高中数学必修4第2章平面向量应用举例.pdf

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1、 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例 一、向量在平面几何中的应用 1利用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为_的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作 2向量在平面几何中常见的应用 已知1122(,),(,)x yxyab（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：abab_0(0)b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：

2、0aba b_0（其中,a b为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a与b的夹角为，利用夹角公式：cos_（其中,a b为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：|a_，或|ABAB_（其中,A B两点的坐标分别为3344(,),(,)xyxy（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题 3利用向量解决平面几何问题的步骤（1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角

3、等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系 这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论 二、向量在物理中的应用 向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象 1向量与力 向量是既有_又有_的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小

4、、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量_到同一作用点上 2向量与速度、加速度及位移 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的_、_以及_运算，有时也借助于坐标运算来处理 3向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的_，W|cos(F sFs为F和s的夹角）动量mv实际上是_向量 参考答案：一、1向量 2（1）1221x yx y （2）1212x xy y（3）|a ba b 121212122222x xy yxyxy （4）1122xy 2222343

5、4()()xxyy 二、1大小 方向 平移 2加法 减法 数乘 3数量积 数乘 重点 平面几何中的垂直、长度以及夹角问题 难点 利用向量方法解决其他实际问题 易错 向量应用中对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误 1平面几何中的垂直问题 对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件（向量的数量积为 0），而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式【例 1】如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AFDE 【答案】证明详见解析 如题图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，

6、1），所以(2,1),(1,2)AFDE 因为(2,1)(1,2)220AF DE，所以AFDE，即 AFDE【提示】用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法 2平面几何中的长度问题 平面几何中求线段的长度问题，在向量中就是求向量的模的问题，可适当构造向量，利用向量知识求解【例 2】如图，平行四边形 ABCD

7、 中，已知 AD=1，AB=2，对角线 BD=2，则对角线 AC 的长为 【答案】6【解析】设,ADABab，则,BDACabab 22|2|14252BD abaa bba ba b，2|524BDa b，21a b 22|2|526AC abaa bba b，即6AC 【提示】用向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式22|aa求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若(,)x ya，则22|xya 3平面几何中的夹角问题【例 3】等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为 A45 B35 C

8、45 D35【答案】A 【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设(2,0),(0,2)AaBa，则(,0),(0,)F aEa，(2,),(,2)AEa a BFaa 设向量,AE BF的夹角为，则22(2,)(,2)44cos55|55AE BFa aaaaaAEBFaa 【名师点睛】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为 x 轴和 y 轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值 4平面向量在物理中的应用【例 4】一质点受到平面上的三个力 F1

9、、F2、F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 F1、F2成 60角，且F1、F2的大小分别为 2 和 4，则 F3的大小为_【答案】2 7【解析】由题意知 F3=（F1F2），|F3|=|F1F2|，|F3|2=|F1|2|F2|22|F1|F2|cos60=28，|F3|=2 7【名师点睛】用向量法解决物理问题的步骤如下：（1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；（2）建立以向量为主体的数学模型；（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题 5利用向量解决其他问题【例 5】已知直线 AxByC=0（其中 A2B2=C2，C0）与圆

10、x2y2=6 交于不同的两点 M、N，O 是坐标原点，则OMMN_【答案】10【解析】取 MN 的中点 P，则12MPMN，MNOP 又22|00|1A+BCOPAB，|6OM，2()2|OM MNOPPMMNPM MNPM，而222|=|5PMOMOP，2510OM MN 【名师点睛】向量在解决其他问题时的“两个”作用：（1）载体作用：向量在其他问题中出现时，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题（2）工具作用：利用 abab=0（a，b 为非零向量），aba=b（b0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直

11、、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法 6对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误【例 6】在四边形ABCD中，(1,1)ABDC，3|BABCBDBABCBD，则四边形ABCD的面积是 【误区警示】对常见的向量表示形式要熟记于心，如：（1）重心 若点 G 是ABC的重心，则GAGBGC 0或1()3PGPAPBPC=（其中 P 为平面内任意一点）反之，若GAGBGC 0，则点 G 是ABC的重心（2）垂心若 H 是ABC的垂心，则HA HBHB HCHC HA反之，若HA HBHB HC HC HA，则点 H 是ABC的垂心（3）内心若点 I 是ABC的内

12、心，则有|BCIACA IBABIC 0反之，若|BCIACA|IBABIC 0，则点 I 是ABC的内心（4）外心若点 O 是ABC的外心，则()()()0OAOBBAOBOCCBOCOAAC或|OAOBOC反之，若|OAOBOC，则点 O 是ABC的外心 【基础训练】1如图，在圆 C 中，弦 AB 的长为 4，则AB AC=A8 B8 4 D4 2已知力 F 的大小|F|=10，在 F 的作用下产生的位移 S 的大小|S|=14，F 与 S 的夹角为 60，则 F 做的功为 A7 B10 C14 D70 3在平面直角坐标中，O 为坐标原点，设向量OA a，OB b，其中 a=（3，1），b

13、=（1，3），若OC=a+b，且 01，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 A B C D 4已知正方形 ABCD 的边长为 1，设AB a，BC b，AC c，则|abc|等于 A0 B2 C2 D2 2【能力提升】5 如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1=OAOB，I2=OBOC，I3=OCOD，则 AI1I2I3 BI1I3I2 CI3I1I2 DI2I1I3 6已知点 G 是ABC 的重心，AGABAC（，R），若A=120，2AB AC，则AG的最小值是 A33 B22 C23 D34 7一个重 20

14、N 的物体从倾斜角为 30，长为 1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是_ 8一汽车向北行驶 3 km，然后向北偏东 60方向行驶 3 km，求汽车的位移 【真题演练】9（新课标）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA（PB+PC）的最小值是 A2 B32 C43 D1 10（浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1=OAOB，I2=OBOC，I3=OCOD，则 AI1I2I3 BI1I3I2 CI3I1I2 DI2I1I3 11（天津）已知ABC 是边长为 1 的等边三角

15、形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则AFBC的值为 A58 B14 C18 D118 12（北京）已知点 P 在圆 x2+y2=1 上，点 A 的坐标为（2，0），O 为原点，则AOAP的最大值为_ 13（江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为 1，1，2，OA与OC的夹角为，且 tan=7，OB与OC的夹角为 45若OC=mOA+nOB（m，nR），则 m+n=_ 14（天津）已知在ABC 中，A=60，AB=3，AC=2若BD=2DC，AE=ACAB（R），且AD AE=4，则 的值为_ 【参考答案】1 2 3

16、 4 5 6 9 10 11 A D A C C C B C C 7【答案】10 J 8【解析】故汽车的位移为：北偏东 30方向，大小为3 3 km 9【答案】B 10【答案】C 11【答案】C 12【答案】6【解析】设 P（cos，sin）.AO=（2，0），AP=（cos+2，sin）则AOAP=2（cos+2）6，当且仅当cos=1 时取等号故答案为：6 13【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系 A（1，0）由OA与OC的夹角为，且 tan=7 cos=15 2，sin=75 2 C1 75 5，cos（+45）=22（cossin）=35 sin（+45）=22（sin+cos）=45 B3 45 5，OC=mOA+nOB（m，nR），15=m35n，75=0+45n，解得 n=74，m=54则 m+n=3故答案为：3 14【答案】311