度、bar（巴）或 kgf/cm2等，它们之间的换算关系为：1atm=1.033kgf/cm2=760mmHg=10.33mH2O

7、=1.0133bar=1.0133105Pa 三、静压强的表示方法 压强的大小常以两种不同的基准来表示：一是绝对真空；另一是大气压强。以绝对真空为基准测得的压强称为绝对压强，以大气压强为基准测得的压强称为表压或真空度。表压是因为压强表直接测得的读数按其测量原理往往就是绝对压强与大气压强之差，即 表压=绝对压强大气压强 真空度是真空表直接测量的读数，其数值表示绝对压强比大气压低多少，即 真空度=大气压强绝对压强 绝对压强、表压强与真空度之间的关系可用图1-1 表示。图 1-1 绝对压强、表压强和真空度的关系 1-1-3 流体静力学基本方程式 流体静力学基本方程是用于描述静止流体内部，流体在重力和

8、压力作用下的平衡规律。重力可看成不变的，起变化的是压力，所以实际上是描述静止流体内部压力（压强）变化的规律。这一规律的数学表达式称为流体静力学基本方程，可通过下述方法推导而得。在密度为的静止流体中，任意划出一微元立方体，其边长分别为 dx、dy、dz，它们分别与 x、y、z轴平行，如图 1-2 所示。由于流体处于静止状态，因此所有作用于该立方体上的力在坐标轴上的投影之代数和应等于零。对于 z 轴，作用于该立方体上的力有：图 1-2 微元流体的静力平衡 （1）作用于下底面的压力为 pdxdy。（2）作用于上底面的压力为yxzzppddd。（3）作用于整个立方体的重力为gdxdydz。z 轴方向力

9、的平衡式可写成：pdxdyyxzzppdddgdxdydz=0 即 0ddddddzyxpgzyxzp 上式各项除以 dxdydz，则 z 轴方向力的平衡式可简化为 0pgzp （1-8a）对于 x、y 轴，作用于该立方体的力仅有压力，亦可写出其相应的力的平衡式，简化后得 x 轴 0 xp （1-8b）y 轴 0yp （1-8c）式 1-8a、式 1-8b、式 1-8c 称为流体平衡微分方程式，积分该微分方程组，可得到流体静力学基本方程式。将式 1-8a、1-8b、1-8c 分别乘以 dz、dx、dy，并相加后得 zgzzpyypxxpdddd （1-8d）上式等号的左侧即为压强的全微分 dp

10、，于是 dp+gdz=0 （1-8e）对于不可压缩流体，=常数，积分上式,得 gzp=常数 （1-8f）液体可视为不可压缩的流体，在静止液体中取任意两点，如图 1-3 所示，则有 2211gzpgzp （1-9a）或 p2=p1+g(z1z2)(1-9b)图 1-3 静止液体内的压强分布 为讨论方便，对式 1-9b 进行适当的变换，即使点 1 处于容器的液面上，设液面上方的压强为 p0，距液面 h 处的点 2 压强为 p，式 1-9b 可改写为 p=p0+gh （1-9c）式 1-9a、式 1-9b 及式 1-9c 称为流体静力学基本方程式，说明在重力场作用下，静止液体内部压强的变化规律。由式

11、 1-9c 可见：（1）当容器液面上方的压强 p0一定时，静止液体内部任一点压强 p 的大小与液体本身的密度和该点距液面的深度 h 有关。因此，在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压强都相等；（2）当液面上方的压强 p0有改变时，液体内部各点的压强 p 也发生同样大小的改变；（3）式 1-9c 可改写为hgpp0；上式说明，压强差的大小可以用一定高度的液体柱表示。用液体高度来表示压强或压强差时，式中密度影响其结果，因此必须注明是何种液体。（4）由式 1-8f，式中 gZ 项可以看作为 mgz/m，其中 m 为质量。这样，gz 项实质上是单位质量液体所具有的位能。p/相应的就是单位

12、质量液体所具有的静压能。位能和静压能都是势能，式 1-8f 表明，静止流体存在着两种形式的势能位能和静压能，在同一种静止流体中处于不同位置的流体的位能和静压能各不相同，但其总势能则保持不变。若以符号Ep/表示单位质量流体的总势能，则式 1-8f 可改写为：pEpgz常数 即 Ep=p+gz Ep单位与压强单位相同，可理解为一种虚拟的压强，其大小与密度有关。虽然静力学基本方程是用液体进行推导的，液体的密度可视为常数，而气体密度则随压力而改变。但考虑到气体密度随容器高低变化甚微，一般也可视为常数，故静力学基本方程亦适用于气体。【例 1-3】本题附图所示的开口容器内盛有油和水。油层高度 h1=0.7

13、m、密度1=800kg/m3，水层高度h2=0.6m、密度2=1000kg/m3。（1）判断下列两关系是否成立，即 pA=pA pB=pB（2）计算水在玻璃管内的高度 h。解：（1）判断题给两关系式是否成立 pA=pA的关系成立。因 A 与 A两点在静止的连通着的同一流体内，并在同一水平面上。所以截面 A-A称为等压面。pB=pB的关系不能成立。因 B 及 B两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种流体，即截面 B-B不是等压面。（2）计算玻璃管内水的高度 h 由上面讨论知，pA=pA，而 pA=pA都可以用流体静力学基本方程式计算，即 pA=pa+1gh1+2gh2 pA=pa+

14、2gh 于是 pa+1gh1+2gh2=pa+2gh 简化上式并将已知值代入，得 8000.7+10000.6=1000h 解得 h=1.16m 例 1-3 附图 1-1-4 流体静力学基本方程式的应用 一、压强与压强差的测量 测量压强的仪表很多，现仅介绍以流体静力学基本方程式为依据的测压仪器。这种测压仪器统称为液柱压差计，可用来测量流体的压强或压强差。1U 型压差计 U 型压差计结构如图 1-4 所示，内装有液体作为指示液。指示液必须与被测液体不互溶，不起化学反应，且其密度A大于被测流体的密度。当测量管道中A、B 两截面处流体的压强差时，可将 U 型管压差计的两端分别与 A 及 B 两截面测

15、压口相连。由于两截面的压强 p1和 p2不相等，所以在 U 形管的两侧便出现指示液液面的高度差 R。因 U 形管内的指示液处于静止状态，故位于同一水平面 1、2 两点压强相等，即 p1=p2据流体静力学基本方程可得：p1=pA+gh1 p2=B+g(h2R)+AgR 于是（pA+gzA）（pB+gzB）=Rg（A）或 E1E2=Rg（A）（1-10）式 1-10 表明，当压差计两端流体相同时，U 形管压差计直接测得的读数 R 实际上并不是真正的压差，而是 1，2 两截面的虚拟压强之差Ep。只有两测压口处于等高面上，zA=zB（即被测管道水平放置）时，U 形压差计才能直接测得两点的压差。pApB

16、=（A）gR 同样的压差，用 U 形压差计测量的读数 R 与密度差（A）有关，故应合理选择指示液的密度A，使读数 R 在适宜的范围内。2斜管压差计 当被测量的流体的压差不大时，U 形压差计的读数 R 必然很小，为了得到精确的读数，可采用如图 1-5 所示的斜管压差计。此压差计的读数 R与 R 的关系为：R=R/sin （1-11）式中为倾斜角，其值越小，将 R 值放大为 R的倍数愈大。3微差压差计 若所测得的压强差很小，为了把读数 R 放大，除了在选用指示液时，尽可能地使其密度A与被测流体相接近外，还可采用如图 1-6 所示的微差压差计。其特 图 1-4 U 形压差计 1-5 倾斜液柱压差计

17、图 1-6 微差压差计 点是：（1）压差计内装有两种密度相接近且不互溶的指示液 A 和 C，而指示液 C 与被测流体B 亦不互溶。（2）为了读数方便，U 形管的两侧臂顶端各装有扩大室，俗称“水库”。扩大室内径与U 形管内径之比应大于 10。这样，扩大室的截面积比 U 形管的截面积大很多，即使 U 型管内指示液 A 的液面差 R 很大，而扩大室内的指示液 C 的液面变化仍很微小，可以认为维持等高。于是压强差 p1p2便可用下式计算，即 p1p2=（AC）gR （1-12）注意：上式的（AC）是两种指示液的密度差，不是指示液与被测液体的密度差。【例 1-4】如本题附图所示，在异径水平管段两截面（1

18、-1、2-2）连一倒置 U 管压差计，压差计读数 R=200mm。试求两截面间的压强差。解：因为倒置 U 管，所以其指示液应为水。设空气和水的密度分别为g与，根据流体静力学基本原理，截面 a-a为等压面，则 pa=pa 又由流体静力学基本方程式可得 pa=p1gM pa=p2g（MR）ggR 联立上三式，并整理得 p1p2=（g）gR 由于g，上式可简化为 p1p2gR 所以 p1p210009.810.2=1962Pa【例 1-5】如本题附图所示，蒸汽锅炉上装置一复式 U 形水银测压计，截面 2、4 间充满水。已知对某基准面而言各点的标高为 z0=2.1m，z2=0.9m，z4=2.0m，z

19、6=0.7m，z7=2.5m。试求锅炉内水面上的蒸汽压强。解：按静力学原理，同一种静止流体的连通器内、同一水平面上的压强相等，故有 p1=p2，p3=p4，p5=p6 对水平面 1-2 而言，p2=p1，即 p2=pa+ig（z0z1）对水平面 3-4 而言，p3=p4=p2g（z4z2）对水平面 5-6 有 p6=p4+ig（z4z5）锅炉蒸汽压强 p=p6g（z7z6）p=pa+ig（z0z1）+ig（z4z5）g（z4z2）g（z7z6）例 1-4 附图 例 1-5 附图 则蒸汽的表压为 ppa=ig（z0z1+z4z5）g（z4z2+z7z6）=136009.81(2.10.9+2.0

20、0.7)10009.81 (2.00.9+2.50.7)=3.05105Pa=305kPa 二、液面的测量 化工厂中经常需要了解容器里物料的贮存量，或要控制设备里的液面，因此要对液面进行测定。有些液位测定方法，是以静力学基本方程式为依据的。最原始的液位计是在容器底部器壁及液面上方器壁处各开一个小孔，两孔间用短管、管件及玻璃管相连。玻璃管内液面高度即为容器内的液面高度。这种液面计结构简单，但易于破损，而且不便于远处观测。如图 1-7 所示，是一远距离液面计装置。自管口通入压缩空气（若贮罐5 内液体为易燃易爆液体则用压缩氮气），用调节阀 1 调流量，使其缓慢地鼓泡通过观察瓶后通入贮罐。因通气管内压

21、缩空气流速很小，可以认为贮罐内通气管出口处 a 截面，与通气管上 U 形压差计上 b 截面的压强近似相等，即 papb。若pa与 pb均用表压强表示，根据流体静力学基本方程式得 pa=gh pb=AgR 所以，RhA （1-13）式中 A、分别为 U 形压差计指示液与容器内液体的密度，kg/m3；RU 形压差计指示液读数，m；h容器内液面离通气管出口的高 度，m。三、液封高度的确定 化工生产中经常遇到设备的液封问题。设备内操作条件不同，采用液封的目的也就不同。但其液封的高度都是根据流体静力学本方程确定的。如图 1-8，为了控制乙炔发生炉内的压强不超过规定的数值，炉外装有安全液封。其作用是当炉内

22、压力超过规定值时，气体就从液封管排出，以确保设备操作的安全。若设备要求压力不超过 p1（表压），按静力学基本方程式，液封管插入液面下的深度 h 为 1-7 远距离液面计装置 1调节阀 2鼓泡观察器瓶 3U 管压差计 4通气管 5贮罐 图 1-8 a乙炔发生炉 b液封管 gphOH21 （1-14）真空蒸发产生的水蒸汽，往往送入如图 1-9所示的混合冷凝器中与冷水直接接触而冷凝。为了维持操作的真空度，冷凝器上方与真空泵相通，不时将器内的不凝气体（空气）抽走。同时为了防止外界空气进入，在气压管出口装有液封。若真空表读数为 p，液封高度为 h，则根据流体静力学基本方程可得：phg （1-15）图 1-9 1与真空泵相通的不凝性气体出口 2冷水进口 3水蒸气进口 4气压管 5液封槽