高中数学3.3.2简单的线性规划(一)新人教A版必修.pdf

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1、 3.3.2 简单的线性规划【教学过程】2.讲授新课 1.引例：某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200 xyxyxy .（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出

2、新问题：进一步，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当 x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把 z=2x+3y 变形为233zyx，这是斜率为23，在 y 轴上的截距为3z的直线。当 z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2），就能确定一条直线（2833yx），这说明，截距3z可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线23

3、3zyx 与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3z最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线233zyx 与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点 P，使直线经过点 P 时截距3z最大。（5）获得结果：由上图可以看出，当实现233zyx 经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M（4，2）时，截距3z的值最大，最大值为143，这时 2x+3y=14.所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时，工厂可获得最大利润 14 万元。2、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条件，这组约束条件都是

4、关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 3、变换条件，加深理解 探究：课本第 88 页的探究活动（1）在上述问题中，如果生产一件甲产品获利 3 万元，每生产一件乙产品获利 2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在

5、换几组数据试试。（2）有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？（3）典型分析 a)营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg 脂肪，花费 28 元；而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg？分析：将已知数据列成下表：食物 kg 碳水化合物 kg 蛋白质 kg 脂肪 kg

6、A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07 若设每天食用 x kg 食物 A，y kg食物 B，总成本为 z，如何列式？由题设条件列出约束条件0,y0,x0.06,0.07y0.14x0.06,0.14y0.07x0.075,0.105y105x.0 其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组等价于.0,0,6714,6147,577yxyxyxyx 考虑 z=28x+21y,将它变形为2834zxy,这是斜率为34、随 z 变化的一族平行直线.28z是直线在y 轴上的截距，当28z取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数 z

7、=28x+21y 取得最小值.由图可见，当直线 z=28x+21y 经过可行域上的点 M 时，截距 z28 最小，即 z 最小.解方程组6714,577yxyx得点 M(71,74)，因此，当71x,74y时，z=28x+21y 取最小值，最小值为 16.由此可知每天食用食物 A 约 143 克，食物 B 约 571 克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为 16 元.例 1.设2zxy，式中变量,x y满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值 【思维导图】【解答关键】首先作出三条直线43,3525,1xyxyx，然后判断不等式组表示的平面区域，然后作直线20 xy，平

8、移此直线确定目标函数取最大值或最小值的点，把最优解代入2zxy求目标函数的最大（小）值.【规范解答】作出可行域（如图）.令0z，作直线0l：20 xy.把直线0l向上平移时，所对应的2zxy的函数 值随之增大，从图上可以看出，当直线经过可行域内顶点 B、A 时，2zxy分别取得最小值、最大值.解方程组431xyx，得(1,1)B；解方程组433525xyxy，得(5,2)A.所以，min2 1 13z ，max2 5212z 3.随堂练习 1请同学们结合课本 P91练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件.1,1,yyxxy

9、 解：不等式组表示的平面区域如图所示：当 x=0,y=0 时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线0l:2x+y=0 上.作一组与直线0l平行的直线 l:2x+y=t,tR.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的 t 最大.所以 zmax=22-1=3.（2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件.35,1,1535yxxyyx 解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的 t 最小，以经过点（817,

10、89）的直线所对应的t 最大.所以 zmin=3(-2)+(-1)=-11.zmax=389+5817=14 4.课时小结 5.作业 课本第 93 页习题A组的第 2 题.五 课堂小结 1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。2用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解 六 作业 课本 P93 习题 3.3 A 组 3、4 题 2.讲授新课 线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源

11、一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：范例讲解 例 3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4t、硝酸盐 18 t；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t、硝酸盐 15 t。现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66 t，在此基础上生产这两种混合肥料。若生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 10000 元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 5000 元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解

12、：设生产甲种肥料 x 车皮、乙种肥料 y 车皮，能够产生利润 z 万元。目标函数为 画出可行域。把变形为，得到斜率为，在 y 轴上的截距为，随 z 变化的一组平行直线。由此观察出，当直线经过可行域上的点 M 时，截距为最大，即 z 最大。解方程组得 M 的坐标为 由此可知，生产甲、乙两种肥料各 2 车皮，能够产生最大的利润，最大利润为 3 万元。变式训练 2 某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料分别为 A、B 两种规格的金属板，每张面积分别为 2 m2与 3 m2.用 A 种规格的金属板可造甲种产品 3 个，乙种产品 5 个；用 B 种规格的金属板可造甲、乙两

13、种产品各 6 个.问A、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？思路分析：本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型.解决这类问题的方法是：首先根据题意列出不等式组（线性约束条件），确立目标函数；然后由约束条件画出可行域；最后利用目标函数平移，在可行域内找出使目标函数达到最小值的点，从而求出符合题意的解.图 3-3-10 解：设 A、B 两种金属板各取 x 张、y 张，用料面积 z,则约束条件为.0,0,5565,4563yxyxyx 目标函数 z=2x+3y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 3-3-10 所示

14、.z=2x+3y 变为 y=-32x+3z，得斜率为-32，在 y 轴上的截距为3z，且随 z 变化的一族平行线.当直线 z=2x+3y 过可行域上的点 M 时，截距最小，z 最小.解方程组,4563,5565yxyx得 M 点的坐标为(5,5).此时 zmin=25+35=25(m2).答：两种金属板各取 5 张时，用料面积最省.3.随堂练习 例 1.某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送 180 吨该公司有 8 辆载重为 6吨的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 吨的 B 型卡车，有 10 名驾驶员每辆卡车每天往返的次数为 A 型车 4 次，B 型车 3 次每辆卡车每天往返的成本费为 A

15、 型车 320 元，B型车为 504 元试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低 解：设每天调出 A 型车辆，B 型车辆，公司花费成本元，则约束条件为，即，目标函数为 作出可行域（如图），作直线：，平移此直线当经过直线与轴的交点时，有最小值 但不是整点 由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是，经过的整点是，它是最优解 因此，公司每天调出 A 型车 8 辆时，花费成本最低 4.课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的

16、解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。5.作业 课本第 93 页习题 3.3A组的第 3 题 例 3 已知1224abab，求42tab的取值范围.【解答关键】分别以,a b为横轴和纵轴建立坐标系，则,a b分别为横坐标和纵坐标，作出可行域，求直线交点，得目标函数42tab的最大或最小值.【规范解答】不等式组表示的平面区域如图所示，作直线0l：420ab，把直线0l向下平移时，t随之增大，当l经过A点时t取最小值，当l经过C点时t取最大值，由14abab和22abab分别得3 1(,)2 2A，(3,1)C，所以min3142522t，max4 3

17、2 110t ，所以，5,10t【知识整合】已知几个二元一次式的范围，求另外一个二元一次式的范围问题，通常有两种解法，通常有两种解法：(1).利用线性规划知识求解,(2)把所求式子用.用已 知范围的二元一次式表示后，再利用不等式的性质求解.3.3.2 简单的线性规划问题（3）三、教学流程 求非线性目标函数的最值（1）对形如22()()zxayb型的目标函数均可化为求可行域内的点(,)x y与点(,)a b间的距离的最值问题；（2）对形如(0)aybzaccxd型的目标函数，可先变形为byaazdcxc 的形式，将问题转化为求可行域内的点(,)x y与点(,)dbca连线斜率的ac倍的范围、最值

18、等.（2）举例分析 例 1 已知实数 x、y 满足220240330 xyxyxy.(1)求11yzx的最大值和最小值;(2)求22xy的最小值.解：画出可行域，得出直线交点坐标，把11yzx转化为可行域内的点(,)x y与点(1,1)连线的斜率，通过求斜率解决；把22xy转化为可行域内的点(,)x y与点(0,0)之间距离的平方，结合图形可知，22xy的最小值为原点到直线 BC 的距离的平方.【规范解答】画出可行域，通过解方程组得(2,3)A,(0,2)B,(1,0)C，(1)由于1(1)1(1)yyzxx ，所以 z 的几何意义是点(,)x y与点 M(1,1)连线的斜率，因此11yx的最

19、值就是点(,)x y与点 M(1,1)连线的斜率的最值，结合图形可知：直线MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，即 zmax=kMB=3；zmin=kMC=21.(2)由于22xy表示可行域内的点与原点之间距离的平方,由图形可知22xy的最小值为点(0,0)到直线 BC:220 xy距离的平方,又点(0,0)到直线 BC:220 xy距离22|2|2 5521d,所以22xy的最小值为45.例 2、设满足约束条件组，求的最大值和最小值。解：由知，代入不等式组消去得，代入目标函数得，作直线：，作一组平行线：平行于，由图象知，当往左上方移动时，随之增大，当往右下方移动时，随之减小，所以，当经过时，当经过时，所以，例 3、（1）已知，求的取值范围；（2）设，且，求的取值范围。解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，作直线：，作一组平行线：，由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，当经过点时取最小值，当经过点时取最大值，由和分别得，所以，（2），由（1）知，（3）、练习：教材 P91 面第 2 题 思考题：已知的三边长满足，求的取值范围。解：设，则，作出平面区域，由图知：，即 四、课堂小结：1巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；2用画网格的方法求解整数线性规划问题。五、作业：课本第 105 页习题 3.3A组的第 4 题