江苏省普通高校“专转本”统一考试数学模拟试卷与解析(五).pdf

《江苏省普通高校“专转本”统一考试数学模拟试卷与解析(五).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省普通高校“专转本”统一考试数学模拟试卷与解析(五).pdf（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 江苏省普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（五）解析 高等数学 注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题 24 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、已知5lim6,1xaxx则常数a（）A、1 B、5 C、6 D、1 2、函数(0)xyxx的导数为（）A、1xyxx B、lnxyxx C、1lnxxyxxxx D、(ln1)xyxx 3、0(

2、)0fx是()yf x的图形在0 x处有拐点的（）A、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D、以上说法都不对 4、若21()(0)fxxx，则()f x（）A、1Cx B、2 xC C、xC D、ln xC 5、广义积分0 xe dx（）A、不收敛 B、1 C、1 D、0 6、设cosxzey，则2zx y（）A、sinxey B、sinxxeey C、cosxey D、sinxey 2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 24 分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、设)(xf为连续函数，则dxxxxfxf311)()(8、2sinbadx dxda_(其中a为变量，b

3、为常量)。9、设22ln()zxy，则定积分11xydz_ 10、设(1,0,2)a，(3,1,1)b ，则a b_，a b_ 11、设1nnna x的收敛半径为R，则21nnna x的收敛半径为_ 12、交换二次积分次序dxyxfdyeey10,_ 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）。13、讨论函数111()1xxef xe的连续性，若有间断点，判断其类型。14、设xxtxtxttflim)(，求)(tf。3 15、求不定积分xex1d。16、计算2211xdxx。17、求2(6)20yx yy的通解。4 18、计算2Dxdxdyy，其中D由直线2,yyx和曲线1

4、xy 所围成。19、设22(sin,)zf yx xy其中(,)f u v具有二阶连续偏导数，求2zx y。20、求过点1,2,1且垂直于直线23020 xyzxyz 的平面方程。5 四、证明题（每小题 9 分，共 18 分）21、设函数()f x在闭区间 0,1上可微，对闭区间 0,1上的每一点x，函数()f x的值都在开区间0,1内，且()1fx。证明：在开区间0,1内仅有唯一的一点x，使得()f xx。22、设22()zf xy，且()f u可微，证明：0zzyxxy。6 五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）23、设曲线24xxy（1）在曲线上求一点，使过该点的切线L平行于x轴；

5、（2）求由上述切线L与该曲线及y轴所围平面图形的面积；（3）求（2）中平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。24、欲造一个体积为常量V的圆柱体（顶与底都是水平面）容器，已知底面和顶面的单位造价是其侧面单位造价的 2 倍，问如何设计其尺寸使得总造价最小？7 江苏省 2012 年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（五）高等数学 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、已知5lim6,1xaxx则常数a（）A、1 B、5 C、6 D、1 解析：该题为极限反问题，考查有理分式极限 l

6、immxnPxPx，只需比较分子与分母的次数即可，先判断极限类型，若是00或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为00或型。0,lim,mxnmnPxmnPxmn分子与分母最高次系数之比值，；故6a。故本题答案选 C 2、函数(0)xyxx的导数为（）A、1xyxx B、lnxyxx C、1lnxxyxxxx D、(ln1)xyxx 解析：该题考查幂指函数的求导，方法：对数求导法。lnxxxyxe，则ln(ln1)(ln1)xxxyexxx，故本题答案选 D 另外，对由乘除法、乘方、开方等构成的复杂的四则运算一般用对数求导法，取对数的好处是将真数的乘除法转化为对数的加减法，求导变得更加简

7、单。3、0()0fx是()yf x的图形在0 x处有拐点的（）A、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D、以上说法都不对 解析：曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在()0fx的点或)(xf 不存在的点。由于多项式函数处处二阶可导，故拐点处的二阶导数一定为零。反过来，如果0()0fx，则00,()xf x未必是拐点，关键再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。例如3yx与4yx，在0 x 处的二阶导数均为零，0,0是曲线3yx的拐点，但不是8 4yx的拐点。综上，本题答案选 D 4、若21()(0)fxxx，则()f x（）A、1Cx B、2 xC C、xC D、ln xC 解析

8、：本题考察导数与积分的关系，令2,xtxt即（0 x），于是1()(0)f ttt，两边对t积分，得()2f ttC，故()2f xxC 本题答案选 B 5、广义积分0 xe dx（）A、不收敛 B、1 C、1 D、0 解析：积分限为无穷的广义积分，当收敛时其收敛值的计算和正常的定积分一样，也有类似的牛顿-莱布尼兹公式：()()()()aaf x dxF xFF a，所以 001xxe dxe，本题答案选 B 6、设cosxzey，则2zx y（）A、sinxey B、sinxxeey C、cosxey D、sinxey 解析：该题考察二元显函数偏导数的求法，偏导数的本质就是将其中一个变量当作

9、常量对另一个变量的导数。cosxzeyx（这里先将cosxey中的y当作常量对x求导），2()(cos)sinxxzzeyeyx yyxy （这里将cosxey中的x当作常量对y求导）故本题答案选 D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 24 分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、设)(xf为连续函数，则dxxxxfxf311)()(9 解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。00,()()2(),()aaaf xf x dxf x dx f x为奇函数为偶函数 函数()()f xfx是偶函数，3()()f xfx x是奇函数，131()()

10、0f xfx x dx，而114410225x dxx dx，故1312()()5f xfxx x dx。8、2sinbadx dxda_(其中a为变量，b为常量)。解析：该题考察定积分的基本概念,变上限函数的求导公式。定积分01()lim()nbiiaif x dxfx，其本质是和式极限，为一个确定的数值，当然()0badf x dxdx，而()f x的不定积分就是找那些导数为()f x的所有函数全体（只相差任意常数C），不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。于是，()()fx dxf xC；()()df x dxf xdx。变上限函数的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容

11、易记牢，在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆()()()()()()()()b xb xa xa xf t dtF tF b xF a x()()()()()()()()()b xa xf t dtF b xF a xf b x b xf a x a x 变下限函数的求导公式，只需交换积分上下限，结果相差一个负号，故2sinbadx dxda2sina。9、设22ln()zxy，则定积分11xydz_ 解析：该题考察多元函数的全微分 若(,)zf x y可微，则(,)(,)xydzfx y dxfx y dy，00(,)0000(,)(,)xyxydzfxy dxfxy dy 本题中，22

12、2222xydzdxdyxyxy，代入点 1,1有11xydzdxdy。10 10、设1,0,2a，3,1,1b ，则a b_，a b_ 解析：该题考察向量的基本运算数量积与向量积。两向量数量积为对应分量乘积之和，结果是一个数量。两向量向量积结果是一个向量。,a b ab三者方向满足右手规则，sina bab，其中为两向量的夹角。两向量垂直的充要条件是数量积为 0。（平行的充要条件是向量积为 0 向量或分量对应成比例）由条件1,0,23,1,15a b ，102252,5,1311ijka bijk 11、设1nnna x的收敛半径为R，则21nnna x的收敛半径为_ 解析：对于幂级数0nn

13、na x，如果1limlimnnnnnnaaa（或），则 收敛半径1R，收敛区间为,R R，若求收敛域，只需再考查1()nnnaR的收敛性。若幂级数0nnna x缺少的奇次项（偶次项）或上述极限不存在（不是无穷），则此时将x当作常量转化为常数项级数处理。本题1nnna x的收敛半径为R，即xR时，幂级数0nnna x收敛，xR时，幂级数0nnna x发散；于是令2xt，tR时，即xR幂级数0nnna t收敛；tR时，即xR，幂级数0nnna t发散；故21nnna x的收敛半径为R。对于幂级数01()nnnaxx只需作变量代换0 xxt转化为1nnna t即可。12、交换二次积分次序dxyxf

14、dyeey10,_ 解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的11 积分顺序。积分区域 01:yyDexe转化为1:0lnxeDyx 故1ln010,(,)yeexedyf x y dxdxf x y dy。三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）。13、讨论函数111()1xxef xe的连续性，若有间断点，判断其类型。解析：函数()f x在0 x处连续的定义为00lim()()xxf xf x。实际上包含三个条件（1）函数()f

15、x在0 x处必须有定义；（2）函数()f x在0 x处的极限存在；（3）函数()f x在0 x处的极限值必须等于函数值；当上述三个条件不全满足时的点即为函数()f x的间断点。而初等函数在定义区间之内均是连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。根据点0 x处的极限情况来加以分类：相等：可去间断点左右极限均存在：第一类不相等：跳跃间断点若有一个为：无穷间断点左右极限至少有一个不存在：第二类均不为无穷，函数不停振荡：振荡间断点即本题函数在0 x处没有定义，但 11001lim()lim11xxxxef xe ，这里因为10lim0 xxe；11001lim()lim

16、11xxxxef xe ，这里因为10limxxe ；左右极限均存在且相等，故0 x 为函数111()1xxef xe的跳跃间断点。12 14、设xxtxtxttflim)(，求)(tf。解析：这种函数表达式用极限来定义的，应该引起同学们的关注。首先求出极限（t当作常量），这是考查第二重要极限1lim(1)e。2222()limlim1txx tx txttxxxttf ttttextxt，故 ttettetf22)21()(。15、求不定积分xex1d。解析：该题第二类换元法中的根式代换，令1xet，则xex1d=2121ln11ttdtCt tt =11ln11xxeCe 另外，该题也可使

17、用凑微分法，1()()xxxxf ee dxf ede是经常遇见的固定类型 2222222ddd111d22ln11()xxxxxxxxxxxexexeeeeeeeCe；其中最后一步用公式：2222dlnxxaxCax 16、计算2211xdxx。解析：定积分计算主要依据牛顿莱伯尼兹公式：设CxFdxxf)()(，则 ()()()()bbaaf x dxF bF aF x。其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第类直接交换法，注意积分限的变化：111()()()()()()xtbbaatxf x dxftt dt。13 本题为含绝对值的分段函数，利用函

18、数的可拆分性质，插入使绝对值为 0 的点，去掉绝对值，直接积分即可 20222211020221011111252xxxdxdxdxxxxx 17、求2(6)20yx yy的通解。解析：解微分方程首先要判别类型，该方程可化为220(6)dyydxyx为一阶方程，但不是同学们熟悉的类型，而一阶线性非齐次方程的标准形式：()()dyP xyQ xdx，其通解为()()()P x dxP x dxyeQ x edxC 另外，有时需将变量x和y对调位置，化为()()dxP yxQ ydy，其通解为()()()P y dyP y dyxeQ y edyC 本题220(6)dyydxyx进一步化为312d

19、xxydyy，于是该方程的通解为()()3323()1()212P y dyP y dydydyyyxeQ y edyCey edyCycy 18、计算2Dxdxdyy，其中D由直线2,yyx和曲线1xy 所围成。解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。首先要画出积分区域（如图），然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。一般当被积函数形如22()f xy，区域形状为圆形、圆环、扇形（环）14 等，往往使用极坐标计算；否则，往往用直角坐标计算。本题首先画出积分区域图，求出边界曲线的交点坐标1(,2),(1,

20、1),(2,2),2ABC选择先对x积分，这时12:1yDxyy；22322111122411()31149()372yyyyDxxxdxdydydxdyyyyydyy 19、设22(sin,)zf yx xy其中(,)f u v具有二阶连续偏导数，求2zx y。解析：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。第一步：变量zyx,的关系网络图 12xyzxy 其中 1，2 分别表示22sin,yx xy 第二步：寻找与x对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”2212(sin)()xxzf yxfxyx12cos2f yxxf 2zx y 12112(cos2)()coscos2()y

21、yyf yxxffyxfxx f 2222111212122(sin)()coscos2(sin)()yyyyfyxfxyyxfxx fyxfxy 111212122sin2 coscos2 sin2fxyfyxfxx fxyf 20、求过点1,2,1且垂直于直线23020 xyzxyz 的平面方程。解析：求平面方程，基本方法是使用点法式。求出平面上的一个定点和法向量n。15 平面上的定点1,2,1已知，直线23020 xyzxyz 是两平面230 xyz与20 xyz的交线，它们法向量分别为11,2,1n，21,1,1n，故该直线方向向量s可取 12121231,2,3111ijksnnij

22、k 所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0 xyz，即230 xyz。四、证明题（每小题 9 分，共 18 分）21、设函数()f x在闭区间 0,1上可微，对闭区间 0,1上的每一点x，函数()f x的值都在开区间0,1内，且()1fx。证明：在开区间0,1内仅有唯一的一点x，使得()f xx。解析：遇到至少存在一点x的问题，通常使用介质定理，零点定理。还有罗尔定理和拉格朗日中值定理。这种问题一般逆向思维构造辅助函数。（存在性）：令()()F xf xx，则函数()F x在闭区间 0,1上连续，且当 0,1x时，因为0()1f x，所以，(0)(0)00Ff，(0)(1)10Ff；因此由连

23、续函数的零点定理，知至少存在一点0,1x，使得()()0F xf xx，即至少存在一点0,1x，使得()f xx。（唯一性）：若存在两点12,0,1x x，12xx，使得1()f xx，22()f xx；由 Lagrange 中值定理，知至少存在一点1201xx，使得 112121212xxxxxxxfxff 这与题设中任意0,1x，()1fx相矛盾因此，在开区间0,1内仅有唯一的一点x，使()f xx。16 22、设22()zf xy，且()f u可微，证明：0zzyxxy。解析：二元抽象复合函数求一阶、二阶偏导数该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。设22uxy，则()zf u，从而，()2

24、zdzuf uxxdux ，()2zdzuf uyyduy，则()2()20zzyxyf uxxf uyxy，所以，原结论成立。五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）23、设曲线24xxy（1）在曲线上求一点，使过该点的切线L平行于x轴；（2）求由上述切线L与该曲线及y轴所围平面图形的面积；（3）求（2）中平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。解析：本题考查导数的几何意义，定积分的几何应用，应重点掌握。(1)设切点为),(00yx，由切线平行于x轴及导数几何意义，应有0|xdxdy，即0240 x，于是切点),(00yx为)4,2(；（2）切线L的方程为4y，于是所求面积为 38)4

25、(4202dxxxS；（3）所求旋转体体积为 15224)4(2420222dxxxV。24、欲造一个体积为常量V的圆柱体（顶与底都是水平面）容器，已知底面和顶面的单位造价是其侧面单位造价的 2 倍，问如何设计其尺寸使得总造价最小？解析：将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优化问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学17 等方面的内容。分析问题的流程为：（1）适当假设求解变量x；（2）函数关系)(xyy 确定；（3）0y 求解，交待y最大、最小的理由；（4）合理分析。注：第二步是整个问题的关键步骤，)3(中的理由部分可能是容易疏忽之处。设底面半径为r,高为h,侧面单位造价为k,底面和顶面的单位造价为2k，总造价为y，则rhkrky242,又hrV2，所以rkVrky242 )0(r 令34,0Vry得，此时316Vh。因为该实际问题有最值，且唯一驻点，即为最小值点。即当34Vr，rVh4163时，总造价最小。