00高中数学第章随机变量及其分布.1.离散型随机变量的分布列学案.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-2。1.2 离散型随机变量的分布列 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质 2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用（难点）1。通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，培养数学抽象的素养 2.借助分布列的求法，培养数学运算的素养。1离散型随机变量的分布列(1)定义 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi,，xn,X取每一个值xi(i1,2，n）的概率P（Xxi)pi，以表格的形式表示如下：X x1 x2 xi xn 学必

2、求其心得，业必贵于专精 -2-P p1 p2 pi pn 这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列 为了简单起见，也用等式P(Xxi）pi，i1，2,n表示X的分布列(2)性质 pi0，i1,2，n;错误!i1。思考 1:求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？提示 求离散型随机变量的分布列的步骤：（1)找出随机变量所有可能的取值xi(i1,2，3，n）；（2)求出相应的概率P(Xxi)pi（i1,2，3,n）;（3)列成表格形式 2两点分布 X 0 1 P 1p p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布,并称pP(X1）为成功概率 学必求其心得，业必贵于专精

3、 -3-3超几何分布 一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 P(Xk)错误!，k0,1,2,，m,其中mminM，n，且nN，MN，n，M,NN*.X 0 1 m P 错误!错误!错误!思考 2：在超几何分布中，随机抽样采用的是有放回抽样，还是不放回抽样 提示 一般为不放回抽样 1下列表中能成为随机变量X的分布列的是（)C 由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为 1。学必求其心得，业必贵于专精 -4-2若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 2a 3a 则a(）A。错误!B.错误!C。错误!D.错误!A 由离散型随机变量分布列的性质可知，2a3a1

4、，所以a错误!。3某 10 人组成兴趣小组,其中有 5 名团员,从这 10 人中任选 4人参加某种活动，用X表示 4 人中的团员人数，则P(X3）_。错误!P（X3）错误!错误!.分布列的性质及应用【例 1】设随机变量X的分布列P错误!ak（k1,2,3,4,5)（1）求常数a的值；(2）求P错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -5-解 分布列可改写为:X 错误!错误!错误!错误!55 P a 2a 3a 4a 5a(1)由a2a3a4a5a1,得a错误!。（2）P错误!P错误!P错误!P错误!错误!错误!错误!错误!，或P错误!1P错误!1错误!错误!。利用离散型分布列的性质解题时要注意两个

5、问题 1XXi的各个取值表示的事件是互斥的 2不仅要注意 pi1 而且要注意pi0，i1,2，n。1设X是一个离散型随机变量，其分布列为:X 1 0 1 P 错误!12q q2(1）求q的值;（2）求P（X0），P(X0）的值 解(1)由分布列的性质得 错误!学必求其心得，业必贵于专精 -6-解得q1错误!.(2）P(X0）P（X1)错误!；P（X0）P(X1)P(X0）错误!12错误!错误!错误!。离散型随机变量的分布列【例 2】一袋中装有 6 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3，4，5，6,现从中随机取出 3 个球，以X表示取出球的最大号码(1）求X的分布列；（2）求X的取值不小于 4

6、的概率 解(1)随机变量X的可能取值为 3,4，5,6，P（X3）错误!错误!，P(X4)错误!错误!，P(X5）错误!错误!，P（X6)错误!错误!,所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 6 P 错误!错误!错误!错误!(2)X的取值不小于 4 的概率为 P(X4)P（X4)P(X5)P(X6)错误!错误!错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -7-（变条件）本例中“若X表示取出球的最小号码”，求X的分布列 解 随机变量X的可能取值为 1，2,3,4。P（X1）错误!错误!，P(X2)错误!错误!,P(X3)错误!错误!,P（X4)错误!错误!，所以,X的分布列为 X 1 2 3 4

7、 P 错误!错误!错误!错误!求离散型随机变量分布列时应注意的问题 1确定离散型随机变量的分布列的关键是要搞清取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出取每一个值的概率 2在求离散型随机变量的分布列时,要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确 学必求其心得，业必贵于专精 -8-2 袋中有 1 个白球和 4 个黑球,每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球后停止，求取球次数X的分布列 解 X的可能取值为 1,2，3,4,5,则 第 1 次取出白球的概率P(X1）错误!，第 2 次取出白球的概率P(X2)错误!错误!错误!，第 3 次取出

8、白球的概率P（X3)错误!错误!错误!错误!，第 4 次取出白球的概率P(X4)错误!错误!错误!错误!错误!，第 5 次取出白球的概率P(X5)错误!错误!错误!错误!错误!错误!。所以X的分布列是 X 1 2 3 4 5 P 错误!错误!错误!错误!15 两点分布与超几何分布 探究问题 1只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布?提示 不一定如随机变量X的分布列由下表给出 学必求其心得，业必贵于专精 -9-X 2 5 P 0.3 0。7 X不服从两点分布,因为X的取值不是 0 或 1.2在 8 个大小相同的球中，有 2 个黑球,6 个白球，现从中取 3个球,求取出的球中白球个数X是否服

9、从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？提示 随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体）内含有两种不同事物A（M个)、B（NM个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题【例 3】在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价值10 元的奖品，其余 6 张没有奖品(1)顾客甲从 10 张奖券中任意抽取1 张,求中奖次数X的分布列；（2）顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张，求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列 思路点拨(1)从 10 张奖券中抽取 1

10、 张,其结果有中奖和不中奖两种,故X0 或 1.（2）从 10 张奖券中任意抽取 2 张，其中含有中学必求其心得，业必贵于专精 -10-奖的奖券的张数X(X1，2)服从超几何分布 解(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况,故X的取值只有 0 和 1 两种情况 P（X1）错误!错误!错误!,则P(X0)1P（X1）1错误!35.因此X的分布列为 X 0 1 P 错误!错误!(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件:所抽取的2张奖券中有1 张中奖或 2 张都中奖 故所求概率P错误!错误!错误!。Y的所有可能取值为 0,10,20,50，60，且 P（Y0)错误!错误!错误!,P（Y10）错误!错误!

11、错误!，P（Y20）错误!错误!错误!，P(Y50)错误!错误!错误!，P（Y60)错误!错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -11-因此随机变量Y的分布列为 Y 0 10 20 50 60 P 13 错误!115 错误!错误!1两点分布的特点(1）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的（2）由对立事件的概率求法可知，已知P（X0)（或P（X1)），便可求出P(X1)(或P(X0)）2解决超几何分布问题的两个关键点（1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆（2）超几何分布中，只要知道M,N,n，就可以

12、利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，从而求出X的分布列 3老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格某同学只能背诵其中的 6 篇，试求：学必求其心得，业必贵于专精 -12-(1）抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；（2)他能及格的概率 解（1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P（Xr)错误!（r0，1，2,3)所以P(X0)错误!错误!，P(X1）错误!错误!，P（X2）错误!错误!，P(X3）错误!错误!。所以X的概率分布列为 X 0 1 2 3 P 错误!错误!错误!16（2）他能及格的概率P(X2)P(X2）P(X3)错误!错误!错误!.

13、1在利用分布列的性质解题时要注意：Xxi的各个取值所表示的事件是互斥的;不仅要注意错误!i1，而且要注意 0pi1，i1,2,，n.2超几何分布的数学模型是：一批产品共有N件,其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品Xr的概率是P(Xr)错误!。在应用上述公式时，要注意N,M，n，r的实际意义.学必求其心得，业必贵于专精 -13-1判断（正确的打“”，错误的打“)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数（）(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究(）(3）从 3 本物理书和 5 本数学书中选出 3 本，记选出的数学书为X本

14、，则X服从超几何分布()答案(1)（2）（3）2一串钥匙有 6 把，只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为（）A6 B5 C4 D2 B 由于是逐次试验，可能前 5 次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选 B。3从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量表示所选 3 人中女生的人数（1）求的分布列;学必求其心得，业必贵于专精 -14-(2)求“所选 3 人中女生人数1”的概率 解（1）可能取的值为 0,1,2，服从超几何分布,P（k)错误!，k0,1,2.所以，的分布列为 0 1 2 P 错误!错误!错误!(2)由(1）知,“所选 3 人中女生人数1”的概率为 P(1）P（0)P(1)错误!.