2012广东高考数学理科试题及答案.pdf

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1、文档 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设i为虚数单位，则复数56ii A65i B65i C65i D65i 2.设集合1,2,3,4,5,6,1,2,4UM，则UC M AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6 3.若向量(2,3),(4,7)BACA，则BC A(2,4)B(2,4)C(6,10)D(6,10)4.下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是 Aln(2)yx B1yx C12xy D1yxx 5.已知变量,x y满足约束

2、条件211yxyxy，则3zxy的最大值为 A12 B11 C3 D1 6.某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为 A12 B45 C57 D81 7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0 的概率是 A49 B13 C29 D19 8.对任意两个非零向量,，定义 =,若向量a,b满足|0ab，a,b的夹角(0,)4，且a b和b a都在集合|2nnZ中，则a b=文档 A12 B1 C32 D52 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。（一）必做题（913 题）9.不等式|2|1xx的解集为 。10.261()xx的展开式

3、中3x的系数为 。（用数字作答）11.已知递增的等差数列 na满足21321,4aaa，则na 。12.曲线33yxx在点(1,3)处的切线方程 为 。13.执行如图 2 所示的程序框图，若输入n的值为 8，则输出s的值为 。（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C和2C参数方程分别为()xttyt为参数和2cos()2sinxy为参数，则曲线1C和2C的交点坐标为 。15.（几何证明选讲选做题）如图 3，圆O的半径为 1，,A B C为圆周上的三点，满足30ABC，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA 。

4、三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分 12 分）已知函数()2cos()6f xx（其中0,xR）的最小正周期为10 1）求的值；2）设56516,0,(5),(5)235617ff ，求cos()的值。文档 17.（本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。1）求图中 x 的值；2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记

5、为，求的数学期望。18.（本小题满分 13 分）如图 5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD 平面，点E在线段PC上，PCBDE 平面（1）证明：BDPAC 平面（2）若1,2PAAD，求二面角BPCA的正切值。19（本小题满分 14 分）设数列 na的前n项和为nS，满足1*1221,nnnSanN，且123,5,a aa成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列 na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaa。文档 20.（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23e，且椭圆C上的点到(0

6、,2)Q的距离的最大值为 3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点(,)M m n，使得直线:1l mxny与圆22:1O xy相交于不同的两点,A B，且AOB的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由。21.（本小题满分 14 分）设1a，集合2|0,|23(1)60AxR xBxRxa xax，DAB（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f xxa xax在D内的极值点。2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案：18:DCAAB CDB 注：第 8 题解析：因为|2coscos|2a

7、 baa bb bb，|coscos1|b abb aa aa 且a b和b a都在集合|2nnZ中，所以，|1cos|2bb aa，|1|2cosba，所以2|cos2cos2|aa bb 所以222a b，故有1a b 文档 9.21,(（写成集合形式也给分1|2x x ）10.20 11.21n 12.210 xy 13.8 14.(1,1)15.3 第 9 题注解：|2|1xx|x-(-2)|-|x-0|1 即数轴上到-2 的点与到 0 点距离只差小于 1 的点的集合。三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分 12 分）

8、已知函数()2cos()6f xx（其中0,xR）的最小正周期为10（1）求的值；（2）设56516,0,(5),(5)235617ff ，求cos()的值。解：（1）由题意210，解得15。（2）由题62cos()25162cos17，即3sin58cos17，又,0,2，可得4cos515sin17，所以48315cos()coscossinsin5175171385。17.（本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。（1）求图中 x 的值；（2）从成

9、绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为，求的数学期望。解：（1）由题意：(0.0540.010.0063)101x，解得0.018x；（2）8090 分 有50 0.018 109人；90100 分 有50 0.006 103人。所有可能的取值为 0,1,2 文档 211299332221212121291(0);(1);(0)222222CC CCPPPCCC 故 129101222222212E 。18.（本小题满分 13 分）如图 5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD 平面，点E在线段PC上，PCBDE

10、 平面（1）证明：BDPAC 平面（2）若1,2PAAD，求二面角BPCA的正切值。（1）证明：PAABCD 平面，PABD；PCBDE 平面，PCBD。又PAPCP，BDPAC 平面。（2）解：设,AC BD交于O，连结OE，由题,PCBE PCOE，所以BEO即为二面角BPCA的平面角。由（1）知，BDAC，所以四边形 ABCD 为正方形，易得2212,1 832OCACPCPAAC。由（1）知90OECPAC 又OCEPCA，有OECPAC，故OEOCPAPC，23OCOEPAPC。在Rt BOE中，tan3OBBEOOE。所以二面角BPCA的正切值为 3 19（本小题满分 14 分）设

11、数列 na的前n项和为nS，满足1*1221,nnnSanN，且123,5,a aa成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列 na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaa。解：（1）由题21231232132212()212(5)aaaaaaaa，解得1231519aaa，故11.a 文档（2）当1n 时，11a；当2n 时，11221nnnSa 1221nnnSa 由-得：122nnnnaaa，整理得111332,1(1)22 2nnnnnnnaaaa，故1(2)2nnan为公比为32的等比数列，首项为229124a，故29331()()2422nnnna，32nn

12、na，经验证当1n 时，1132a 综上*32()nnnanN。（3）当3n时 32(12)2nnnnna 12211122222nnnnnnnCCC 122111222nnnnnCCC 2222(1)nCn n 又因为252 2(2 1)a ，所以，2(1),2nan nn。所以，11111()2(1)21nan nnn 所以，12311111111111131(1)1(1).2234122naaaannn 20.（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23e，且椭圆C上的点到(0,2)Q的距离的最大值为 3.（1）求椭圆C的方程；

13、（2）在椭圆C上，是否存在点(,)M m n，使得直线:1l mxny与圆22:1O xy相交于不同的两点,A B，且AOB的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由。解：（1）由222233cecaa，所以222213baca 文档 设(,)P x y是椭圆C上任意一点，则22221xyab，所以222222(1)3yxaayb 222222233|(2)3(2)2(1)6()33PQxyayyyaaya 当33133aa ，即3a 时，1y 时，|PQ有最大值263a，可得3a，所以1,2bc；当313a，即03a时，33ya 时，|PQ有最大值23(

14、2)33a，可得 3a，舍去。所以1,2bc故椭圆C的方程为：221.32xy（2）因为(,)M m n在椭圆C上，所以22132mn，22332mn 设11(,)A x y，22(,)B xy，由2211mxnyxy，得2222()210mnxmxn 所以，222222222144()(1)4(1)4(2)02mmnnnmnnn，可得24n 并且：12222mxxmn，212221 nx xmn 所以，2212121212222111()1mxmxm xxm x xmy ynnnmn 所以，222222121211221212|()()2()ABxxyyxyxyx xy y 22222222

15、11122()2 1nmmnmnmn（亦可22|ABrd，其中d为圆心到直线1mxny的距离）设点 O 到直线 AB 的距离为h，则221hmn 文档 所以2222111|(1)2OABSABhmnmn 设221tmn，由204n，得22213(1,3)2mnn，所以，1(,1)3t 211(1)()24OABSttt，1(,1)3t 所以，当12t 时，OABS面积最大，最大为12。此时，(0,2)M 21.（本小题满分 14 分）设1a，集合2|0,|23(1)60AxR xBxRxa xax，DAB（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f xxa xax在D内的极

16、值点。解：（1）对于方程223(1)60 xa xa 判别式29(1)483(3)(31)aaaa 因为1a，所以30a 当113a时，0，此时BR，所以(0,)D；当13a 时，0，此时|1Bx x，所以(0,1)(1,)D；当13a 时，0，设方程223(1)60 xa xa的两根为12,x x且12xx，则 13(1)3(3)(31)4aaax，23(1)3(3)(31)4aaax 12|Bx xxxx或 当103a时，123(1)02xxa，1230 x xa，所以120,0 xx 此时，12(,)(,)Dx xx 3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)(0,)(,)44aa

17、aaaa 当0a 时，1230 x xa，所以120,0 xx 文档 此时，23(1)3(3)(31)(,)(,)4aaaDx （2）2()66(1)66(1)()fxxa xaxxa，1a 所以函数()f x在区间,1a上为减函数，在区间(,a和1,)上为增函数 当113a时，因为D，所以()f x在 D 内没有极值点；当13a 时，(0,1)(1,)D，所以()f x在 D 内有极大值点13a；当103a时，3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)(0,)(,)44aaaaaaD 由103a，很容易得到 3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)144aaaaaaa （可以用作差法，也可以用分析法）所以，()f x在 D 内有极大值点a；当0a 时，3(1)3(3)(31)(,)4aaaD 由0a，很容易得到3(1)3(3)(31)14aaa 此时，()f x在 D 内没有极值点。综上所述：当103a时，()f x在 D 内有极大值点a。当113a或0a 时，()f x在 D 内没有极值点。