高中数学必修4第2章向量数乘运算及其几何意义.pdf

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1、 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 1向量的数乘 一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做_，记作_它的长度和方向规定如下：（1）aa；（2）0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；0时，0a 温馨提示：（1）对于a：从代数角度看，是实数，a是向量，它们的积仍然是向量0a的条件是0a或0从几何的角度看，对于长度来说，当1时，意味着表示向量a的有向线段在原方向(0)或相反方向(0)上伸长了倍；当01时，意味着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向(10)上缩短了倍（2）实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如 a，a都无意义 2向量数

2、乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，a、b是向量，则：结合律：a_；第一分配律：a_；第二分配律：ab_ 3向量共线定理（1）内容：向量b与非零向量a共线，则有且只有一个实数，使_（2）向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意0a 特别地，若0ab，实数仍存在，但不唯一 定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量b与a的关系 定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可学科-网 参考答案：1向量的数乘 a 2a；aa；ab 3ba 重点 1掌握向量

3、数乘的定义 2了解向量数乘的运算律 3理解向量数乘的几何意义 难点 掌握向量共线定理 易错 能熟练地进行实数与向量的积的运算，利用向量数乘的几何意义判断两向量共线，能在深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用 1“姐妹式”巧解向量问题 我们经常会遇到这样一些基本图形：两条相交直线及两条直线外的点（作为多条向量的起点）（如下例 1 中的图）解与此相关的向量分解、计算、证明等问题的核心往往是抓住交点分其所在线段（直线）被从同一起点出发的向量所截得两线段的比两次应用上述结论得到一对“姐妹式”，“殊途同归”后利用共线向量定理得到一个方程组，最后或解方程组或设而不求整体消元，则问题可迎刃而解【例 1】如图，

4、在AOB 的边OA，OB上分别有P，Q，已知:1:2OP PA，:3:2OQ QB，连接AQ，BP，设它们交点为R，若OA a，OB b，试用a，b表示OR 【答案】1162OR ab 2用向量证明三线共点与三点共线问题 实数与向量的积的定义我们可以看作是数与数的积的推广，学习实数与向量的积及运算律时，应联想数与数的积的定义及运算律，加深理解，并注意到实数与向量的积仍是一个向量，化简向量代数式时可类比多项式的合并同类项 【例 2】如图所示，在平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 是 BD 上一点，BN=13BD，求证：M，N，C三点共线 【答案】证明详见解析【解析】设AB

5、 a，AD b，1111111123232363MNMBBNABBDADABaabaab，1122MCMBBCABADab=3MN，MNMC，又MN，MC有公共点 M，M，N，C 三点共线【基础训练】1已知在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为 F，设AB a，AD b，则向量BF=A13a+23b B1233ab C13a+23b D1233ab 2已知 AD、BE 分别是ABC 的边 BC，AC 上的中线，且AD a，BE b，则BC=A13a+23b B23a+13b C23a+43b D43a+23b 3在ABC 中，若点 D 满足2BDDC，则

6、AD=A1233ACAB B5233ABAC C2133ACAB D2133ACAB 4已知向量 a，b，那么12422abb等于 A2ab Ba4b Ca Db 5已知 M 为ABC 的边 AB 的中点，ABC 所在平面内有一个点 P，满足PCPAPB，若PCPM，则 的值为 A2 B1 C12 D4 6在梯形 ABCD 中，AB=3DC，则BC等于 A23AB+AD B23AB+43AD C13AB+23AD D23ABAD 7设 D 为ABC 所在平面内一点，BC=4CD，则 AAD=13AB+43AC BAD=14AB+54AC C15ADAB+45AC D4133ADABAC 8如图

7、，D 是ABC 的边 AB 的中点，则向量CD等于 A12BCBA B12BCBA C12BCBA D12BCBA 9如图，已知ABC，BD=3DC，AB a，AC b，则AD=A34a+34b B14a+14b C14a+34b D34a+14b 10已知点 P 在线段 AB 上，且4ABAP，设APPB，则实数=_ 11已知1223PPPP，若1PP=12PP，则 等于_【能力提升】12如图，已知 D 为ABC 的边 AB 的中点，M 在 DC 上满足 5AMAB+3AC，则ABM 与ABC 的面积比为 A15 B25 C35 D45 13ABC 中，2ARRB，2CPPR，若APmABn

8、AC，则 m+n=A23 B79 C89 D1 14在ABC 中，O 为其内部一点，且满足3OAOCOB0，则AOB 和AOC 的面积比是 A34 B32 C11 D13 15在梯形 ABCD 中，3ABCD 0，则BC等于 A1233ABAD B2433ABAD C23ABAD D23ABAD 16点 O 为ABC 内一点，且满足4OAOBOC 0，设OBC 与ABC 的面积分别为 S1、S2，则12SS=A18 B16 C14 D12 17在ABC 中，2BDDC，AB=4，AD=AC=3，则 BC=_ 18已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点学!科网（1）若点 O 满

9、足2OAOBOC 0，求证：AOOD；（2）已知 E 为 AC 边中点，O 在线段 DE 上，且满足23OAOBOC 0，BOC 的面积为 2，求ABC 的面积 19 如图，M、N、P 分别是三角形 ABC 三边 BC、CA、AB 上的点，且满足14APBMCNABBCCA，设AB a，AC b （1）用 a，b 表示MN；（2）若点 G 是三角形 MNP 的重心，用 a，b 表示AG 20在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB=A3144ABAC B1344ABAC C34AB+14AC D14AB+34AC 【参考答案】1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 13 14 15 16 20 C C D C A A B A C C B D D B A