高三数学第一轮总复习2-4指数与指数函数新人教A版.pdf

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1、2-4 指数与指数函数 基础巩固强化 1.函数f(x)(a21)x在 R 上是减函数，则a的取值范围是()A|a|1 B|a|2 C|a|2 D1|a|2 答案 D 解析 由题意知，0a211，1a22，1|a|2.2(文)若指数函数yax的反函数的图象经过点(2，1)，则a等于()A.12 B2 C3 D10 答案 A 解析 运用原函数与反函数图象关于直线yx对称，则函数yax过点(1,2)，故选 A.(理)(2011山东文，3)若点(a,9)在函数y3x的图象上，则 tana6的值为()A0 B.33 C1 D.3 答案 D 解析 由点(a,9)在函数y3x图象上知 3a9，即a2，所以

2、tana6tan3 3.3(2012北京文，5)函数f(x)x12(12)x的零点个数为()A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 函数f(x)x12(12)x的零点个数即为方程x12(12)x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数yx12 和y(12)x的图象，易得交点个数为 1 个 点评 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象 4(文)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)2x1与g(x)21x的图象关于()A原点对称 Bx轴对称 Cy轴对称 D直线yx对称 答案 C 解析 y2x1的图象关于y轴对称的曲线对应函数为y21x，故选 C.(理)(2011聊城模拟)若函数y2|1x|m的图

3、象与x轴有公共点，则m的取值范围是()Am1 B1m0 Cm1 D0m1 答案 A 解析|1x|0，)，2|1x|1，)，欲使函数y2|1x|m的图象与x轴有公共点，应有m1.5(文)(2011浙江省台州市模拟)若函数f(x)2x，x1，则实数a的取值范围是()A(0,1)B(2，)C(0,1)(2，)D(1，)答案 C 解析 由 a1，得 0a1，得a2，所以实数a的取值范围是(0,1)(2，)(理)函数y|2x1|在区间(k1，k1)内不单调，则k的取值范围是()A(1，)B(，1)C(1,1)D(0,2)答案 C 解析 由于函数y|2x1|在(，0)内单调递减，在(0，)内单调递增，而函

4、数在区间(k1，k1)内不单调，所以有k10k1，解得1k1.6f(x)12x x4，fx1 x4.则f(2log23)的值为()A.13 B.16 C.112 D.124 答案 D 解析 1log232，32log234，f(2log23)f(3log23)7(文)(2011青岛模拟)若定义运算a*b a ab，b ab，则函数f(x)3x*3x的值域是_ 答案(0,1 解析 由a*b的定义知，f(x)取y3x与y3x的值中的较小的，08，h(3)9.8若函数f(x)1x，x0，13x，x0.则不等式|f(x)|13的解集为_ 答案 3,1 解析 f(x)的图象如图|f(x)|13f(x)1

5、3 或f(x)13.13x13或1x13 0 x1 或3x0，解集为x|3x1 9定义区间x1，x2的长度为x2x1，已知函数f(x)3|x|的定义域为a，b，值域为1,9，则区间a，b的长度的最大值为_，最小值为_ 答案 4 2 解析 由 3|x|1 得x0，由 3|x|9 得x2，故f(x)3|x|的值域为1,9时，其定义域可以为0,2，2,0，2,2及2，m，0m2 或n,2，2n0 都可以，故区间a，b的最大长度为 4，最小长度为 2.10(文)已知f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当x(0,1)时，f(x)2x4x1.(1)求f(x)在(1,1)上的解析式；(2)证明：f(x)在(

6、0,1)上是减函数 解析(1)f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0，又当x(1,0)时，x(0,1)，f(x)2x4x12x14x，f(x)f(x)，f(x)2x14x，f(x)在(1,1)上的解析式为 f(x)2x4x1 x0，1，2x4x1 x1，0，0 x0.(2)当x(0,1)时，f(x)2x4x1.设 0 x1x21，则f(x1)f(x2)2x14x112x24x21 2x22x12x1x214x114x21，0 x1x20,2x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,1)上是减函数(理)已知f(x)aa21(axax)(a0 且a1)(1)判

7、断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围 分析(1)判断奇偶性应先求定义域后计算f(x)，看是否等于f(x)(或f(x)；(2)可用单调性定义，也可用导数判断f(x)的单调性；(3)bf(x)恒成立，只要bf(x)min，由f(x)的单调性可求f(x)min.解析(1)函数定义域为 R，关于原点对称 又因为f(x)aa21(axax)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)当a1 时，a210，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，所以f(x)为增函数 当 0a1 时，a210，且a1 时，f(x)在定义域内单调递增(3

8、)由(2)知f(x)在 R 上是增函数，在区间1,1上为增函数，f(1)f(x)f(1)，f(x)minf(1)aa21(a1a)aa211a2a1.要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需b1，故b的取值范围是(，1.能力拓展提升 11.(文)(2012四川文)函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是()答案 C 解析 根据函数yaxa过定点(1,0)，排除 A、B、D 选项，得 C 项正确(理)函数f(x)1log2x与g(x)2x1在同一直角坐标系内的图象大致是()分析 函数f(x)1log2x的图象可由函数ylog2x的图象变换得到；函数y2x1可由函数y(12)x的图象变换得到 答案

9、C 解析 f(x)1log2x的图象是由ylog2x的图象向上平移一个单位长度得到的；g(x)2x1(12)x1的图象可由y(12)x的图象向右平移一个单位长度得到 点评 幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质，掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图 12(文)(2011广州市综合测试)函数f(x)exex(e为自然对数的底数)在(0，)上()A有极大值 B有极小值 C是增函数 D是减函数 答案 C 解析 设 0 x10，所以函数f(x)exex(e

10、为自然对数的底数)在(0，)上是增函数(理)(2011大连模拟)已知函数f(x)3ax3，x7，ax6，x7.若数列an满足anf(n)(nN*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A94，3)B(94，3)C(2,3)D(1,3)答案 C 解析 an是递增数列，f(n)为单调增函数，a1，3a0，a863a73，2af(n)，则m、n的大小关系为_ 答案 manmn.(理)已知2x229的展开式的第 7 项为214，则x的值为_ 答案 13 解析 T7C69(2x)32262128x214，3x1，x13.15(文)(2011上海吴淞中学月考)已知函数f(x)a2xa22x1是奇函数

11、(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域 解析(1)f(x)的定义域为 R，且为奇函数 f(0)0，解得a1.(2)由(1)知，f(x)2x12x1122x1，f(x)为增函数 证明：任取x1，x2R，且x1x2.f(x1)f(x2)122x11122x21 22x12x22x112x21，x1x2，2x12x20,2x210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，1yy10，1y0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界 已知函数f(x)1a12x14x.(1)当a1 时，求函数f(x)在(，0)上的值域，

12、并判断函数f(x)在(，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在0，)上是以 3 为上界的有界函数，求实数a的取值范围 解析(1)当a1 时，f(x)112x14x.因为f(x)在(，0)上递减，所以f(x)f(0)3，即f(x)在(，0)上的值域为(3，)故不存在常数M0，使|f(x)|M成立 所以函数f(x)在(，0)上不是有界函数(2)由题意知，|f(x)|3 在0，)上恒成立 3f(x)3，即414xa12x214x，42x12xa22x12x在0，)上恒成立，设 2xt，h(t)4t1t，p(t)2t1t，由x0，)得t1，设 1t10 p(t1)p(t2)t1t22

13、t1t21t1t20，a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A(0,1)(1，)B(0,1)C(1，)D(0，12)答案 D 解析 若a1，如图(1)为y|ax1|的图象，与y2a显然没有两个交点；当 0a1时，如图(2)，要使y2a与y|ax1|的图象有两个交点，应有 2a1，0aa)，则ab等于()A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 因为f(x)|2x1|的值域为a，b，所以ba0，而函数f(x)|2x1|在0，)内是单调递增函数，因此应有|2a1|a，|2b1|b，解得 a0，b1，所以有ab1，选 A.点评 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出ba0，从而避免了对a、b的各种

14、可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a、b的方程组求解 3(2011石家庄一中模拟)若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)()Alog2x Blog12 x C.12x Dx2 答案 B 解析 函数yax的反函数是f(x)logax，其图象经过点(a，a)，alogaa，a12，f(x)log12 x.4已知所有的点An(n，an)(nN*)都在函数yax(a0，a1)的图象上，则a3a7与2a5的大小关系是()Aa3a72a5 Ba3a70，a1)的图象上，所以有anan，故a3a7a3a7，由基本不等式得：a3a72a3a72

15、a102a5，a3a72a5(因为a0，a1，从而基本不等式的等号不成立)，故选 A.5(2011山东济南一模)若实数x，y满足 4x4y2x12y1，则t2x2y的取值范围是()A0t2 B0t4 C2t4 Dt4 答案 C 解析 由 4x4y2x12y1，得(2x2y)222x2y2(2x2y)即t222xy2t，t22t22xy.又由 2x2y2 2xy，得 2xy14(2x2y)2，即 2xy14t2.所以 0t22t12t2.解得 21，则f(x)12的解集为_ 答案 1，21 解析 由f(x)12得，12x12，x1，或 log2x112，x1，x1 或 1x 21，1x 21，故

16、解集为1，21 7(2011潍坊模拟)设f(x)是定义在实数集 R 上的函数，满足条件yf(x1)是偶函数，且当x1 时，f(x)2x1，则f(23)、f(32)、f(13)的大小关系是_ 答案 f(23)f(32)f(13)解析 由f(x1)f(x1)知f(x)的图象关于直线x1 对称，x1 时，f(x)为单调增函数，则x1 时，f(x)为单调减函数 又f(32)f(112)f(112)f(12)，131223，f(23)f(32)0，a1)，若f(1)3，则f(0)f(2)的值为_ 答案 9 解析 由f(1)3 得a1a3，于是f(2)a21a2(a1a)223227.又f(0)112，f(0)f(2)9.