第四节有理函数的积分.pdf

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1、第四节 有理函数的积分 课题 第 4 讲：几种特殊函数的积分 教学目的要求 1会计算有理函数的积分 2会计算简单无理函数的积分 3会计算三角函数有理式的积分 4会查积分表 主要内容 与时间分配 1有理函数的积分 40 分钟 2三角函数有理式的积分 30 分钟 3无理函数的积分 15 分钟 4积分表 5 分钟 重点难点 1有理函数的积分 2三角函数有理式的积分 3无理函数的积分 教学方法 和手段 启发式教学法，使用电子教案 课后作业练习 作业：218 页 3.6.10.13.15.20.一、有理函数的积分 形如 mmmmnnnnaxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(4-1)

2、称为有理函数。其中naaaa,210及mbbbb,210为常数，且00a，00b。如果分子多项式)(xP的次数n小于分母多项式)(xQ的次数m，称分式为真分式；如果分子多项式)(xP的次数n大于分母多项式)(xQ的次数m，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如：1111223xxxxx 因此，我们仅讨论真分式的积分。根据多项式理论，任一多项式)(xQ在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘积，即 )()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ (4-2)其中04,0422srqp。如果(4-1)的分母多项式分解为(4-2)式，则(4-1)式

3、可分解为 )()()()()()()()(121121bxBbxBbxBaxAaxAaxAxQxP )()()()()()(2122221121222211srxxSxRsrxxSxRsrxxNSxRqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM (4-3)例1 求 dxxxx6532 解：因为 3625)3)(2(36532xxxxxxxx 得 Cxxdxxdxxdxxxdxxxx|3|ln6|2-|-5ln 3162-15 36256532 例2 求 dxxxx3222 解：由于分母已为二次质因式，分子可写为 3)22(212xx 得 Cxxxxxdxxxxdxxdxdxxxxdxxxxdxx

4、xx21arctan23)32ln(21 )2()1()1(332)32(21 323322221 323)22(21322222222222 例3 求 dxxx)1)(21(12 解：根据分解式(4-3)，计算得 22151522154)1)(21(1xxxxx 因此得 Cxxxdxxxdxxdxdxxdxxxdxxdxxxxdxxxarctan51)1ln(51|21|ln52 1151)1(1151)21(21152 1151125121252 151522154)1)(21(122222222 二、可化为有理函数的积分举例 如果),(vuR为关于vu,的有理式，则)cos,(sinxx

5、R称为三角函数有理式。我们不深入讨论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法。例4 求 dxxxx)cos1(sinsin1 解：如果作变量代换 2tanxu，可得 212sinuux，2211cosuux，duudx212 因此得 CxxxCuuuduuuduuuuuuuudxxxx|2tan|ln212tan2tan41 )|ln22(21 )12(21 12)111(12)121()cos1(sinsin12222222 例5 求 321xdx 解：令 ux32，得 23 ux，duudx23，代入得 CxxxCuuuduuuduuuduuuxdx|21|ln323)2(23 )|1|ln23()111(3 1113 132133322223 例6 求 xxdx)1(3 解：令 6tx，得 dttdx56，代入得 CxxCttdtt(dtttttdttxxdx)arctan6()arctan6()1116 16 )1(6)1(662223253 小结：本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理式的积分。同学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法。