(完整版)第三讲勾股定理及其应用培优辅导含答案.pdf

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1、 第 1 页 共 14 页 a b c（图 1）图 3 图 2 第三讲 勾股定理及其应用培优辅导 一、点击一：勾股定理 勾股定理：如图 2，在 RtABC中,90C0,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,则 c2=,a2=,b2=勾股数：、特殊勾股数：连续的勾股数只有 3，4，5 连续的偶数勾股数只有 6，8，10 勾股定理的逆定理：点击二：学会用拼图法验证勾股定理 如，利用四个如图1所示的直角三角形，拼出如图2所示的三个图形并证明 证明图 2 或 3 点击三：在数轴上表示无理数 例在数轴上作出表示10的点 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用 例 已知一直角三角形的斜边长是 2，周长是

2、2+6，求这个三角形的面积 点击五：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等 二、【精典题型】第 2 页 共 14 页 考点一、已知两边求第三边 1在直角三角形中,若两直角边的长分别为 6，8，则斜边长为_，斜边的高为_ 2已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是_ 3已知，如图在 ABC 中，AB=BC=CA=2cm，AD 是边 BC 上的高则AD 的长_；ABC 的面积_ 考点二、利用列方程求线段的长 如图，某学校（A 点）与公路（直线 L）的距离为 300 米，又与公路车站（D 点）的距

3、离为500 米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校 A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离 考点三、判别一个三角形是否是直角三角形 1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有_.2.若三角形的三边是 a2+b2,2ab,a2-b2(ab0),则这个三角形是_.3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行

4、50 海里，航向为北偏西 400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？4、如图，正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且BCCE41你能说明AFE是直角吗？第 3 页 共 14 页 EFDCBA三、【思想方法】本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 例 1（噪音问题）如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果

5、受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？例2（用勾股定理求最短路径问题）【例】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm ，高为 4cm ，是上底面的直径一 只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程为 变式：1、有一个长宽高分别为 2cm ，2cm ，8cm 的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点B处，则它爬行的最短路程为_cm.2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。（二）方程的思想方法 如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在

6、F处,BF交AD于点E,AD=8，AB=4，求BDE 的面积是多少？第 4 页 共 14 页（三）分类讨论思想方法 例：若ABCV中，13,15ABcm ACcm，高 AD=12,则 BC 的长为（）A：14 B：4 C：14 或 4 D：以上都不对 变式：1、在 RtABC 中，有两边的长分别为 3 和 4，则第三边的长（）A、5 B、7 C、5 或7 D、5 或11 2、如果 ABC 的三边a、b、c满足(a-b)(a 2+b 2-c2)=0 ，那么 ABC 一定是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 培优学力训练【例 1】(达州)如图是一株美

7、丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 3，5，2，3，则最大正方形 E 的面积是()A13 B26 C47 D94【变式题组】01(安徽)如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A，C 到直线 l 的距离分别是 1 和 2，则正方形的边长是 _.02(浙江省温州)在直线 l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1S2S3S4_.03(浙江省丽江)如图，已知ABC 中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在

8、相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且 l1、l2之间的距离为 2，l2、l3之间的距离为 3，则 AC 的长是()A2 17 B2 5 C4 2 D7 l A 1 D C B 2 第 1 题图 第 2 题图 第3题图 A C B lll 第 5 页 共 14 页【例 2】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点.问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PAPB 的值最小.方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PAPBAB的值最小(不必证明).模型应用：如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P

9、是 AC上一动点.连接 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称.连接 ED 交AC 于 P，则 PBPE 的最小值是_；(2)如图 2，AOB45，P 是AOB 内一点，PO10，Q、R 分 别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值.【变式题组】1、（四川联赛试题)已知矩形 ABCD 的 AB12，AD3，E、F 分别是 AB，DC上的点，则折线 AFEC 长的最小值为_.2、(陕西)如图，在锐角ABC 中，AB45，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BMMN 的最小值是_.AA P B l B D C

10、A P E 图1 O A Q P B R 图 2 O A Q P B R P1 P2 C A B D M N 第 6 页 共 14 页 培优升级检测 1、如图，在 RtABC 中，ABAC，D、E 在斜边 BC 上且DAE45，将ADC 绕点 A 顺时针旋转，使 AC 与 AB 重合，得到AFB，连接 EF，则下列结论:AEDAEF；ABEACD；BEDCDE；BE2DC2DE2其中正确的是()A B C D 2、(北京竞赛)如图，ABCD 是一张长方形纸片，将 AD，BC 折起、使 A、B 两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE8cm，PG6cm，EG10cm，则长方形纸

11、片 ABCD 的面积为（）cm2 A105.6 B110.4 C115.2 D124.8 3、(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，过点 P 向三边作垂线，垂足分别为 S、Q、R，且 PQ6，PRS，PS10，则ABC 的面积等于()A190 3 B192 3 C194 3 D196 3 4、如图所示，在ABC 中，BAC120，ABAC10 3cm，一动点 P 从 B向 C 以每秒 2cm 的速度移动，当 P 点移动_秒时，PA 与腰垂直.5、如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，ABAD2，AC4，且 BD:DC2:3 则 BC_.6、（四川联赛试题)已知

12、矩形 ABCD 的 AB12，AD3，E、F 分别是 AB，DC上的点，则折线 AFEC 长的最小值为_.7、(陕西)如图，在锐角ABC 中，AB45，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BMMN 的最小值是_.8、如图，ABC 是等腰直角三角形，ABAC，D 是 BC 的中点，E、F 分别是AB，AC 上的点，且 DEDF，若 BE12，CF5.求（1）求证：EF2BE2CF2 (2)求DEF 的面积.第6题图SRQCABP第7题图CAB P224第8题图ABDCEDCABFC A B D M N 第 7 页 共 14 页 a b c

13、（图 1）图 3 图 2 第三讲 勾股定理及其应用培优辅导答案 一、点击一：勾股定理 勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 如图 2，在 RtABC中,90C0,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,则 c2=a2+b2 ,a2=c2-b2 ,b2=c2-a2 勾股数：3，4，5、5，12，13、7，24，25、9，40，41、11，60，61、8，15，17 特殊勾股数：连续的勾股数只有 3，4，5 连续的偶数勾股数只有 6，8，10 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.点击二：学会用拼图法验证勾股定理 如，利

14、用四个如图1所示的直角三角形，拼出如图2所示的三个图形并证明 证明图 2 或 3 图 2：大正方形的面积可表示为：222baa-bab41 还可表示为：c2 所以 c2=a2+b2 点击三：在数轴上表示无理数 例在数轴上作出表示10的点 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用 例 已知一直角三角形的斜边长是 2，周长是 2+6，求这个三角形的面积 解：设直角三角形的两直角边分别为 a 和 b，可得1ab2a622ba222解之b 所以这个三角形的面积为 0.5.点击五：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系

15、的问题等 二、【精典题型】第 8 页 共 14 页 考点一、已知两边求第三边 1 在直角三角形中,若两直角边的长分别为 6，8，则斜边长为_10_，斜边的高为_4.8_ 2已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是_513或_ 3已知，如图在 ABC 中，AB=BC=CA=2cm，AD 是边 BC 上的高则AD 的长_3_；ABC 的面积_3_ 考点二、利用列方程求线段的长 如图，某学校（A 点）与公路（直线 L）的距离为 300 米，又与公路车站（D 点）的距离为500 米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校 A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离 解：作 AB

16、l 于 B 点，则 AB=300 米连接 AC AB=300，AD=500，BD=400 CD=CA 设 CD=x，则 AC=x，BC=400-x 在 RtABC中3002+（400-x）2=x2 解得 x=312.5 即 商店 C 与车站 D 之间的距离 CD=312.5 米 考点三、判别一个三角形是否是直角三角形 1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有_（1）_（2）_（3）_.2.若三角形的三边是 a2+b2,2ab,a2-b2(ab0),则这个三角形是_直角三角形_.3、如图，在我国沿海

17、有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？解：AC=120606=12 海里，BC=50606=5 海里 AC22+BC2=AB2 ABC 是直角三角形 CBA=50 CAB=40 甲的航向为北偏东 50 4、如图，正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且BCCE41你能说明AFE是直角吗？解：设四边形 ABCD 是正方形,CE=x,则 CF=DF=

18、2x，BE=3x,AB=AD=4x.AE=AB+BE=（4x）+（3x）=25x 第 9 页 共 14 页 AF=AD+DF=（4x）+（2x）=20 x EF=CE+CF=x+（2x）=5x 所以 AE=AF+EF，AFE 是直角 三、【思想方法】本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 例 1（噪音问题）如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影

19、响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？解：（1）学校受到噪音影响理由如下：作 ABMN 于 B，如图，PA=160m，QPN=30，AB=80，而 80m100m，拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校受到噪音影响，以点 A 为圆心，100m 为半径作A 交 MN 于 B、C，如图，AHBD，CB=BD，在 RtABC 中，AC=100m，AD=80m，CB=60m，CD=2BC=120m，拖拉机的速度 5m/s，拖拉机在线段 BC 上行驶所需要的时间=12=1205=24（秒），学校受影响的时间为 24 秒 例2（用勾股定理求最短

20、路径问题）【例】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高为4cm ，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程292116 cm 变式：1、有一个长宽高分别为 2cm ，2cm ，8cm 的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点B处，则它爬行的最短路程为_ _5480 _ _cm.2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 _4_步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。（二）方程的思想方法 第 10 页 共 14 页 EFDCBA如图将长方形 ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交A

21、D于点E,AD=8，AB=4，求BDE 的面积是多少？解：因为折叠 FD=DC,F=C=90 又四边形 ABCD 是矩形 AB=DC,A=C=90 AB=FD,A=F（等量代换）又AEB=FED（对顶角相等）AEBFED（AAS）AE=ED（全等三角形对应边相等）设 AE=X,则 BE=ED=8-X 在 RTABE 中,由勾股定理得：AB+AE=BE 即：4+X=（8-X）解得：X=3 AE=3,ED=8-3=5 SBED=（EDAB）2=（54）2=10 （三）分类讨论思想方法 例：若ABCV中，13,15ABcm ACcm，高 AD=12,则 BC 的长为（C ）A：14 B：4 C：14

22、 或 4 D：以上都不对 变式：1、在 RtABC 中，有两边的长分别为 3 和 4，则第三边的长（C ）A、5 B、7 C、5 或7 D、5 或11 2、如果 ABC 的三边a、b、c满足(a-b)(a 2+b 2-c2)=0 ，那么 ABC 一定是（D ）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 培优学力训练【例 1】(达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 3，5，2，3，则最大正方形 E 的面积是(C )A13 B26 C47 D94【变式题组】01(安徽)如图，

23、直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A，C 到直线 l 的距离分别是 1 和 2，则正方形的边长是 _5_.l A 1 D C B 2 第 1 题图 第 11 页 共 14 页 02(浙江省温州)在直线 l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1S2S3S4_4_.03(浙江省丽江)如图，已知ABC 中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且 l1、l2之间的距离为 2，l2、l3之间的距离为 3，则 AC 的长是(A )A217 B2

24、5 C4 2 D7 【例 2】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点.问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PAPB 的值最小.方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PAPBAB的值最小(不必证明).模型应用：如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC上一动点.连接 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称.连接 ED 交AC 于 P，则 PBPE 的最小值是_5_；(3)如图 2，AOB45，P 是AOB 内一点，PO10，Q、R 分 别是 OA、OB 上的动点，求

25、PQR 周长的最小值.答案：210200 【变式题组】1、（四川联赛试题)已知矩形 ABCD 的 AB12，AD3，E、F 分别是 AB，DC上的点，则折线 AFEC 长的最小值为_15_.2、(陕西)如图，在锐角ABC 中，AB4 5，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BMMN 的最小值是_228 _.第 2 题图 第3题图 A C B lllAA P B l B D C A P E 图1 O A Q P B R 图 2 O A Q P B R P1 P2 C A B D M N 第 12 页 共 14 页 培优升级检测 1、如图，

26、在 RtABC 中，ABAC，D、E 在斜边 BC 上且DAE45，将ADC 绕点 A 顺时针旋转，使 AC 与 AB 重合，得到AFB，连接 EF，则下列结论:AEDAEF；ABEACD；BEDCDE；BE2DC2DE2其中正确的是(B )B B C D 2、(北京竞赛)如图，ABCD 是一张长方形纸片，将 AD，BC 折起、使 A、B 两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE8cm，PG6cm，EG10cm，则长方形纸片 ABCD 的面积为（C ）cm2 A105.6 B110.4 C115.2 D124.8 3、(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形 ABC 内有一

27、点 P，过点 P 向三边作垂线，垂足分别为 S、Q、R，且 PQ6，PRS，PS10，则ABC 的面积等于(B )A190 3 B192 3 C194 3 D196 3 4、(初二数学联赛)如图所示，在ABC 中，BAC120，ABAC10 3cm一动点 P 从 B 向 C 以每秒 2cm 的速度移动，当 P 点移动5 或 10_秒时，PA与腰垂直.5、如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，ABAD2，AC4，且 BD:DC2:3 则 BC_54_.6、（四川联赛试题)已知矩形 ABCD 的 AB12，AD3，E、F 分别是 AB，DC上的点，则折线 AFEC 长的最小值为_15_.7、

28、(陕西)如图，在锐角ABC 中，AB4 5，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BMMN 的最小值是_4_.第6题图SRQCABP第7题图CAB P224第8题图ABDCC A B D M N 第 13 页 共 14 页 8、如图，ABC 是等腰直角三角形，ABAC，D 是 BC 的中点，E、F 分别是AB，AC 上的点，且 DEDF，若 BE12，CF5.求（1）求证：EF2BE2CF2 (2)求DEF 的面积.（1）证明：连接 AD，等腰直角三角形 ABC，C=B=45，D 为 BC 的中点，ADBC，AD=BD=DC，AD 平分B

29、AC，DAC=BAD=45=B，ADC=90，DEDF，EDF=90，ADF+FDC=90，FDC+BDE=90，BDE=ADF，在BDE 和ADF 中 BDAF BDAD BDEADF BDEADF，DE=DF，BE=AF，EDF=ADC=90，EDA+ADF=ADF+FDC=90，EDA=FDC，在ADE 和CDF 中 EDAFDC EADC DEDF ADECDF，CF=AE，EF2=AE2+AF2=BE2+CF2，即 BE2+CF2=EF2（2）解：EF2=BE2+CF2=169，EF=13，根据勾股定理 DE=DF=2213 EDCABF 第 14 页 共 14 页 DEF 的面积是=21DEDF=2122132213=4169