第4讲_一元二次方程与二次函数.pdf

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1、中考数学重难点专题讲座 第 4 讲 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲【例 1】2010，西城，一模 已知：关于x的方程23(1)230mxmxm 求证：m取任何实数时，方程总有实数根；若二次函数213(1)21ymxmxm的图象关于y轴对称 求二次函数1y的解析式；已知一次函数222yx，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值12yy均成立；在条件下，若二次函数23yaxbxc的图象经过点(50)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy，均成立，求二次函数23yaxbxc的解析式【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这

2、是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论 M=0和 M0 两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于 Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为 0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y恰好是抛物线1y的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y用只含 a 的表达式表示出来,再利用132yyy,构建两个不等式,最终分析出 a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）

3、分两种情况：当0m 时，原方程化为033x，解得1x，（不要遗漏）当0m，原方程有实数根.当0m时，原方程为关于x的一元二次方程，222 31 4236930mmmmmm.原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于 0 就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.（2）关于x的二次函数32)1(321mxmmxy的图象关于y轴对称，0)1(3m.（关于 Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为 0）1m.抛物线的解析式为121 xy.221212210yyxxx，（判断大小直接

4、做差）12yy（当且仅当1x 时，等号成立）.（3）由知，当1x 时，120yy.1y、2y的图象都经过1,0.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）对于x的同一个值，132yyy，23yaxbxc的图象必经过1,0.又23yaxbxc经过5,0，231545ya xxaxaxa.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设)22(54223xaaxaxyyy)52()24(2axaax.对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy均成立，320yy，图7-1-2-3-3-2-1-4-5-621123 2(42)(25)0yaxaxa.又根据1y、2y的图象可得 0a，24(25)(4

5、2)04aaaya最小.（a0 时,顶点纵坐标就是函数的最小值）2(42)4(25)0aaa.2(31)0a.而2(31)0a.只有013a，解得13a.抛物线的解析式为35343123xxy.【例 2】2010，门头沟，一模 关于x的一元二次方程22(1)2(2)10mxmx.（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点11A，是抛物线22(1)2(2)1ymxmx上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零

6、这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线 y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为 y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于 x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得22224(1)0mm （）解得54m 210m 解得1m 当54m 且1m 时，方程有两个不相等的实数根.（2）由题意得212(2)11mm 解得31mm，（舍）(始终牢记二次项系数不为 0)28101yxx （3）抛物线的对

7、称轴是58x 由题意得114B，(关于对称轴对称的点的性质要掌握)14x 与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)另设过点B的直线ykxb（0k）把114B，代入ykxb，得14kb，114bk 114ykxk 28101114yxxykxk 整理得218(10)204xk xk 有且只有一个交点，21(10)4 8(2)04kk 解得6k 162yx 综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有14x ，162yx 【例 3】已知 P（3,m)和 Q（1，m）是抛物线221yxbx上的两点（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程221xbx=0 是否有实数根，若有，求

8、出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221yxbx的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值 【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现 P,Q 纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出 b。第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的 x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。【解

9、析】(1)因为点 P、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以 P、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等 所以，抛物线对称轴3 142bx ，所以，4b （2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2241xx=0 因为，24bac=168=80 所以，方程有两个不同的实数根，分别是 12122bxa ，22122bxa （3）由（1）可知，抛物线2241yxx的图象向上平移k（k是正整数）个单位后的解析式为2241yxxk 若使抛物线2241yxxk 的图象与x轴无交点，只需22410 xxk 无实数解即可 由24bac=168(1)k=8 8k0，得1k 又k是正整数，所以k得最小值为 2

10、【例 4】2010，昌平，一模 已知抛物线2442yaxaxa，其中a是常数（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若25a，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式 【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.（1）依题意，得0a，2442yaxaxa 2244222.a xxa x 抛物线的顶点坐标为(2,2)（

11、2）抛物线与x轴交于整数点，24420axaxa的根是整数 24164(42)222aaaaaxaa是整数 0a，22xa是整数 2a是整数的完全平方数 25a，25a (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)2a取 1，4，当21a时，2a；当24a时，12a a的值为 2 或12 抛物线的解析式为2286yxx或2122yxx 【例 5】2010，平谷，一模 已知：关于x的一元二次方程21210mxmx（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线2121ymxmx总过x轴上的一个固定点；（3）若m是整数，且关于x的一元

12、二次方程21210mxmx 有两个不相等的整数根，把抛物线2121ymxmx向右平移3个单位长度，求平移后的解析式 【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式0 就可以了，依然不能遗漏的是 m10。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的 X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的 m 提出,对其进行因式分解得到 y=(mxx1)(x+1)就可以看出当 x=1 时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的 X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在 X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于

13、第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：（1）22241mmm 方程有两个不相等的实数根,0m 10m ,m的取值范围是0m 且1m.（2）证明：令0y 得21210mxmx.2222121mmmmxmm.12221121211mmmmxxmmm，(这样做是因为已经知道判别式是2m,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)抛物线与x轴的交点坐标为11 001m，,无论m取何值，抛物线2121ymxmx总过定点1 0，（3）1x 是整数 只需11m是整数.m是整数，且01mm，,2m 当2m 时，抛物线为21yx 把它的图象向右

14、平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 223168yxxx 【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于 0，不要忘记二次项系数为 0 或者不为 0 的情况。第 2,3 问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为

15、好，在实际应用中能节省大量的时间。第二部分 发散思考【思考 1】.2010，北京中考 已知关于x的一元二次方程22410 xxk 有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 12yxb bk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于 0加上 k 为正整数的条件

16、求 k 很简单.第二问要分情况讨论当 k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去 8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.【思考 2】2009，东城，一模 已知：关于x的一元二次方程222(23)41480 xmxmm（1）若0,m 求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若 12m40 的整数，且方程有两个整数根，求m的值【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较

17、大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.【思考 3】2009，海淀，一模 已知:关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 的根为正实数，二次函数 y=ax2bx+kc（c0）的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1.（1）若方程的根为正整数，求整数 k 的值；（2）求代数式akcabbkc22)(的值；（3）求证:关于 x 的一元二次方程 ax2bx+c=0 必有两个不相等的实数根.【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论 K 的取值即可。第二问则需要将 k 用 a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较

18、繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于 0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.【思考 4】2009，顺义,一模.已知：关于x的一元二次方程22(21)20 xmxmm（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根12xx，满足12211mxxm，求m的值【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12xx，,发现12xx，都是关于 m 的一

19、次表达式,做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解.这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分 思考题解析【思考 1 解析】解：（1）由题意得，168(1)0k 3k k为正整数，12 3k ，（2）当1k 时，方程22410 xxk 有一个根为零；当2k 时，方程22410 xxk 无整数根；当3k 时，方程22410 xxk 有两个非零的整数根 综上所述，1k 和2k 不合题意，舍去；3k 符合题意 当3k 时，二次函数为2242yxx，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析式为2246yxx（3）设二次函数2246yxx的图象与x轴交于 AB、

20、两点，则(3 0)A ，(10)B，依题意翻折后的图象如图所示 当直线12yxb经过A点时，可得32b；A O x y 8 6 4 2 2 4 2 4 2 4 6 8 B 当直线12yxb经过B点时，可得12b 由图象可知，符合题意的(3)b b 的取值范围为1322b【思考 2 解析】证明：22=2(23)-4414884mmmm（）=0,m 840.m 方程有两个不相等的实数根。（2）2(23)84=(23)212mmxmm=方程有两个整数根，必须使21m 为整数且 m 为整数 又12m40，252181.m 521m 9 35216,.2217,24.63218,.2mmmmmm 令令令

21、 m=24 【思考 3 解析】解：由 kx=x+2，得(k1)x=2.依题意 k10.12kx.方程的根为正整数，k 为整数,k1=1 或 k1=2.k1=2,k2=3.（2）解：依题意，二次函数 y=ax2bx+kc 的图象经过点（1，0），0=ab+kc,kc=ba.222222222aababbaabbabaabbabakcabbkc)()()(=.122aababa （3）证明：方程的判别式为=(b)24ac=b24ac.由 a0,c0,得 ac0.(i)若 ac0.故=b24ac0.此时方程有两个不相等的实数 根.(ii)证法一:若 ac0,由(2)知 ab+kc=0,故 b=a+k

22、c.=b24ac=(a+kc)24ac=a2+2kac+(kc)24ac=a22kac+(kc)2+4kac4ac=(akc)2+4ac(k1).方程 kx=x+2 的根为正实数，方程(k1)x=2 的根为正实数.由 x0,20,得 k10.4ac(k1)0.(akc)20,=(akc)2+4ac(k1)0.此时方程有两个不相等的实数根.证法二:若 ac0,抛物线 y=ax2bx+kc 与 x 轴有交点,1=(b)24akc=b24akc0.(b24ac)(b24akc)=4ac(k1).由证法一知 k10,b24ac b24akc0.=b24ac0.此时方程有两个不相等的实数根.综上,方程有两个不相等的实数根.【思考 4 解析】（1）22(21)4(2)mmm 22441448mmmm 90 不论m取何值，方程总有两个不相等实数根 （2）由原方程可得1 2(21)9(21)322mmx，1221xmxm，123xx 又 12211mxxm 2311mm 4m 经检验：4m符合题意 m的值为 4