高一数学寒假课程第4讲-基本初等函数.pdf

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1、第四讲 基本初等函数 一、知识梳理 1.指数与对数的概念 baNNbalog（a0，a 1）2.指数与对数的性质 指数运算性质 raaaasrsr,0(、sQ），raaasrsr,0()(、s Q），rbababarrr,0,0()(Q）（注）上述性质对 r、sR 均适用.对数运算性质 logMNalogNMaaloglogNMNMaaaloglog MnManaloglog（M、N0,a0,a 1）推广：MmnManamloglog 换底公式：aNNbbalogloglog（a，b0，a 1，b1）3.指数函数、对数函数的概念 形如yxa（a0 且a1，x0）叫做指数函数（exponenti

2、al function），其中x是自变量，函数的定义域为 R.形如yxalog（a0 且a1，x0）的函数，叫做对数函数（logarithmic function）.（1）指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别；（2）注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）.5.幂函数（1）幂函数定义：一般地，形如xy()R的函数称为幂函数，其中为常数.（2）幂函数性质：所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0 上是增函数.特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；0时，幂函数的图

3、象在区间),0(上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.二、方法归纳 1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：以0和1为桥梁；利用函数的单调性；作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲【例 1】比较下列各数的大小：3312122,15lg,53,25lg,53,3

4、5.0log 解析：35.0log20，其他各数都大于零，故35.0log2最小；又10lg1，100lg2，115lg25lg2328，对于2153与3153，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，考虑函数yx53 为减函数，21533153.于是有331212225lg15lg535335.0log.又例:比较下列各组数的大小：（1）7.06，67.0，6log7.0；（2）7.0log1.1，7.0log2.1 解析：（1）7.061，067.01，6log7.00，6log7.067.07.06.（2）1.1log17.0log7.01.1，2.1log17.0log7.02.

5、1.又函数yx7.0log为减函数，01.1log7.02.1log7.0.7.0log1.17.0log2.1.再例：当ab1，下列不等式正确的有（）A.bbaa111 B.baba11 C.211bbaa D.baba11 解析：0b1a11，又函数yxb)1(为减函数，yax在（0,1）上为增函数，bb1ab1aa1，故选 D.技巧提示：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用0和1为桥梁，能使比较大小的问题得到解决.【例 2】已知函数y122xxaa（a0，a1）在区间1，1上的最大值为 14，求a的值.解析：y2)1(2xa2)1(2u，又11x，当a1 时，,1aau，

6、1u，2)1(2u为u的增函数.函数的最大值为)(5312142舍或aaaa 当 0a1 时，1,aau，1u，2)1(2u为u的增函数.函数的最大值为舍）或(51311121142aaaa，综上得，331aa或.技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径 又例：已知)(xf)32(log24xx.求（1）)(xf的单调区间；（2）求函数)(xf的最大值及对应的x的值.解析：（1）由0322xx，得)(xf的定义域为)3,1(，记u232xx（x1）24，对称轴为x1.)(xf的增区间为（1，1，减为区间1，3）.（2）u（x1）244，当x1 时有最大值

7、y1.【例 3】函数12311xy的定义域是（）A.),21 B.21,(C.),(D.1,(解析：由 031112x，得13112x，即012)31(31x，由x)31(为减函数，012x.故所求定义域为21x.选 A.技巧提示：这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解.又例：若132loga，则a的取值范围是 .解析：由 132loga，即 aaalog32log，当a时，xalog是增函数，于是 32a，a.当a时，xalog是减函数，于是 32a，a32.综上可知a的取值范围是a或a3

8、2.再例：解不等式 0)1)(2(log2221xxxbaba（a0，b0）.解析：由0)1)(2(log2221xxxbaba，得xxxbaba22)(20，即0122xxbaba.21xba或21xba（舍去）.当ab时,)21(logbax；当ab时，)21(logbax；当ab时，不等式无解.【例 4】函数)2(log221xxy的单调递增区间是 .解析：由022xx，得20 x，而函数22)1(12xxxu，即u在)1,0(上是增函数，在)2,1(上是减函数.又uy21log是减函数，)2(log221xxy单调递增区间是)2,1(.技巧提示：对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内

9、研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论.又例：求函数93221xxy的单调递减区间.解析：显然93221xxy的定义域是R.设932xxu，则427)23(2xu.932xxu的单调递增区间为)23,(有93221xxyu21是u的减函数，93221xxy的单调递减区间为)23,(.再例：已知a0 且a1,函数xxfalog)(在定义域2,3上的最大值比最小值大 1,则a的值为 .解析：由题意，有12log3logaa，即 123loga，a32，23.【例 5】当a1 时，证明函数)(xf11xxaa是奇函数.解析：由xa10 得x0.

10、故函数定义域xx0是关于原点对称的点集.又)(xf 1111)1()1(11xxxxxxxxxxaaaaaaaaaa，)(xf11xxaa，)(xf)(xf.所以函数)(xf11xxaa是奇函数.技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定)(xf 与)(xf关系时，也可采用如下等价证法.1)()()()(xfxfxfxf（)(xf），1)()()()(xfxfxfxf（)(xf）.如本题可另证如下：)()(xfxf11111xxxxxxxxaaaaaaaa，即)(xf)(xf，所以函数)(xf11xxaa是奇函数.又例：设a是实数，)(xfa122x（xR）（1）试证明对于任意a，

11、)(xf为增函数；（2）试确定a值，使)(xf为奇函数.解析：（1）设1x，2xR，且1x2x，则)()(21xfxf（)122()12221xxaa)12)(12()22(2122122212112xxxxxx 由于指数函数xy2在 R 上是增函数，且1x2x，所以12x22x，即12x22x0，又由 2x0 得12x10，22x10，所以)()(21xfxf0.即)()(21xfxf.因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，)(xf为增函数.（2）若)(xf为奇函数，则)(xf)(xf，即22()2121xxaa，变形得：12)12(21222)12(222xxxxxxa，解得a1.

12、所以当a1 时，)(xf为奇函数.【例 6】已知 0 x1，a0，a1，比较)1(logxa和)1(logxa的大小.解析：方法一：当a1 时，)1(logxa)1(logxa)1(logxa)1(logxa)1(log2xa0，)1(logxa)1(logxa.当 0a1 时，)1(logxa)1(logxa)1(logxa+)1(logxa)1(log2xa0，)1(logxa)1(logxa.综上所述，在题设条件下，总有)1(logxa)1(logxa.方法二：)1(log)1(logxxaa)1(log)1(xx)1(log)1(xxxx11log)1(2)1(11logxxx)1(l

13、og)1(xx1.)1(logxa)1(logxa.技巧提示：比较大小通常采取作差变形判定符号.如果比较两个正数的大小时，亦可采取作商变形与“1”比较的办法.又例：解不等式)1(log)3(log238xxx 解析：原不等式可化为333)1(30103xxxxxx，即等价于0223012xxx，即3713711xx，解得：3711x，所以原不等式的解集为x3711x.【例 7】（1）已知a3log2，b7log3，用a，b表示56log42；（2）已知,6log,3log,2logcbaxxx求xabclog的值.解析：（1）56log4242lg56lg,3lg2lg7lg2lg37lg 又

14、,3lg2lg,3lg7lg3lg7lg,2lg3lgabba 56log42131133lg3lg3lg3lg33lgaabababababab.（2）a2x，b63,xcx，111loglog11xxxabc.又例：判断下列函数的奇偶性（1）)(xf1212xx；（2）)(xgx1)1ln(2xx.解析:（1）)(121221212)12(2)12(1212)(xfxfxxxxxxxxxx，)(xf为奇函数.（2）xxgxg1)()()1ln(2xxx1)1ln(2xx )1)(1ln(22xxxx1ln0.)(xg为奇函数.四、课后训练 1.已知732log log(log)0 x，那么

15、12x等于（）A.13 B.12 3 C.12 2 D.13 3 2.函数2lg11yx的图像关于（）A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线yx对称 3.函数(21)log32xyx的定义域是（）A.2,11,3 B.1,11,2 C.2,3 D.1,2 4.函数212log(617)yxx的值域是（）A.R B.8,C.,3 D.3,5.下列函数中，在0,2上为增函数的是（）A.12log(1)yx B.22log1yx C.21logyx D.212log(45)yxx 6.已知|1|log)(xxga)1,0(aa在10，上有()0g x，则1()xf xa是（）A.在,0上

16、是增加的 B.在,0上是减少的 C.在,1 上是增加的 D.在,1 上是减少的 7.函数xaxf)1()(2是减函数，则实数a的取值范围是 .8.计算3log22450lg2lg5lg .9.已知11log)(xmxxfa是奇函数（其中)1,0aa，（1）求m的值；（2）讨论)(xf的单调性；（3）求)(xf的反函数)(1xf；（4）当)(xf定义域区间为)2,1(a时，)(xf的值域为),1(，求a的值.10.对于函数)32(log)(221axxxf，解答下述问题：（1）若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围；（3）若函数在),1内有

17、意义，求实数 a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(，求实数 a 的值；（5）若函数的值域为 1,(，求实数 a 的值；（6）若函数在 1,(内为增函数，求实数 a 的取值范围.五、参考答案 1.C.2.C.3.A.4.C.5.D.6.C.7.)2,1()1,2(8.10 9.解析：（1）011log11log11log)()(222xxmxmxxmxxfxfaaa 对定义域内的任意x恒成立，10)1(11122222mxmxxm，当1m，()f x无意义，舍去，1m，（2）11log)(xxxfa，定义域为),1()1,(，而)121(log11log)(xxxxfaa，当1

18、a时，)(xf在),1()1,(与上都是减函数；当10 a时，)(xf在),1()1,(与上都是增函数；（3）111)1(1111logyyyyyaaaxaxaxxaxxy，001yay，)10,0(11)(1aaxaaxfxx且.（4）)2,1()(,3,21axfaax在上为减函数，命题等价于1)2(af，即014131log2aaaaa，解得32a.10.解析：记2223)(32)(aaxaxxxgu，（1）Rxu对0恒成立，33032minaau，a的取值范围是)3,3(；（2）这是一个较难理解的问题。从“xalog的值域为 R”这点思考，“u21log的值域为 R”等价于“)(xgu

19、 能取遍),0(的一切值”，或理解为“)(xgu 的值域包含了区间),0(”)(xgu 的值域为),0(),32a命题等价于33032minaaau或，a的取值范围是),33,(；（3）应注意“在),1内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“),10)(xxgu对恒成立”，应按)(xg的对称轴ax 0分类，33121012410)1(12aaaaaaga或或，a的取值范围是)3,2(；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式0322 axx的解集为31|xxx或，3,121xx是方程0322 axx的两根，,2322121axxaxx即a的值为 2；（5）由对数函数性质易知：)(xg的值域为),2，由此学生很容易得2)(xg，但这是不正确的.因为“2)(xg”与“)(xg的值域为),2”并不等价，后者要求)(xg能取遍),2的一切值（而且不能多取）.)(xg的值域是),32a，命题等价于123)(2minaaxg；即a的值为1；（6）命题等价于：0)1(1 1,(0)(1,()(0gaxxxgxg恒成立对为减函数在，即21aa，得a的取值范围是)2,1.