高中数学解三角形.pdf

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1、 1 1.2 应用举例（知识讲解）一、基础知识 1、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度(几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解。(1)三角形中的边角关系 三角形内角和等于180；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；三角形中大边对大角，小边对小角；(2)利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 已知条件 应用定理 一般方法 解的情况 一边和两角 正弦定理 由CBA求第三角，由正弦定理求其它两边 一解

2、两边和夹角 余弦定理或 正弦定理 由余弦定理求第三边，由正弦定理求较小边对应的较小角，由CBA求第三角 一解 三边 余弦定理 由余弦定理求两角，由CBA求第三角 一解 两边和其中 一边的对角 正弦定理或 余弦定理 由正弦定理求另一边的对角，由CBA求第三角，利用正弦定理求第三边 由余弦定理列关于第三边的一元二次方程，根据一元二次方程的解求c，然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素 两解 一解 或无解(3)利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：化边为角；化角为边。2、三角形中的三角变换(1)角的变换 在ABC中，CBA，则CBAsin)sin(；CBAcos)cos(；CBAtan)tan

3、(；2cos2sinCBA，2sin2cosCBA；(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。面积公式：)()(sin2121cpbpappprCabahSa，其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半；3、解答三角高考题的策略：(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数 2 联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例。另外，利用正弦定理解

4、三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解。二、知识应用 1、解三角形实际应用 例 1-1如图，一条河的两岸平行，河的宽度6.0dkm，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B。已知1ABkm，水流速度为2hkm，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度大小为()。A、8hkm B、26hkm C、342hkm D、10hkm 例 1-2如图，港口A在港口O正东的120海里处，小岛B在港口O的北偏东60的方向上，且在港口A的北偏西30的方向上。一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的OD方向以20海里/小时

5、的速度驶离港口O。一艘给养快艇从港口A沿AB方向以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛装运补给物资后以相同的速度送往科学考察船。已知两船同时出发，补给物资装船时间为1小时。给养快艇驶离港口A后，能和科学考察船相遇的最少时间为 。例 1-3某同学骑电动车以24hkm的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是 。例 1-4三国魏人刘徽，自撰海岛算经，专论测高望远。其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与

6、表末参合。从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A、C、F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，问岛峰的高度AH_步。(古制：1步6尺，1里180丈1800尺300步)3 2、解三角形大题 例 2-1在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知Abbccos2。(1)若62a，3b，求c；(2)若角2C，求角B。例 2-2已知在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cBaacos2。(1)求证：AB2；(2)若ABC为锐角三角形，且2c，求a的取值范围。例 2-3在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且1)1tan(tancoscos2CACA。(1)求B的大小；(2)若233 ca，3b，求ABC的面积。4 例 2-4如图，ABC中，332sinABC，2AB，点D在线段AC上，且DCAD2，334BD。(1)求BC的长；(2)求DBC的面积。