(完整版)第一章热力学的基本规律课后作业及答案.pdf

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1、 1 第一章 热力学的基本规律 11 试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数T。解：已知理想气体的物态方程为nRTpV 由此得到 体胀系数TpVnRTVVp11，压强系数TpVnRTPPV11 等温压缩系数2111()TTVnRTVpVpp 1.2 试证明任何一种具有两个独立参量,T p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数Tk，根据下述积分求得：ln(dd)TVTkp 如果1T，1Tkp，试求物态方程。解 以,T p为自变量，物质的物态方程为 (,)VV T p 其全微分为 dddpTVVVTpTp (1)全式除以V，有 d11ddpTVVVTpVVTVp 根据体胀系

2、数和等温压缩系数Tk的定义，可将上式改写为 dddTVTkpV (2)有 ln(dd)TVTkp (3)2 若1T，1Tkp，式(3)可表示为 11ln(dd)VTpTp (4)积分 pVCT (5)1.3 测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为514.85 10K和71n7.8*10pT，和T可近似看作常量，今使铜块加热至10 C。问（1 压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2 若压强增加，铜块的体积改多少 解：（1）有dddTVpppVTVT知，当d0V 时，有 d0dddVTppTpTTT 故 212121dTTTTppTTT 即 2121n622pTpppTT 分别设为Vxpn;，

3、由定义得：4474.858 10;4.85 101007.8 10TxV 所以，44.07 10V 1.4 1mol理想气体，在27 C的恒温下发生膨胀，其压强由n20p准静态地降到n1p，求气体所做的功和所吸取的热量。解 将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式(1.4.2)，在准静态等温过程中气体体积由AV膨胀到BV，外界对气体所做的功为 ddlnlnBBAAVVBAVVABVpVWp VRTRTRTVVp 气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得 3ln8.31 300ln207.47 10 JABpWRTJp 在等温过程中理想气体的内能不变，即 0U 根据热力学第一定律(式(1.

4、5.3)，气体在过程中吸收的热量Q为 3 37.47 10 JQW 1.5 在25 C下，压强在 0 至n1000p之间，测得水的体积为 36231(18.0660.715 100.046 10)cmmolVpp 如果保持温度不变，将1mol的水从n1p加压至n1000p，求外界所做的功。解 将题中给出的体积与压强关系记为 2Vabpcp (1)由此易得 d(2)dVbcpp (2)保持温度不变，将1mol的水由n1p加压至n1000p，外界所做的功为 100023112d(2)d33.1J mol23BBAAVVVVWp Vp bcppbpcp 在上述计算中我们已将过程近似看作准静态过程。1

5、.6 在0 C和n1p下，空气的密度为31.29kg m。空气的定压比热容3110.996 10 J kgkpc，1.41。今有327m的空气，试计算：(a)若维持体积不变，将空气由0 C加热至20 C所需的热量。(b)若维持压强不变，将空气由0 C加热至20 C所需的热量。(c)若容器有裂缝，外界压强为n1p，使空气由0 C缓慢地加热至20 C所需的热量。解 (a)由题给空气密度可以算得327m空气的质量1m为 11.2927kg34.83kgm 定容比热容可由所给定压比热容算出 3-113-110.996 10J kg k0.706 10 J kg k1.41pVcc 维持体积不变，将空气

6、由0 C加热至20 C所需热量VQ为 35121()34.830.706 1020J4.920 10 JVVQm cTT(b)维持压强不变，将空气由0 C加热至20 C所需热量pQ为 35121()34.830.996 1020J6.938 10 JppQm cTT (c)若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化根据理想气体的物态方程 4 mpVRTm m为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气体的质量与温度成反比。以1m、1T表示气体在初态的质量和温度，m表示温度为T时气体的质量，有 111 1mmpVRTRTmTmTmm 所以在过程(c)中所需的

7、热量Q为 221121 11 11d()dlnTTpppTTTTQcm TTmTcmTcTT 将所给数据代入，得 3529334.83273 0.996 10 lnJ6.678 10 J273Q 1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强0p时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能0U之差为000UUp V，其中0V是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解 将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能0U由式(1.5.3)0UUWQ (1)确定。由于过程进行得很迅速，过

8、程中系统与外界没有热量交换，0Q。过程中外界对系统所做的功可以分为1W和2W两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由0V变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强0p可以认为没有变化，即过程是等压的(但不是准静态的)。过程中大气对系统所做的功为 1000WpVp V 另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功变换，则 20W 因此式(1)可表为 000UUp V (2)如果气体是理想气体，根据式(1.3.11)和(1.7.10)，有 000p VnRT (3)001nRTU，1nRTU (4)式中n是系统所含物质的量。代入式

9、(2)即有 5 0TT (5)活门是在系统的压强达到0p时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作0p，其物态方程为 00p VnR T (6)与式(3)比较，知 0VV (7)1.8 满足 PVn=C 的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中的热容量为-1nVnCCn 解法一：0dddlimddnVTnnnUP VUP VVCCPTTT 理想气体多方过程 P V=RT P V n=C 有 1ddddd0,dd0nnP VVPR TPVn VVPnP VVPdd1RP VTn 所以 1nRCCVn 另一方面，理想气体 VpVpCCRCC 所以得 -1nVnCC

10、n ，证毕 解法二：根据热力学第一定律，有 ddd(d)nVVCTCTp VUCTd 利用理想气体的物态方程，可将npVC可化为 11nTVC (1)将上式微分，得 ddd(1)(1)VTR TVnTnp (2)将(2)代入(1)式，得 1nVRCCn，由于(1)pVVRCCC，即得 6 1.10 假设理想气体的 Cp和 CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中 T 和 V 的关系。该关系试中要用到一个函数 F(T)，其表达式为：dln1TF TT 解：准静态绝热过程中：d0Q ddUp V （1）对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为 ddVUCT (2)物态方程nRTpVnRTpV

11、（3）（2），（3）代入（1）得：ddVnRTCTVV （其中1nRCV）d11ddd1VnRCVTTTVnRTnRTTd1d1VTV 关系式 11lnd1VT 为T的函数 1V为 T 的函数。VTF1)(1)(VTF 1.11 利用上题的结果证明，当是温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为211TT。解 在是温度的函数的情形下，1.9 就理想气体卡诺循环得到的式(1.6.18)(1.6.21)仍然成立，即仍有 2111lnVQRTV (1)，3224lnVQRTV (2)32121214lnlnVVWQQRTRTVV (3)对于状态 1、4 和 2、3 有下面的关系：1124()()F T

12、 VF T V (4)111nVVVnCCCCnn 7 1223()()F T VF T V (5)从这两个方程消去1()F T和2()F T，得 3214VVVV (6)故 2121()lnVWR TTV (7)所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为 2111TWQT (8)1.13 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为1T，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为2T。试根据克劳修斯不等式证明，热机的效率不超过211TT。解 根据克劳修斯不等式(1.9.4)，有 0iiiQT (1)式中iQ是热机从温度为iT的热源吸取的热量(吸

13、热iQ为正，放热iQ为负)。将热量重新定义，可以将式(1)改写为 0jkjkjkQQTT (2)式中jQ是热机从热源jT吸取的热量，kQ是热机在热源kT放出的热量，jQ，kQ恒正。将式(2)改写为 jkjkjkQQTT (3)假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为1T，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为2T，必有 11jjjjjQQTT 21kkkkkQQTT 故由式(3)得 8 1211jkjkQQTT (4)定义1jjQQ为热机在过程中吸取的总热量，2kkQQ为热机放出的总热量，则式(4)可表为 1212QQTT (5)或 2211TQTQ (6)根据热力学第一定律，热

14、机在循环过程中所做的功为 12WQQ 热机的效率为 2211111QTWQQT (7)1.14 理想气体分别经过等压过程和等容过程，温度由1T升至2T。假设是常数，试证明前者的熵增加值为后者的倍。解 根据式(1.10.5)，理想气体的熵函数可表达为 0lnlnpSCTnRpS (1)在等压过程中温度由1T，升到2T时，熵增加值pS为 21lnppTSCT (2)根据式(1.10.2)，理想气体的熵函数也可表达为 0lnlnVSCTnRVS (3)在等容过程中温度由1T，升到2T时，熵增加值VS为 21lnVVTSCT (4)所以 ppVVSCSC (5)1.15 温度为0 C的1kg水与温度为

15、100 C的恒温热源接触后，水温达到100 C。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0 C升至100 C?已知水的比热容为-114.18J gK。9 解 0 C的水与温度为100 C的恒温热源接触后水温升为100 C，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在0 C与100 C之间。令水依次从这些热源吸热，使水温由0 C升至。在这可逆过程中，水的熵变为

16、QST 373311273d373ln104.18 100J K1304.6J K273ppmcTSmcT水 (1)水从0 C升温至100 C所吸收的总热量Q为 35104.18 100J4.18 10 JpQmcT 为求热源的熵变，可令热源向温度为100 C的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的熵变为 5114.18 10J K1120.6J K373S 热源 (2)由于热源的变化相同，式(2)给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为 1184J KSSS 总水热源 (3)为使水温从0 C升至100 C而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在0 C

17、与100 C之间的一系列热源吸热。水的熵变S水仍由式(2)给出。这一系列热源的熵变之和为 3731273d1304.6J KpTmcTS 热源 (4)参与过程的整个系统的总熵变为 0SSS 总水热源 (5)1.1610A的电流通过一个25的电阻器，历时1s。(a)若电阻器保持为室温27 C，试求电阻器的熵增加值。(b)若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27 C，电阻器的质量为10g，比热容pc为110.84J gK，问电阻器的熵增加值为多少?解 (a)以T，p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温27 C不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。QST

18、 (b)如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由iT升为fT，所以有 2fi()pmcTTi Rt，故 22fi231025 1300K600K100.84 10pi RtTTmc fi2311fid600ln100.84 10 lnJ K5.8J K300TppTmcTTSmcTT 10 1.17 均匀杆的温度一端为1T，另一端为2T。试计算达到均匀温度121()2TT后的熵增加值。解 以L表示杆的长度。杆的初始状态是0l 端温度为2T，lL端温度为1T，温度梯度为12TTL，(设12TT)。这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温

19、度121()2TT的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为dl的许多小段。位于l到dll的小段，初温为 122TTTTlL (1)这小段由初温T变到终温121()2TT后的熵增加值为 1212()2122()d2ddd lnTTlppTTTTSclclTTTTlL (2)其中pc是均匀杆单位长度的定压热容量。根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为 12122012121212222120121211211221212()dlnlnd2()lnln2()()lnlln(lnln)ln22LlpLpppppTTTTSScTllLcTTTTTTTTc LTlTlTlTTLLLLc LTTTTTTTc LTTTTTTcTT212n1TTT 式中ppCc L是杆的定压热容量。