「【步步高】2014届高三数学大一轮复习.4离散型随机变量及其分布列教案理新人教A版」.pdf

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1、12.4 离散型随机变量及其分布列 201高考会这样考 1.考查离散型随机变量及其分布列的概念；.考查两点分布和超几何分布的简单应用 复习备考要这样做 1 会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列；.掌握两点分布与超几何分布的特点,并会应用.1 离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量;按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.(）设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2，xi，,xn，X取每一个值xi(1，2,n)的概率P(x)=p,则称表 x1 x xi xn p1 p2 pi pn 为随机变量X的概率分布列,简

2、称为X的分布列，具有性质:i_0，i=1,2，,n;1p2pip=_1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 2.如果随机变量X的分布列为 1 P p q 其中 0p1,=1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布 3.超几何分布列 在含有M件次品的件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件 Xk发生的概率：P(X=)=错误!(k=0，1,，m)，其中min,且nN，MN，n、N*，则称分布列 X 0 P 错误!错误!错误!为超几何分布列 难点正本 疑点清源 1.随机变量的本质（1）所谓随机变量,就是试验结果和实数之间的一个对应关系,这与函数概念本质上

3、是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x）的自变量是实数x，而在随机变量的概念中,随机变量的自变量是试验结果（2）随机变量具有如下特点:其一,在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性;其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性.2 离散型随机变量的分布列的作用（1)对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.()利用离散型随机变量的分布列,可以求其期望和方差.设随机变量的分布列如下:X 1 2 3 4 P 错误!错误!错误!则p=_.答案

4、(1,3)解析 由分布列的性质知：所有概率之和为 1,所以p错误!.2 设某运动员投篮投中的概率为 0.3,则一次投篮时投中次数X的分布列是_ 答案 X 0 1 0.3 3.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的分布列为_.答案 0 1 P 14 12 错误!解析 的所有可能值为,1,(0)错误!错误!，P（=)错误!=错误!,（=2)=错误!错误!.的分布列为 0 1 2 P 4 错误!14 4 已知随机变量X的分布列为P(=k）错误!，k1,2，,则P(2X4)等于 ()A.B.14 C.错误!D.错误!答案

5、解析（2X4)P（X3)+(X=)=错误!错误!错误!.5 随机变量X的分布列如下:1 0 1 P a b c 其中a,b，c成等差数列，则P(|X|=1)等于 ().16 B.f(1,3）C.(1,)Df（2，3)答案 D 解析 a,b，c成等差数列,b 又a+b+c=1,b错误!，P(X|=1）ac错误!.题型一 离散型随机变量的分布列的性质 例 1 设随机变量的分布列为P错误!=ak(k=1,2,3，,),则常数a的值为_，P错误!=_ 思维启迪:直接根据分布列的性质求解.答案 错误!错误!解析 随机变量的分布列为 错误!错误!错误!错误!P 2a a 4 5a 由23a+4+a1，解得

6、a=115.P错误!=P错误!+P错误!P(=）=3a4a5a=12a错误!错误!.探究提高(1)利用分布列中各概率之和为可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数()求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式 若离散型随机变量的分布列为 X 0 1 P 9c2c 3c 则常数=_，P(X1)=_.答案 错误!错误!解析 由离散型随机变量分布列的性质可知:错误!，解得c=错误!.P(X1)3-8错误!错误!.题型二 离散型随机变量的分布列的求法及应用 例 2 随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检

7、，其中有一等品 126 件、二等品 5件、三等品 2件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1万元，而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位：万元)为.（1)求的分布列；（2)求 1 件产品的平均利润(即的均值）;（3)经技术革新后,仍有四个等级的产品，但次品率降为%,一等品率提高为 70%如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少？思维启迪:本题在求解时,一定要分清求解的是哪一个变量的均值,理清随机变量取值时的概率.解（1）由于件产品的利润为,则的所有可能取值为,2,，2,由题意知P（=6)错误

8、!.63，P(=2)错误!=0.25,P(1）=错误!=.,P(2)=错误!.02.故的分布列为 6 2 P 0.63.25 0.1.0(2)件产品的平均利润为E（)60.6+0 0.+(-2).02=4.3(万元）(3）设技术革新后三等品率为x，则此时 1 件产品的平均利润为E()=0.72（1.7x-.1)1x+(-).01=.76x 由E（)4.3,得 4.76-4.73，解得x.03,所以三等品率最多为 3.探究提高(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义,写出可能取的全部值；求取每个值的概率;写出X的分布列 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在

9、求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时,只要在求解分布列的前提下,根据均值、方差的定义求E()，D（）即可.(011湖南)某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量（件)0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变）,设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记为第二天开始营业时该商品的件数,求的概率分布列和数学期望 解(1)P(当天商店不进货）=P(当天商品销售量为件）+(当天商

10、品销售量为 1件)=(1,20)错误!=错误!.（2）由题意知,X的可能取值为 2，3.P(X)P(当天商品销售量为 1 件)=错误!=错误!;P(=3)=（当天商品销售量为 0 件)(当天商品销售量为 2 件）P(当天商品销售量为 3 件)120错误!错误!=错误!.所以X的概率分布列为 X 2 3 P 错误!错误!故X的数学期望为(X)错误!3错误!错误!.题型三 超几何分布 例 3 一袋中装有 1个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是错误!.（1)求白球的个数；（2）从袋中任意摸出个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列 思维启迪:(1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程;(2）随机变量X服从超几何分布.解（1）记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件,设袋中白球的个数为x,则P(）1-错误!错误!,得到=5.故白球有个.