00高中数学第章点、直线、平面之间的位置关系..直线与平面垂直的性质(含解析).pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 1 2.3。3 直线与平面垂直的性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1平面平面，直线a，直线b,那么直线a与直线b的位置关系一定是（C）A平行 B异面 C垂直 D不相交 解析，b，b.又a，ba 2设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面(C)A若m，n,则mn B若m，m，则 C若mn，m，则n D若m，则m 解析 mn，m，则n，故选 C 3 如图,已知ABC为直角三角形，其中ACB90,M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么(C)APAPBPC BPAPBPC CPAPBPC DPAPBPC 学必求其心得，业必贵于专精 2 解析 PM平面ABC,M

2、C 平面ABC，PMMC，PMAB 又M为AB中点，ACB90，MAMBMCPAPAPC 4如图,设平面平面PQ,EG平面，FH平面，垂足分别为G、H。为使PQGH，则需增加的一个条件是（B）AEF平面 BEF平面 CPQGE DPQFH 解析 因为EG平面,PQ 平面，所以EGPQ。若EF平面,则由PQ 平面，得EFPQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ平面EFHG,所以PQGH,故选 B 5下列结论正确的是(A）错误!b;错误!ab；错误!b;错误!b A B C D 学必求其心得，业必贵于专精 3 解析 由性质定理可得（1)(2)正确 6如图,正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面

3、BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持APBD1,则动点P的轨迹是（A)A线段B1C B线段BC1 CBB1中点与CC1中点连成的线段 DBC中点与B1C1中点连成的线段 解析 DD1平面ABCD，D1DAC，又ACBD，AC平面BDD1，ACBD1。同理BD1B1C 又B1CACC，BD1平面AB1C 而APBD1，AP 平面AB1C 又P平面BB1C1C，P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C故选 A 二、填空题 学必求其心得，业必贵于专精 4 7线段AB在平面的同侧，A、B到的距离分别为 3 和 5，则AB的中点到的距离为 4 解析 如图，设AB的中点为M，分别过A、M、

4、B向作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知,AA1MM1BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA13，BB15，MM1为其中位线,MM14 8正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是 错误!解析 如图，由 已 知 得PAPB，PAPC,PBPCP,PA平面PBC 又PBPC，PBPC，BC2，PBPC2 VPABCVAPBC错误!PASPBC错误!错误!错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 5 错误!三、解答题 9如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心,A1O平面ABCD,ABAA12 证明：A1C平面BB

5、1D1D 解析 A1O平面ABCD,A1OBD 又底面ABCD是正方形,BDAC，BD平面A1OC，BDA1C 又OA1是AC的中垂线，A1AA1C错误!，且AC2,AC2AA错误!A1C2，AA1C是直角三角形,AA1A1C 又BB1AA1，A1CBB1，A1C平面BB1D1D 10如图，在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 证明：(1）CDAE；学必求其心得，业必贵于专精 6(2）PD平面ABE 证明(1）在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD 平面ABCD，故APCD 因为ACCD,PAACA，所以CD平面PAC

6、AE 平面PAC，所以CDAE(2）由PAABBC,ABC60，可得ACPA 因为E是PC的中点，所以AEPC 由(1）知，AECD,且PCCDC，所以AE平面PCD 而PD 平面PCD，所以AEPD 因为PA底面ABCD，所以PAAB 又ABAD,且ADPAA，所以AB平面PAD 又PD 平面PAD，所以ABPD 又因为ABAEA,所以PD平面ABE B 级 素养提升 一、选择题 1已知平面与平面相交，直线m,则（C)A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 学必求其心得，业必贵于专精 7 B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直

7、D内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直 2如图，正方体AC1的棱长为 1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下结论中，错误的结论是（D)A点H是A1BD的垂心 BAH垂直于平面CB1D1 CAH的延长线经过点C1 D直线AH和BB1所成角为 45 解析 A 中，A1BD为等边三角形，四心合一，ABAA1AD，H到A1BD各顶点的距离相等，A 正确；易知CD1BA1，CB1DA1,又CD1CB1C，BA1DA1A1，平面CB1D1平面A1BD,AH平面CB1D1,B 正确;连接AC1，则AC1B1D1，B1D1BD，AC1BD，同理,AC1BA1,又BA1BDB，AC1平面A1B

8、D，A、H、C1三点共线，C 正确,利用排除法选 D 3如图所示，PA垂直于O所在平面，AB是O的直径，C学必求其心得，业必贵于专精 8 是O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影,给出下列结论：AFPB;EFPB；AFBC；AEBC其中正确的个数为(C)A1 B2 C3 D4 解析 AB是O的直径，ACBCPA垂直于O所在的平面，PAAB，PAAC，PABC，ACPAA，BC平面PAC,BCAF，正确又AFPC，AF平面PBC，AFPB,正确又AEPB，PB平面AEF，EFPB，正确若AEBC，则由AEPB，得AE平面PBC，此时E、F重合，与已知矛盾，错误故选 C 二、填空题 4已

9、知三棱锥PABC，PA平面ABC,ACBC,PA2，ACBC1，则三棱锥PABC外接球的体积为 6 学必求其心得，业必贵于专精 9 解析 如图所示 取PB的中点O,PA平面ABC，PAAB，PABC，又BCAC，PAACA，BC平面PAC，BCPCOA错误!PB，OC错误!PB,OAOBOCOP，故O为外接球的球心 又PA2，ACBC1，AB错误!，PB错误!，外接球的半径R错误!V球错误!R3错误!（错误!）3错误!5(2019全国卷文,16)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为错误!，那么P学必求其心得，业必贵于专精 10 到平面ABC的距离为

10、 错误!解析 如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离 再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE,PF,则PEAC，PFBC 又PEPF错误!，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45 在 RtPEC中，PC2，PE3，所以CE1，所以OE1，所以PO错误!错误!错误!三、解答题 6如图所示，四边形ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G 求证：AESB 学必求其心得，业必贵于专精 11 解析 因为SA平面ABCD，所以SABC 因为四边形ABCD是正方形，所以ABBC 因为SAABA，所以BC平面

11、SAB 因为AE 平面SAB，所以BCAE 因为SC平面AGFE，所以SCAE 又因为BCSCC，所以AE平面SBC 而SB 平面SBC，所以AESB 7如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD,ABBC2，ADCD错误!，PA错误!，ABC120.G为线段PC上的点 (1)证明：BD平面APC；（2）若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；（3）若G满足PC平面BGD,求错误!的值 解析（1)设点O为AC、BD的交点 由ABBC，ADCD,得BD垂直平分线段AC 所以O为AC的中点，BDAC 学必求其心得，业必贵于专精 12 又因为PA平面ABCD，BD 平面ABCD,所以PABD 又PAACA,所以BD平面APC（2)连接OG.由(1)可知OD平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG，所以OGD是DG与平面PAC所成的角 由题意得OG错误!PA错误!在ABC中,因为ABBC，ABC120，AOCO,所以ABO错误!ABC60，所以AOOCABsin60错误!在 RtOCD中，OD错误!2 在 RtOGD中，tanOGD错误!错误!所以DG与平面APC所成角的正切值为错误!(3)因为PC平面BGD，OG 平面BGD，所以PCOG 在 RtPAC中，PC错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 13 所以GC错误!错误!从而PG错误!,所以错误!错误!