点到直线的距离【原创精品】.pdf

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1、 点到直线的距离教案【课题】点到直线的距离 一 教学目标 1教材分析 教学内容 点到直线的距离是全日制普通高级中学教科书（必修人民教育出版社）第二册（上），“73 两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用 地位与作用 本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用 2学情分析 高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具

2、备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法 3教学目标 依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标 知识技能 理解点到直线的距离公式的推导过程；掌握点到直线的距离公式；掌握点到直线的距离公式的应用 数学思考 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力 解决问题 通过问题获得数学知识，经历“发现问题提出问题解决问题”的过程；由 探

3、索 点2,0P到 直 线0 xy的 距 离，推 广 到 探 索 点00,P xy到 直 线0AxByC22AB 0的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽 象的数学研究方法 情感态度 结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣 二 教学重点、难点 1教学重点 点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用 2教学难点 点到直线的距离公式的推导思路和算法分析 三教学过程 教学 环节 活 动 说 明 创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于 2 米 5 时，

4、就可能被吸入车轮下发生危险让学生直观感受几何要素“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣 现实模型：地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离（图片欣赏）生活实例（flash 动画演示）模 型 直 观 回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？1 点到直线的距离公式的推导过程（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）问题 1 如何求点(2,0)P到直线0 xy的距离？教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计学生：过点P作l的垂线PQ，垂足为Q，垂线段PQ的长度就是点P到直线l的距离 点P与直线l上所有点的连线中，垂线段最短 在 复 习旧 知 的基 础 上引 人 新课 新课引入 教 师 活

5、 动 学 生 活 动 算方法，结果是什么？方法 利用三角函数 解：过点P作l的垂线PQ，垂足为,Q:0,45,2,0,l xyQOPP2,OP2sin45222PQOP 教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以可以利用三角函数来解决问题 但如果直线位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故此法具有一定的局限性 方法 利用定义 解：过点P作l的垂线PQ，设垂足为.Q:0,2,0,:2,l xyPPQ yx 1,2,.21yxxxxyxy 221,1,21012.QPQ 方法 利用函数的思想 解：设直线l上的点00(,)Q xy，则 minPldQP直线，000,0

6、,xyxy 22220000020(2)442(1)22.QPxyxxxx当01x 时，取得等号，即点 1,1.Q 教师：我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离，再通过二次函数求最小值的方法解决本题 强调：点00(,)Q xy在直线l上，故00 xy、满足直线方程；当等号成立时，指明此时点Q的坐标，并 问题 1 学生作图后，结合图象，分组讨论怎样计算PQ 方法 利用三角函数 学生：由于点和直线的位置很特殊，可以利用三角函数来解决 方法 利用定义（由于前面复习了点到直线的距离的定义，所以学生容易想到利用定义解决问题）学生：利用定义解决问题 方法 利用函数的思想（在前面复习中强调了垂线段最短

7、，所以可以引导学生，利用二次函数求最小值的方法解决问题）学生：可以利用二次函数求最小值的方法解决问题 学生的解答中，可能会忽略取得等号的条件，教师要引导学生思考，取得等号时由 于 教材 上 对于 点 到直 线 的距 离 公式 的 证明 比 较抽 象，所 以 补充 了 两个 由 浅人 深 的具 体 问题，为后 面 推广 到 一般 情 况作 好 铺垫 补 充 的问题1，由 于 点和 直 线的 位 置非 常 特殊，所以 学 生容 易 回答，教师 要 鼓励 学 生利 用 多种 方 法解 决 问题 1 方 法 利 用 了探 索 思 考 探 索 思 x y O:0l xy 2,0P Q :0l xy 2,

8、0P Q x y O Q 与方法得到的点Q的坐标进行比较 方法 利用直角三角形的面积公式 教师：由于PQl，所以我们还可以想到什么方法来计算呢？教师：应该如何构造三角形呢？如何添作辅助线是学生的一个思维难点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识，从而得到辅助线的添作方式 解：过点P作lx、轴的垂线PQPR、，交点为点.QR、2 0,PyxR，2,2 2,2.OPPR,PROPQPOROPRRt中，2 222,2.QPQP 问题2如何求点(4,2)P到直线220 xy的距离？（类比问题 1 的四种解法，让学生独立思考问题 2 课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过

9、程）（以下有关例题 2 的解题过程仅供资料查阅，而不在课堂上讲解）方法 利用三角函数 2 54,tan2,sin.52 58 5sin4.55PSQSPQSPPQSPQSP 方法 利用函数的思想 设点00(,)Q xy在直线上，则00220.xy 点Q的坐标，并与前面两种方法所得答案进行对比 方法 利用直角三角形的面积公式 学生：三角形面积公式 学生：过点P作lx、轴的垂线PQPR、，构造Rt OPR 对于问题 1 的四种解法，学生可能回答不完全，教师要补充完整 问题 2 方法 利用三角函数 方法 利用函数的思想 类 比 化归 的 思想，为后 面 将两 平 行直 线 间的距离，转化 为 点到

10、直 线的 距 离奠 定 基础 强 调 数形 结 合的思想 改 变 问题 1 中几 何 元素：点、直 线 的位 置，引 出 问题 2 类 比 问题 1，让学 生 独探 索 :0l xy 2,0P x y O Q R y Q:220lxy O x y 4,2P Q:220lxy S 22002200020020(4)2816458164648 55.555QPxyxxxxxx 当045x 时，取得等号，即点4 1855Q，方法 利用定义 过点P作l的垂线PQ，设垂足为.Q:220,4,2,1:24,2lxyPPQ yx 42215,224,.1182425yxxxxyxy 224 18,55418

11、8 542.555QPQ 方法 利用直角三角形的面积公式 过点P作lx、轴、y轴的垂线PQPR、，交点为点QR、.S,P 4，2:220,lxy 4,10,0,2,RS 4,8,SPPR，中，PRSPQPSRSPRRt 8 54 548,.5QPQP 问 题 3 如 何 求 点P00(,)xy到 直 线0AxByC的距离（220AB）？教师：你能否类比问题 1、2 解决本问？方法 利用定义 方法 利用直角三角形的面积公式 问题 3 立 思 考问 题 2的 不 同法 课堂 上 只要 求 学生 说 明解 题 思路，而不 要 求解 题 过程 在 点 到直 线 的距 离 公式 的 推导 过 程中，渗探

12、 索 思 4,2P x y Q:220lxy O R S O x y 4,2P Q:220lxy 教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？教师：对于00AB或的特殊情况，你可以怎样处理？方法 利用定义的算法思路 方法 利用直角三角形的面积公式的算法思路 教师：如果类比问题 1、2，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？学生讨论：前面四种证明方法的都可行，但利用三角函数和利用二次函数求最小值的方法，相对要复杂一些 方法 利用定义的算法 学生分析解题思路，整理出算法框图 学生的回答可能会忽略 00kA即这个条件限制，教师要给予纠正并强调直线l的斜率是否存在，主要取决于分母k

13、是否为0，这也是对前面知识的巩固 学生：对于00AB或的特殊情况，可以结合图象直接得出结论 方法 利用直角三角形的面积公式的算法 学生：先添作辅助线，过点P作x轴、y轴的垂线交l于点RS、，再利用直角三角形的面积公式进行计算 透 算 法的思想 对 于 方法 ，教 材 上只 说 明了 算 法步 骤，而 省 略了 繁 琐的 证 明过 程，所 以 只要 求 学生 理 清算 法 思路、给出框图，不要 求 证明过程 对 于 方法 ，引 导 学生 理 清算 法 思路，再根 据 算法框图，指导 学 生自 学 教材 的 证明过程，培养 学 生的 数 学阅 读 能力 和 获取 信 息 过点P作x轴、y轴的垂线交

14、l于点RS、求出PRPS、利用勾股定理求出RS 根据面积相等知dRSPRPS 得到点P到l的距离dPQ 用00 xy、表示点RS、的坐标 x y P Q R l O 探 索 思 得到点P到l的距离dPQ 确定直线l的斜率0k k 求过点P垂直于l的直线l的方程 求与l垂直的直线l的斜率1kk 求l与l的交点Q 求点P与点Q的距离:0l AxByC y x 00,P xy Q O 教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材52P的证明方法 方法 利用平面向量的算法思路 教师：直线l的斜率是什么？教师：若向量nl，你能表达n的一个坐标吗？教师：设点,M x y是直线l上任意一点，则PM的坐标是多少

15、？教师：设PMn与的夹角为，则PM n为多少？教师：结合图象，你能否表示出PQ？方法 利用平面向量的算法 学生：0AkBB 学生容易忽略0B 的限制条件，教师给予纠正 学生：,nA B 对于法向量n的理解是一个难点，同时学生得到的答案可能不统一教师引导学生从向量共线的角度加以分析，从而帮助学生理解 学生：00,PMxxyy 0000,cosyyBxxABAyyxxnPMnPM 学生：的能力 补 充 的方法，建立 在 学生 已 有的 平 面向 量 知识 的 基础上 课 堂 上只 要 求学 生 理清 算 法思 路，而 对 于这 种 方法 的 具体 解 决过 程，可 作 为课 后 思考作业 补 充

16、的方 法 为 今 后在 立 体几何 设点,M x y是直线l上任意 一点得00,PMxxyy 设PMn与的夹角为得cosPM nPM n 得到点P到l的距离cosPM ndPMn 求与l垂直的向量,nA B 探 索 思 考 ,M x y :0l AxByC y x 00,P xy Q O 22002200,BACByAxBABAyyxxd得到 2点到直线的距离公式 点00(,)P xy到直线0AxByC的距离2200BACByAxd（其中0AB、不同时为）教师：你能否利用点到直线的距离公式解决问题 1 和问题 2？并比较计算结果 3点到直线的距离公式的应用 例 1 求点0(1,2)P 到下列直

17、线的距离：2100;xy 32;x 37;xy 241.33yx 分析：2100;xy 可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝2200,cosBABAyyxxnnPMPMPQ 00220022AxByAxByABAxByCAB 当00AB或时，以上公式仍然成立 学生容易忽略距离是一个非负数，所以教师要强调cosPQPM应该加上绝对值符号 师生共同总结：对于点到直线的距离公式的理解 从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的点与直线上一点的连线的最短距离；使用点到直线的距离公式的前提条件，是把直线的方程化成一般式方程 如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式；若点P在直线上，则点P到

18、直线的距离为零，距离公式仍然成立；若 直 线 方 程 中 系 数00AB或的特殊情况，距离公式仍然成立，但一般情况下可以结合图形直接得到距离 师生共同讨论 中，利用 这 种算 法 思路 得 到点 到 平面 的 距离 公 式设 下 伏笔 前 后 呼应，使学 生 体会 运 用公 式 计算 的 简便性 例 1 中、两 个 问题 是 补充 的 内知 识 问 题 解 决 对值符号教师要给予纠正，强调距离是一个非负数 32;x 教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离，也可能会有学生是直接代人公式计算，教师指出对于0A或0B 的特殊情况，一般结合图形直接得到结论 37;xy 部分学生可能会对代入公式后

19、计算得0 这一结果感到困惑，教师要引导学生思考此时点与直线的位置关系，指出当点落在直线上时公式仍然成立 241.33yx 在补充的问题中所给出的直线方程不是一般式，所以在代人公式计算前，学生必须将直线方程化为一般式，以便确定系数AB、，从而达到强调公式运用前提的目的 教师：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数AB、的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要 例 2 已知点2,3A 到直线1yax的距离为2，求a的值；已知点2,3A 到直线yxa 的距离为2，求a的值 教师：如何求实数a的值？解：1

20、,10,yaxaxy 2223 1222,11aadaa 例 1 解：根据点到直线的距离公式，得 222(1)2 1021102 5.5d 解法 因直线32x 平行于y轴，所以 25(1).33d 解法 根据点到直线的距离公式，得5.3d :37,lxy 13 27.01,2P点落在直线上,0.d 另解：根据点到直线的距离公式，得0.d 24:1,33l yx:4320.lxy 根据点到直线的距离公式，例2 由学生分析解题思路，并按要求用数学语言表述过程 学生：中a表示直线的斜率；中a表示直线在y轴上的截距 学生：这两个小问的几何意义分别是 点1,2A 到两条直线的距离相等，所以点A在两条直线

21、所成角的角平分线上；容，目的 是 强化 点 到直 线 的距 离 公式 的 应用 前 提条件 例 1 主要 是 通过 直 接将 已 知点 的 坐标 代 人公 式 计算，强调 公 式的 形 式记 忆 和前 提 条件 在此 基 础上，由浅入深，补充 的 例2 中 直线 方 程含 有 参数，进一 步 提高 思 维难度 在 例 2中，由于 直 线方 程 中的 参 数都 具 有明 显 的几 何 意义，所知 识 22413 2212.543d 22222,aa 2248422,aaa22820,3232.aaaa 或,0,yxaxya 2312,22aad 12,31.aaa 或 教师：这两问直线方程中参数

22、a的几何意义是什么？教师：两个小问的几何意义是什么？（教师利用几何画板进行数学实验）例3 求平行线2780 xy和 2760 xy的距离 教师：这两条平行直线间的距离是否是固定的？教师：如何求这两条平行直线间的距离？教师：可以选择哪个点？解：在直线2760 xy上任取一点，例如(3,0),P则(3,0)P到直线2780 xy的距离就是两平行线间的距离因此 22237081414 53.53532(7)d 教师：是否可以在直线2760 xy上取一般的点00,P xy来求距离？推广到一般结论：例 求证：两平行直线 11:0,lAxByC22:0,lAxByC 所得的两条直线互相平行且距离为2 例

23、3 学生：两条平行直线间的距离处处相等；学生：将两平行直线之间的距离转化为一直线上一点到另一条直线的距离；学生：选择点(3,0)P 学生：可以选择一般的点 解：设直线上一点00(,),P xy 0000222760,278276814 53.5353xyxyd 以 在 解出 参 数a的 值后，要引 导 学生 思 考其 几 何意义 补 充 的例 题 2既 考 察了 学 生对 公 式的 掌 握情 况，又 为 下节 课 研究 对 称问 题 和直 线 系问 题 设下伏笔 由 例 2 的 几何 意 义可 以 引出 教 材的 例 题3 例 3 采用 了 类比 化 归的 思 想方 法，同 时 引知 识 12

24、(,0)A BCC且的距离为1222.CCdAB 证明：设点00(,)P xy是直线20AxByC上任一点，则点P到直线10AxByC的距离为00122.AxByCdAB 0020,AxByC002,AxByC 1222.CCdAB 两平行直线的距离公式：11:0,lAxByC22:0,lAxByC12(,0)A BCC且的距离为1222.CCdAB 教师：两平行线的距离公式不要求记忆 在求两条平行线间的距离时，一般仍利用化归思想转化为直线上一特殊点到另一直线的距离来处理 课堂练习 求下列两条平行线的距离：2380,23180;xyxy 3410,340;xyxy 312,xy 6420.xy

25、 例 4 师生共同总结：应用公式的前提是应先将两直线方程化为一般形式，使对应系数AB、化为相等（两直线平行），再代人公式计算；两平行线间的距离可转化为其中一条直线上的一个特殊点到另一条直线的距离 课堂练习 学生独立完成 解：2 13;d 2;d 3210,xy 6420,xy 221 1213;1332d 学生容易解错：出例 4 例 4 教材 中 是以 习 题的 形 式出现的（教 材5415P）补 充 的课 堂 练习 的目的是，强调 运 用公 式 的前 提 条件 2212313.1332d 请其他同学分析错误原因 教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容 课后作业 利用向量的方法证明点到直线

26、的距离公式；教材547.3P 习题 13、14、16 （通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化，使学生再次巩固知识，明确方法）学生归纳总结 本课主要学习了以下内容：点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法；点到直线的距离公式：点00(,)P xy到 直 线0AxByC（其中0AB、不同时为）的距离 0022AxByCdAB 说明：对于00AB或的特殊情况时公式仍然适用 应用点到直线的距离公式的前提条件 板书设计：课 堂 小 结 课题：点到直线的距离 1 问题 1 如何求点(2,0)P到直线0 xy的距离？方法 方法 方法 方

27、法 2 问题 2 如何求点(4,2)P到直线220 xy的距离？3 问题 3 如何求点P00(,)xy到直线0AxByC 的距离（220AB）？方法 利用定义的算法框图 方法 利用直角三角形的面积公式的算法框图 方法 利用平面向量的算法框图 点到直线的距离公式 4典型例题 例 1 例 2 例 3 例 4 5课堂练习 6课堂小结 7课后作业 设计说明：1对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；2由于点到直线的距

28、离公式的证明过程含字母运算，比较抽象如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；3由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃的学情特点，本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法实际上，在以后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式但由于这种方法有一定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给出的证明方法并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式；4现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；5学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的