三角恒等变换专题复习带答案.pdf

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1、 三角恒等变换专题复习带答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】三角恒等变换专题复习 教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题【基础知识】一、同角的三大关系：倒数关系 tancot=1 商数关系 sincos=tan；cossin=cot 平方关系 22sincos1 温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用

2、画直角三角形速解。来源:学+科+网（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 用诱导公式化简，一般先把角化成,2kkz的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是 90 度的奇数倍，就是“奇”，是 90 度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角2k在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“-”，就加在前面）。用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间00(0,360)的角，再变到区间00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算。三、和角与差角公式：sin(

3、)sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan 变 用 tantan=tan()(1tantan)四、二倍角公式：sin 2=2sincos.2222cos2cossin2cos112sin .22tantan21tan 五、注意这些公式的来弄去脉 这些公式都可以由公式cos()coscossinsin推导出来。六、注意公式的顺用、逆用、变用。如：逆用sincoscossinsin()1sincossin22 变用22cos1cos2 22cos1sin2 21 cos4cos 22 七、合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一

4、个三角函数，一个角，一次方”的 BxAy)sin(形式。22sincossin，其中tan 八、万能公式 2tan1tan22sin 22tan1tan12cos 2tan1tan22tan 九、用sin，cos表示2tan sincos1cos1sin2tan 十、积化和差与和差化积 积化和差 )sin()sin(cossin；)sin()sin(sincos；)cos()cos(coscos；)cos()cos(sinsin.和差化积 2cos2sin2sinsin 2sin2cos2sinsin 2cos2cos2coscos 2sin2sin2coscos 十一、方法总结 1、三角恒等

5、变换方法 观察（角、名、式）三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如=(+)=()+,2=(+)+(),2=(+)(),+=2+2,+2=(2)(2)等.（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sincostan,cotcossin），（3）“变式指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。2、恒等式的证明方法灵活多样 从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子

6、.比较法,即设法证明:左边右边=0 或 左右=1;分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.【例题精讲】例 1 已知为第四象限角，化简：cos1cos1sinsin1sin1cos 解：（1）因为为第四象限角 所以原式=2222cos1)cos1(sinsin1)sin1(cos sincoscos1sin1sincos1sincossin1cos 例 2 已知360270，化简2cos21212121 解：360270，02cos,0cos 所以原式=2111cos211cos2222221coscoscos222

7、 例 3 tan20+4sin20 解：tan20+4sin20=00020cos40sin220sin=0000sin(6040)2sin40cos200000033cos40sin403cos20223cos20cos20 例 4 （05 天津）已知7 27sin(),cos241025，求sin及tan()3 解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos(sin22)4sin(1027，即57cossin 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 )sin(cos57)sin)(cossin(cossincos2cos25722 故51sincos 由和式得53sin，54cos 因此

8、，43tan，由两角和的正切公式11325483343344331433tan313tan)3tan(解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得2sin212cos257，解得 259sin2，即53sin 由1027)4sin(可得57cossin 由于0cos57sin，且057sincos，故在第二象限于是53sin，从而5457sincos 以下同解法一 小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到 2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形 例 5 已知,A B C为锐角ABC的

9、三个内角，两向量(22sin,cossin)pAAA，(sincos,qAA1 sin)A，若p与q是共线向量.（1）求A的大小；（2）求函数232sincos()2CByB取最大值时，B的大小.解：（1）22/2(1)(1+)-pqsinAsinAsin A cos A 22220 120cos Acos Acos A 1cos2A2 02A，002A120 A=60 （2）00A=60 B+C=120 2013y=2sin B+cos(602B)1cos2B+cos2Bsin2B22 31=sin2Bcos2B+1=sin(2B)1226 ，2BB623当时，即=小结：三角函数与向量之间的

10、联系很紧密，解题时要时刻注意 例 6 设关于x的方程sinx3cosxa0 在(0,2)内有相异二解、.(1)求的取值范围;(2)求tan()的值.解:(1)sinx3cosx2(21sinx23cosx)2 sin(x3),方程化为sin(x3)2a.方程sinx3cosxa0 在(0,2)内有相异二解,sin(x3)sin323.又sin(x3)1(当等于23和1 时仅有一解),|2a|1.且2a23.即|a|2 且a3.a的取值范围是(2,3)(3,2).(2)、是方程的相异解,sin3cosa0 .sin3cosa0 .得(sin sin)3(cos cos)0.2sin2cos223

11、sin2 sin20,又sin20,tan233.tan()2tan22tan223.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)这一条件.例 7 已知函数 xxmxfcossin2在区间2,0上单调递减，试求实数m的取值范围 解：已知条件实际上给出了一个在区间2,0上恒成立的不等式 任取21,xx2,0，且21xx，则不等式 21xfxf恒成立，即11cossin2xxm22cossin2xxm 恒成立化简得2112sin2coscosxxxxm 由2021xx可知：0coscos12xx，所以1221coscossin2xxxxm 上式恒成立的条件为：上的最小值，在

12、区间20coscossin21221xxxxm.由于2sin2cos22sin2sin22cos2sin4coscossin22121212121211221xxxxxxxxxxxxxxxx 2sin2cos2cos2sin2sin2sin2cos2cos221212121xxxxxxxx2tan2tan2tan2tan122121xxxx 且当2021xx时，42,2021xx，所以 12tan,2tan021xx,从而 02tan12tan12tan2tan2tan2tan1212121xxxxxx,有 22tan2tan2tan2tan122121xxxx,故 m的取值范围为2,(.【基

13、础精练】1已知 是锐角，且 sin2 34，则 sin2 的值等于()B24 D144 2若232，则 1cos()2的值是()Asin2 Bcos2 Csin2 Dcos2 cos2cos(90)等于 ()A.sin B.cos 4.已知角 在第一象限且 cos35，则1 2cos(24)sin(2)等于 ()D.25 5.定义运算a bc dadbc.若 cos17，sin sincos cos3 314，02，则 等于()6.已知 tan 和 tan(4)是方程 ax2bxc0 的两个根，则 a、b、c 的关系是 ()ac ac ba ab 7.设 a22(sin56cos56)，bco

14、s50cos128cos40cos38，c1tan240301tan24030，d12(cos802cos2501)，则 a，b，c，d 的大小关系为 ()bdc adc abc adb 8函数 y12sin2xsin2x，xR 的值域是()9.若锐角、满足(1 3tan)(1 3tan)4，则 .10.设 是第二象限的角，tan43，且 sin2cos2，则 cos2 .11.已知 sin(4x)=135，0 x4，求)4cos(2cosxx的值。12.若),0(,，31tan,507cos，求+2。【拓展提高】1、设函数 f(x)sin(x46)2cos2x81(1)求 f(x)的最小正周

15、期.(2)若函数 yg(x)与 yf(x)的图像关于直线 x1 对称，求当 x0，43时 yg(x)的最大值 2.已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab|2 55 (1)求 cos()的值；(2)若 02，20，且 sin513，求 sin.3、求证：sin2sin）（2cos（+）=sinsin.【基础精练参考答案】4C【解析】原式1 2(cos2cos4sin2sin4)cos 1cos2sin2cos2cos22sincoscos2(cossin)2(3545)145.【解析】依题设得：sincoscossinsin()3 314.02，cos()1314.又cos

16、17，sin4 37.sinsin()sincos()cossin()4 371314173 31432，3.【解析】tantan()4,tantan(),4baca tan4tan(4)ba1ca1，ba1ca，bac，cab.【解析】asin(5645)sin11，bsin40cos52cos40sin52sin(52 40)sin12，c1tan240301tan24030cos81sin9，d12(2cos2402sin240)cos80sin10 badc.【解析】y12sin2xsin2x12sin2x12cos2x1222sin2x412，故选择 C.9.3【解析】由(1 3ta

17、n)(1 3tan)4，可得tantan1tantan 3，即 tan()3.又(0，)，3.10.55解析：是第二象限的角，2可能在第一或第三象限，又 sin2cos2，2为第三象限的角，cos20.tan43，cos35，cos2 1cos255.12.【解析】),0(,，507cos),0,33(71tan),0,33(31tan),65(,，+2)3,25(,又tan2=43tan1tan22,12tantan12tantan)2tan(,来源:+2=411【拓展提高参考答案】1、【解析】(1)f(x)sinx4cos6cosx4sin6cos4x32sin4x32cos4x 3sin

18、(4x3)，故 f(x)的最小正周期为 T248(2)法一：在 yg(x)的图象上任取一点(x，g(x)，它关于 x1 的对称点(2x，g(x).由题设条件，点(2x，g(x)在 yf(x)的图象上，从而 g(x)f(2x)3sin4(2x)3 3sin24x3 3cos(4x3)，当 0 x43时，34x323，因此 yg(x)在区间0，43上的最大值为 g(x)max 3cos332.法二：因区间0，43关于 x1 的对称区间为23，2，且 yg(x)与 yf(x)的图象关于 x1 对称，故 yg(x)在0，43上的最大值为 yf(x)在23，2上的最大值，由(1)知 f(x)3sin(4x3)，当23x2 时，64x36，因此 yg(x)在0，43上的最大值为 g(x)max 3sin632.2、【解析】(1)a(cos，sin)，b(cos，sin)，ab(coscos，sinsin).|ab|2 55，(coscos)2(sinsin)22 55，即 22cos()45，cos()35.(2)02，20，0，cos()35，sin()45 sin513，cos1213，sinsin()sin()coscos()sin45121335(513)3365