第四讲不等式的解法.pdf

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1、第四讲 不 等 式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识 一、一元二次不等式及其解法 1形如20(0)(0)axbxca或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式【例 1】解不等式260 xx 解：说明：当把一元二次不等式化为20(0)axbxc或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法 【例 2】解下列不等式：(1)(2)(3)6xx (2)(1)(2)(2)(21)xxxx 2 一元二次不等式20(0)axbxc或与二次函数2 (0)yaxbxca及一元二

2、次方程20axbxc的关系(简称：三个二次)以二次函数26yxx为例：(1)作出图象；(2)根据图象容易看到，图象与x轴的交点是(3,0),(2,0)，即当32x 或时，0y 就是说对应的一元二次方程260 xx的两实根是32x 或(3)当32xx 或时，0y，对应图像位于x轴的上方就是说260 xx的解是32xx 或 当32x 时，0y，对应图像位于x轴的下方就是说260 xx的解是32x 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)将二次项系数先化为正数；(2)观测相应的二次函数图象 如果图象与x轴有两个交点12(,0),(,0)xx，此时对应的一元二次

3、方程有两个不相等的实数根12,x x(也可由根的判别式0 来判断)那么(图 1)：2120(0)axbxcaxxxx或 2120(0)axbxcaxxx 如果图象与x轴只有一个交点(,0)2ba，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22xbxxa(也可由根的判别式0 来判断)那么(图 2)：20(0)2baxbxcaxa 20(0)axbxca无解 如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式0 来判断)那么(图 3)：20(0)axbxcax取一切实数 20(0)axbxca无解 如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：(1)化二次项系数为

4、正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x那么“0”型的解为12xxxx或(俗称两根之外)；“0”型的解为12xxx(俗称两根之间)；(3)否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24bacbaxbxca xaa，结合完全平方式为非负数的性质求解【例 3】解下列不等式：(1)2280 xx (2)2440 xx (3)220 xx 解：【例 4】已知对于任意实数x，22kxxk恒为正数，求实数k的取值范围 解：【例 5】已知关于x的不等式22(1)30kxkx的解为13k，求k的值 说明：本例也可以根据方程有两根1和3，用代入法得：22(1)(1)(1)30kk

5、，2233(1)30kk，且注意0k，从而1k 二、简单分式不等式的解法【例 6】解下列不等式：(1)2301xx (2)2301xxx 分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解 (2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数 解：【例 7】解不等式132x 解：说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为 0 (2)本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：2220201532553(2)13(2)12333xxxxxxxxxxx 或或或

6、三、含有字母系数的一元二次不等式 一元一次不等式最终可以化为(0)axb a的形式(1)当0a 时，不等式的解为：bxa；(2)当0a 时，不等式的解为：bxa；(3)当0a 时，不等式化为：0 xb；若0b，则不等式的解是全体实数；若0b，则不等式无解【例 8】求关于x的不等式222m xmxm的解 解：练：解不等式（1）22210 xaxa （2）210axxax 【例 9】已知关于x的不等式22kkxx的解为12x ，求实数k的值 分析：将不等式整理成axb的形式，可以考虑只有当0a 时，才有形如bxa的解，从而令12ba 解：A 组 1解下列不等式：(1)220 xx (2)23180

7、 xx (3)231xxx (4)(9)3(3)x xx 2解下列不等式：(1)101xx (2)31221xx (3)21x (4)221021xxx 3解下列不等式：(1)22222xxx (2)21110235xx 4已知不等式20 xaxb的解是23x，求,a b的值 5解关于x的不等式(2)1mxm 6已知关于x的不等式22kxkkx的解是1x，求k的值 7已知不等式220 xpxq的解是21x，求不等式220pxqx的解 B 组 1已知关于x的不等式20mxxm的解是一切实数，求m的取值范围 2若不等式2231xxkk 的解是3x，求k的值 3解关于x的不等式2256xaxa 4a取何值时，代数式2(1)2(2)2aa的值不小于 0？5 已 知 不 等 式20axbxc的 解 是x，其 中0，求 不 等 式20cxbxa的解 第四讲 不等式答案 A 组 11(1)0 (2)36 (3)1 (4)32xxxx 211(1)11 (2)3 (3)20 (4)22xxxxxxx 或或或 3(1)无解 (2)全体实数 45,6ab 5(1)当2m 时，12mxm；(2)当2m 时，12mxm；(3)当2m 时，x取全体实数 61k 71x B 组 112m 25k 3(1)0a 时，78aax；(2)0a 时，无解；(3)0a 时，87aax 451aa 或 511xx或