第六章中心力场习题.pdf

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1、一 选择题 37.氢原子的能级为 D A.2222ens.B.22222ens.C.242 nes.D.ens4222.38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为 B A.rrRnl)(2.B.22)(rrRnl.C.rdrrRnl)(2.D.drrrRnl22)(.39.在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 D A.),(lmY.B.2),(lmY.C.dYlm),(.D.dYlm2),(.40.波函数和是平方可积函数,则力学量算符F为厄密算符的定义是 C A.*F dFd.B.*()F dFd.C.()*FdF d .D.*FdFd .41.F和G是厄密算符

2、,则 D A.FG必为厄密算符.B.FGGF必为厄密算符.C.i FGGF()必为厄密算符.D.i FGGF()必为厄密算符.42.已知算符 xx和 pixx ,则 A A.x和 px都是厄密算符.B.xpx必是厄密算符.C.xpp xxx必是厄密算符.D.xpp xxx必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 B A.1.B.2.C.3.D.4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到函数)A A.121 2/()/.B.12/().C.123 2/()/.D.122/()45.角动量 Z 分量的归一化本征函数为 C A.12exp()im.B.)exp(21r

3、k i.C.12exp()im.D.)exp(21rk i.46.波函数)exp()(cos)1(),(imPNYmllmmlm C A.是L2的本征函数,不是Lz的本征函数.B.不是L2的本征函数,是Lz的本征函数.C 是L2、Lz的共同本征函数.D.即不是L2的本征函数,也不是Lz的本征函数.47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级 n=3 的简并度为 C A.3.B.6.C.9.D.12.48.氢原子能级的特点是 B A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49 一粒子在中心力场中运动

4、,其能级的简并度为n2,这种性质是 B A.库仑场特有的.B.中心力场特有的.C.奏力场特有的.D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为Wr drR r dr323222(),则其几率分布最大处对应于 Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 C A.a0.B.40a.C.90a.D.160a.51.设体系处于 123231 1021 1 1R YR Y状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A A.EE321434,;,.B.EE321232,;,.C.EE321232,;,.D.EE323414,;,.52.设体系处于 123231 1021 1 1R YR Y状态,该体系的角

5、动量的取值及相应几率分别为 C A.2 1,.B.,1.C.212,.D.212,.53.设体系处于 12323110211 1R YR Y状态,该体系的角动量Z分量的取值及相应几率分别为 A A.01434,;,.B.01434,;,.C.01232,;,.D.01232,;,.54.设体系处于 12323110211 1R YR Y状态,该体系的角动量Z分量的平均值为 D A.14.B.14.C.34.D.34.55.设体系处于 12323110211 1R YR Y状态,该体系的能量的平均值为 B A.es4218.B.3128842es.C.2925642es.D.177242es.5

6、6.体系处于 Ckxcos状态,则体系的动量取值为 A A.kk,.B.k.C.k.D.12k.57.体系处于 Ckxcos状态,体系的动量取值几率分别为 B A.1,0.B.1/2,1/2.C.1/4,3/4/.D.1/3,2/3.58.体系处于 Ckxcos状态,体系的动量平均值为 A A.0.B.k.C.k.D.12k.59.一振子处于cc1133态中,则该振子能量取值分别为 C A.3252,.B.1252,.C.3272,.D.1252,.60.一振子处于cc1133态中,该振子的能量取值EE13,的几率分别为 B A.2321,cc.B.232121ccc,232123ccc.C.

7、23211ccc,23213ccc.D.31,cc.61.一振子处于cc1133态中,该振子的能量平均值为 D A.232123215321cccc.B.5.C.92.D.232123217321cccc.二 填空题 1.经典力学中，在中心力场 V(r)中运动的粒子(质量为)，角动量 l 。pr 2.粒子在中心力场中的运动为 运动。平面 3.设质量为的粒子在中心势 V(r)中运动，则 Hamilton 量表示为 。)(2)(2222rVrVpH 4.,2pl 。0 5.中心场中的两个粒子，其质量分别为1m、2m，位矢为1r、2r，质心坐标R可以表示为 。212211mmrmrmR 6.中心场中

8、的两个粒子，其质量分别为1m、2m，位矢为1r、2r，其相对坐标为 。21rrr 7.氢原子的原子核是一个质子，荷电e，它与电子的 Coulomb 吸引能为 。rerV2)(8.中心场中的两个粒子，其质量分别为1m、2m，折合质量可以表示为 。2121mmmm 9.。222222zyx 10.在中心场 V（r）中运动的粒子，其轨道角动量平方2L是个 。守恒量 11.,2LH 。0 12.,yxLL 。zLi 13.,zyLL 。xLi 14.,xzLL 。yLi 15.,jiLL 。kijkLi 16.LL 。Li 17.,2xLL 。0 18.,2yLL 。0 19.,2zLL 。0 20.

9、L yxiLL 21.L yxiLL 22.,LL zL2 23.,LLz L 24.2L zzLLLL2 25.LLLL )(222zLL 26.球谐函数),(lmY )|(|)(cos412)!()!()1(lmePlmlmlimmlm 27.球谐函数在球面上是正交归一的，可以表示为 mml llmmlddYY 200*sin),(),(28.),(*lmY ),()1(,mlmY 29.),(lmY ),()1(lmlY 30.),(2lmYL ),()1(2lmYll 31.),(lmzYL ),(lmYm 31.),(00Y 41 32.),(11Y iesin83 33.),(10

10、Y cos43 34.),(11Y iesin83 35.),(22Y 22sin3215ie 36.),(21Y iecossin815 37.),(20Y )1cos3(1652 38.),(12Y iecossin815 39.),(22Y 22sin3215ie 40.球坐标系下的 Schrodinger 方程为 0)(212222rVErLr 41.),(rnlm的径向部分是个关于 阶多项式。)1(nlnr 42.),(100r BrBe31 43.),(200r BrBBer23)21(81 44.),(211r irBBeerBsin8123 45.),(210r cos2412

11、3BrBBer 46.),(121r irBBeerBsin813 47.中心场中，对某个能级 n，总的简并度nf为 102)12(nlnnlf 48.三问答题 1.通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？答：束缚态，能级是分立的。2.简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，0,2zLL，这两个算符有共同的完备本征函数系),(mY。3.若两个力学量的算符不对易，

12、对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。4.分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。5.什么样的状态是束缚态

13、？它是否可看成是平面波的叠加？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。它可以用平面波展开。6.写出氢原子的能量本征函数。答：224221212neneAEBn 7.写出氢原子的波函数本征方程。答；),()2,22,1()2(),(),(1lmBrnlBnllmnlnlnlmYrnllnFenrNYRNrB 8.当氢原子处于),(rnlm态时，电子的几率密度为？答 22|),()(|),(|),(lmnlnlmnlmYrRrrW 9.当氢原子处于),(rnlm态时那么在),(r点周围的体积元ddrdrdsin2内的几率是？答；ddrdrrdrWnlmnlmsin|),(

14、|),(22 10.在半径 r 到 r+dr 球壳内找到电子的几率是?答 drdrYrRddrrWlmnlnlmsin|),()(|)(22200 dYddrrrRlmnlsin|),(|)(220022drrrRnl22)(11.三 证明题 1.已知粒子在中心力场中运动，试证明xL（角动量在x方向的分量）是守恒量。证：因为粒子在势函数为)(rU的中心力场中运动时，哈密顿算答是 )(2222)(22)(22rrUrLrrrrUpH 因为xL与、有关而与r无关，且0,2LLx 所以，0,HLx 2.试证：对于一维运动，设有两个波函数1及2是对应于同一级量E 的解，则1221常数。其中，“”是对

15、x 的微商。证：因为)()()(2222xxxEUdxdm，所以 21 1/)(2UEm 22 2/)(2UEm 1 11 1 凑全微分得：0)(1221 积分得：1221常数 3.试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。证明：设1和2是对应于同一能级 E 的不同本征态，则1221常数。在特例下，令12210，即 2211 Cdxdx2211 由此得：21C 所以1和2描述同一个态。4.已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为,取 试证明:也是 和 共同本征函数,对应本征值分别为:。证。是 的对应本征值为 的本征函数 是 的对应本征值为 的本征函数 5.试证明：一维运动的束

16、缚态都是不简并的。证明：设1和2是对应于同一能级 E 的不同本征态，则1221常数。在特例下，令12210，即 2211 Cdxdx2211 由此得：21C 所以1和2描述同一个态。6.已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为,取 试证明:也是 和 共同本征函数,对应本征值分别为:。证。是 的对应本征值为 的本征函数 是 的对应本征值为 的本征函数 7.证明下列关系式 相对动量 21121pmpmMrp （1）总动量 21ppRMP （2）总轨迹角动量 prPRprprLLL221121 （3）总动能 222222222121pMPmpmpT （4）反之，有 ,11rmR

17、r rmRr22 （5）pPmp21，pPmp12 （6）以上各式中，212121 ,mmmmmmM 证：212211mmrmrmR，（a）21rrr，（b）相对动量 21122121211pmpmMrrmmmmrp （1）总动量 2121221121ppmmrmrmmmRMP （2）总轨迹角动量 221121prprLLL )5(2211prmuRprmuR 2112211pmpmMrppR)2)(1(prPR 由（a）、(b)可解出21,rr，即（5）式；由（1）（2）可解出（6）。总动能 22112262221212222mpPmmpPmmpmpT 2122222122112222122

18、222mmpPumpPmmummpPumpPmmu 2122221222211112122mmpPmmmPmmm 2222pMP （4）从（a），(b)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式.2.求证：在zL的本征态下，0yxLL 证 0)()(1,1*dYLLYimdYLLLLYiLLiLlmyylmlmyzzylmzyx 同理 0yL 3.氢原子基态100是角动量yxLL,和zL的一个本征值全为零的共同广义本征态，说明其实这并不违背广义不确定性关系。证:力学量算符的不确定性关系与系统所处的量子态相关.氢原子的基态波函数 area310042 0)(100100 xyzypxpi

19、L 由于基态波函数关于zyx,对称，所以，0,0yxLL，0,0yxLL，0zL，0,kijkjiLiLL 因此，当体系处于100Y态时，xL，yL的不确定性关系所满足的不等式为 0|,21|)(yxyxLLLL 故在此量子态下，xL，yL可以同时为零，即xL，yL同时具有确定的本征值，同理，对于zxLL,；zyLL,也一样。故，xL，yL和zL存在本征值为零的共同本征态，这并不违反广义不确定性关系。4.求证：在zL的本征态下，角动量沿与z轴成角的方向上的分量的平均值为cosm。证明 角动量沿与z轴成角的方向上的分量，nLln，其中)cos,sinsin,cos(sinn 设zL的本征态为lm

20、Y dYLLLYdYLYLlmzyxlmlmnlmn)cossinsincos(sin*所以，在zL的本征态下，0,0yxLL，所以cosmLn 5.一质量为m的粒子在对数势)ln()(0rrcrV中运动.证明：（1)所有的能量木征态都有相同的方均速度，并求之;（2)任何两个能量本征态间的能量间隔是与质量无关的.证明 （1）设粒子的速度算符为mp，则能星本征态的方均速度为 Tmmpm22222 对于束缚态的位力定理 VrT21 可知方均速度 mcrdmcrdrrcdrdrmVrm*02)ln(11 对任何本征态均成立.（2）mcmpmHmEnnn2121222 ),2,1,0(0)(1lmEE

21、mEnn 五计算题 1.求坐标表象中p、P和L的算术表示式 ripRiP，prPRL 解：211221121rrmmMipmpmMp （1）其中 1111zkyjxir，而 xXMmxxxXxXx1111，同理，yYMmy11zZMmz11；1rrRMm1；仿此可设 2rrRMm1 （2）代入（1）中，得 rRrRmMmmmMmmMip121221 ri （3）2121rrippP)2(Ri （4）prPRL 只要将（3）、（4）式中的p、P以相应的算符代入即可。2.利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：（a）电子偶素（positronium，指ee束缚体系）（b）u 原子（muonic a

22、tom）（c）u 子偶素（muonium，指uu束缚体系）解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：22412nueEn,pepemmmmu。（a）电子偶素能级 22414nueEn，（2eeeeemmmmmu）（b）u 原子能级 22412neuEun，（pupuummmmu）（c）u 子偶素能级22414nemEun，（2uuuuummmmmu）3.对于氢原子基态，计算px。解：*在求坐标系中，空间反演：rr（,rr）。氢原子基态波函数为 021301001area （1）宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以 0 ,0 xpx （2）由于100各向同性，呈球对称分布，显然有 22222222313

23、1pppprzyxzyx （3）容易算出 drr210022ddrdreararsin10230203a （4）2pd10021002d1001001001002 d21002ddrdrrsin21002202a （5）因此 2x20a，022axxx （6）20223apx，0223apppxxx （7）3xpx （8）测不准关系的普遍结论是 2xpx （9）显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且3很接近式（9）规定的下限2。4.对于氢原子基态，求电子处于经典禁区ar2（即0VE）的几率。解：氢原子基态波函数为 area2131001，22uea，相应的能量 aeueE222241 动能 r

24、eaeVErT2212 0VET是经典不允许区。由上式解出为ar2。因此，电子处于经典不允许区的几率为 aardddrreap2 020223sin1（令ar2）423324deaa2381.0134e 5.对于类氢原子（核电荷Ze）的“圆轨迹”（指1,0nlnr的轨迹），计算（a）最可几半径；（b）平均半径；（c）涨落2122rrr 解：类氢原子中电子波函数nlm可以表示为 ,1,lmlnlmlnnlmYrurYrRrr （1）（a）最可几半径由径向几率分布的极值条件 （b）0rudrdlnr （2）决定。1 nl时，0rn。naZrnneCrru1,0 代入（2）式，容易求得 Zanr02

25、几 （4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（b）在nlm态下，各r之间有递推关系（Kramers 公式）01241212222212rZalrZarrn (5)（参 钱伯初、曾谨言量子力学习题精选与剖析P197）在（5）式中令0，注意到10r。可设 anZrnlm21 (6)依次再取2,1，得到 aZllnrnlm13212)1(22nlaZnn （7）（c）222213512aZllnnrnlm)1(22121nlaZnnn （8）因此，r的涨落 2122rrrZann4223 （9）121222nnnnrr （10）可见，n越大，rr越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接

26、近。6.设电荷为Ze的原子核突然发生衰变，核电荷变成eZ1，求衰变前原子Z中一个K电子（s1轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子1Z的K轨迹的几率。解：由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还 来 不 及 变 化。对 于 原 来 的K电 子，其 波 函 数 仍 未 aZreaZrZ213100,（1）而新原子中K电子的波函数应为 arZeaZrZ121331001,1 （2）将rZ,100按新原子的能量本征态作线形展开：rZCrZnlmnlmnlm,100 （3）则衰变前的s1电子在衰变后处于新原子的rZnlm,1态的几率为 210021ZZCpnlmnlmnlm （4）因此

27、，本题所求的几率为 100p 2212262332100100411drreaZZZZarZ 6363321111211ZZZZZ （5）展开时保留到第三项 当1Z，上式可近似取成 2100431Zp （5）例如，10Z,9932.0100p；30Z,9992.0100p。7.设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为 222raererV（10）（1）a为 Bohr 半径，求价电子的能级。提示：令121llll，解出21212812121lll 解：取守恒量完全集为zLLH,2，其共同本征函数为 ,lmYrRr,lmYrru （2）ru满足径向方程 Euuraereu

28、rlluu222222212 （3）令 121llll （4）式（3）就可以化为 Euureurlluu2222212 （3）相当于氢原子径向方程中l换成l。所以式（3）的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为 aneEn222，1lnnr，,2,1,0rn （5）将l换成l，即得价电子的能级：aneEnl222，1lnnr （6）通常令 lll （7）1lrlnnln （8）l称为量子数l和n的“修正数”。由于1，可以对式（4）作如下近似处理：121llll1llll 2121lllll 略去 2l，即得 21ll （9）由于1，1 l，因此，本题所得能级nlE和氢原子能级仅有较小的差别，

29、但是能级的“l简并”已经消除。式（6）和碱金属光谱的实验资料大体一致，尤其是，修正数l 随l之升高而减小，这一点和实验符合的极好。式（4）的精确解为 21212812121lll （10）若对上式作二项式展开，保留项，略去2以上各项，即可得到式（9）。8.氢原子处在基态0/301),(arear，求：(1)r 的平均值；(2)势能re2的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1)drddrreadrrrar sin1),(02200/23020 0/233004draraar 01!naxnandxex 04030232!34aaa 02203020/2

30、3020200/230202002/23022214 4 sin sin1)()2(000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUararar (3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为 02022 sin),()(ddrdrrdrrdrreaar2/23004 2/23004)(rearar 0/2030)22(4)(arreraadrrd 令 0321 ,0 0)(arrrdrrd，当0)(,0 21rrr时，为几率最小位置 0/222003022)482(4)(areraraadrrd 08)(230220eadrrdar 0ar 是最可几半径。(4)22222

31、1pT 02002/2/302 sin)(1200ddrdreeaTarar 02002/22/302 sin)(11200ddrdredrdrdrdreaarar 22222sin1)(sinsin1)(1rrrr 0/020302)2(1(240drearraaar 20220204022)442(24aaaa (5)drrpcp),()()(*200cos02/302/3 sin1)2(1)(0ddedrreapcpriar 0cos0/2302/3)cos()2(20dedrerapriar 00cos/2302/30)2(2priareiprdrera 0/302/3)()2(20d

32、reereipapripriar 01!naxnandxex )1(1)1(1)2(22020302/3piapiaipa 222200330)1(421paaipipa 222204400330)(24paaaa 222202/30)()2(paa 动量几率分布函数 422025302)(8)()(paapcp 9.设 t=0 时，粒子的状态为 cossin)(212kxkxAx 求此时粒子的平均动量和平均动能。解：cos)2cos1(cossin)(2121212kxkxAkxkxAx cos2cos1 2kxkxA )()(1 2212221ikxikxkxikxieeeeA 21222

33、1212212210ikxikxkxikxixieeeeeA 可见，动量np的可能值为 kkkk 2 2 0 动能22np的可能值为2 2 2 2 022222222kkkk 对应的几率n应为 2)16 16 16 16 4(22222AAAAA 2)81 81 81 81 21(A 上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得 222)1644(1222AAAnn /1A 动量p的平均值为 02162162162216202222AkAkAkAkppnnn nnnppT2222 2812281202222kk 8522k 10.设氢原子处于状态 ),()(23),()(21),(1121102

34、1YrRYrRr 求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值 22222282sseneE )2(n 角动量平方有确定值为 2222)1(L )1(角动量 Z 分量的可能值为 01ZL2ZL 其相应的几率分别为 41，43 其平均值为 4343041ZL 11.试求算符dxdieFix的本征函数。解：F的本征方程为 FF cdxdFedxdFeddxdFeddxiFedFdxdieixixixixixlnln)()(即 ixFece（FF是的本征值）12.设波函数xxsin)(，求?)(2dxdxxdxd 解

35、：)()(dxdxdxdxxdxdxdxd原式 coscossin)(xxdxdxxxxxdxd )()cos(cos)(sinxxxxxxxxxx xxxcos2sin 13.设体系处于202111YcYc态，求（1）xl的可能测值及其平均值。（2）2l的可能测值及相应的几率。（3）yxll,，的可能测值。（解）（1）按照习惯的表示法),(imY表示角量子数为l，磁量子数m 的，),(2xll的共同本征函数，题材给的状态是一种xll,2的非本征态，在此态中去测量xll,2都只有不确定，下面假定 12221 cc 从202111),(YcYc 看出，当体系处在11Y态时，xl的测值，处在20Y

36、态时，xl的测值为零。xl在态中的平均值 21clz :02122cc（2）又从波函数看出，l也可以有两种值，体系处11Y态中时2l测值为 2222)11(1)1(ll 当体系处在20Y态时2l的测值为 226)12(2 相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方：21c，22c 2l的并态中的平均值 22221262ccl(3)关于在态中xl，yl的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标表示算符时，xl，yl，xl有轮换对称性，由于在态中2l可有二种量子数2,1l所以将zl轮换xl的结果，知道xl的可能测值只能是 2xl，0，2 同理，yl的可能测值也是这此值 2yl，0，2 14.

37、求在球谐函数),(mY所描述的态中，力学量yxLL和的平均值。解：因为mmzYmYL xyzzyLiLLLL 所以，dYLLLLYiLmyzzymx)(1*dYLLYdYLLYimyzmmzym1*dYLYLdYLYmimymzmym)(1*0)(1yyLmLmi 同理，yxzxzLiLLLL dYLLLLYiLmzxxzmy)(1*dYLLYdYLLYimzxmmxzm1*dYLLYdYLYLimzxmmxmz)(1*0)(1xxLmLmi 另解：令yxLiLL，yxLiLL，得)(21LLLx，)(21LLiLy 01,*dYYCdYLYLmmmm 所以，0yxLL 15.设氢原子处于 ,

38、YR21,YR21,YR21,112110311021rrrr的 状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选zLLH,2为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 ,YR,12 224lmnlnlmnrrneE 其中，量子数的取值范围是 lllllmnln,1,2,1,1,2.1,0,3,2,1 利用归一化条件求出归一化常数为 5421412121c 主量子数n的可能取值只有两个，即3,2n，于是 515441 ,18 54542121 ,8 32432242EWeEEWeE 2424249 5118 548 eeeE 角动量量子数l的可

39、能取值只有一个，即1l，故有 2222222,13 ,2LLWL 角动量磁量子数m的可能取值有两个，即0,1m，于是 535441210 ,0525421 ,zzzzLWLLWL 52zL 16.设两个电子在谐振子势场中运动，每个电子的势能是 2222222121)(zyxrrU 若体系的 Hamilton 算符与电子的自旋无关，求当一个电子处于基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成的体系的波函数和相应的体系的能量。解：电子波函数的空间部分满足定态 S-方程 )()(21)()(2222222222rErrrzyx 考虑到 2222zyxr，令)()()()(zZyYxXr

40、 )()()()(22rErrUrEXYZXYZzyxXYZzyx)(21)(222222222222 EzxZZyxYYxxXX)2112()2112()2112(222222222222222 xExxXX)2112(22222 yEyxYY)2112(22222 zEzxZZ)2112(22222 zyxEEEE)()(2221xHeNxXnxnn)()(2221yHeNyYmymm)()(2221yHeNyYmymm)()()()(2221zHyHxHeNNNrmnrmnnm 其中!22/1nNnn，对于基态0mn，10H 22212/30000)()(rer 对于沿方向的第一激发态0

41、1mn，xxH 2)1（22214/32/5100122)(rxer 两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为 )()()(21),(2011211021rrrrrrS)(211)(2122/342221222212rrrrexex)(21122/3422212)(rrexx)()()()(21),(1120211021rrrrrrA)(21122/3422212)(rrexx 而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即 )3(S)2(S)1(S、和A 综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即 独态：ASrr),(211 三重态：)3(21

42、4)2(213)1(212),(),(),(SASASArrrrrr 17.设氢原子的状态是),()(23),()(21 10211121YrRYrR。求：（1）能量、轨道角动量平方2L、z分量zL和自旋角动量平方2S、z分量zS的可能值、这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（2）总磁矩SeLeM2的z分量平均值。解：n=2,8242seE几率为 1。222L，几率为 1。0,zL，几率分别为 1/4，3/4，平均值为4。4322S，几率为 1。2,2zS，几率分别为 1/4，3/4，平均值为4。8eM。18.如果类氢原子的原子核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效

43、应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对0rr 的区域有影响，对0rr 的区域无影响。据题意知 )()(0rUrUH 其中)(0rU是不考虑这种效应的势能分布，即 rzerU024）（)(rU为考虑这种效应后的势能分布，在0rr 区域，rZerU024)(在0rr 区域，)(rU可由下式得出，rEdrerU)()(4 )(,4344102003003303420rrrZerrrrZerrZerE 00)(rrrEdreEdrerU 002023002144rrrdrrZerdrrZe)3(84)(822030020022203002rrrZerZerrrZe)(0rr )(0 )(4)

44、3(8)()(000222030020rrrrrZerrrZerUrUH 由于0r很小，所以)(2022)0(rUHH，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态raZeaZ02/1303)0(1)(）dHE)0(1*)0(1)1(1 0002202220300230344)3(8rraZdrrerZerrrZeaZ 0ar，故102raZe。00030024042203030024)1(1)3(2rrrdraeZdrrrrraeZE 2030024505030300242)5(2raeZrrraeZ203002410raeZ 20302452raeZs 19.设氢原子的状态是),()(23)

45、,()(21 10211121YrRYrR。求：（1）能量、轨道角动量平方2L、z分量zL和自旋角动量平方2S、z分量zS的可能值、这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（2）总磁矩SeLeM2的z分量平均值。解：n=2,8242seE几率为 1。222L，几率为 1。0,zL，几率分别为 1/4，3/4，平均值为4。4322S，几率为 1。2,2zS，几率分别为 1/4，3/4，平均值为4。8eM。20.设体系处于态222111YcYc,1|2221 cc,求（1）zL的可能测量值及平均值;（2）2L的可能测量值及相应的概率;（3）xL及yL的可能测量值.解：一个算符 A 在态中可能的测

46、量值，即将用 A 的木征态展开时，各本征态相应的本征值.相应的概率即展开式中本征态前面系数的模的平方，lmY是zL，2L的共同本征态 lmlmlmlmzYllYLYmYL22)1(（1）zL的可能测量值为，2，平均值为 2221222111*222111|2|)()(ccdYcYcLYcYcLzz（2）2L可能的测量值为222)11(1，226)12(2，相应的概率分别为21|c，22|c（3）角动量量子数l不变的 Hilbert 空间，可以由三组各自独立完备的基矢mlmllmYYY,构成。这三组基分别为),(2zLL，),(2xLL，),(2yLL的共同本征态。l确定后，mmm,只能取llll,1,1,。21.